伪欧空间两个类空类时空间之间的关系

伪欧空间两个类空类时空间之间的关系

1伪欧正交矩阵它在n和k维诚实向量空间v中定义了向量a和b，并定义了对称的双重非线性函数。它被称为内部累积，并记录为（a和b）=ain和kbt。等式中的向量空间v称为k的伪欧空间，并被记录为en和k。当a=b时,(a,a)=aIn,kaT,若(a,a)>(<,=)0,称a为类空(时,光)向量,En+kk的最大类空(时)子空间为n(k)维。若对Kn+kk的线性变换A,有(Aa,Ab)=(a,b),称A为伪欧正交变换,在n个类空k个类时向量组成的标准正交基下,伪欧正交变换A对应的矩阵为伪欧正交矩阵。对伪欧正交矩阵P,有PIn,kPT=In,k。En+kk中全体伪欧正交矩阵的集合,记为O(n,k)。O(n,k)关于矩阵的乘法成群。对En+kk的任意二个非共线的属于同一类空区域的类空向量a,b,若其内积(a,b)2<(a,a)(b,b),作向量c=a+bt(或c=at+b)(t∈R),则(c,c)=(a+bt,a+bt)=(a,a)+2t(a,b)+t2(b,b),其关于t的判别式Δ=4(a,b)2-4(a,a)(b,b)<0,所以对a,b张成的平面中的每一个向量c都是类空向量。这时我们称向量a,b为欧氏(或椭圆)关系,其夹角θ可由cos2θ=(a,b)2(a,a)(b,b)确定,称θ为欧氏(或椭圆)角。若对类空向量a,b,有(a,b)2>(a,a)(b,b),则对由a,b张成的平面上的向量既有类空的,也有类时、类光的,这时我们称a,b为双曲关系,其夹角θ可由cosh2θ=(a,b)2(a,a)(b,b)确定,称θ为双曲角。若对类空向量a、b,有(a,b)2=(a,a)(b,b),称a,b为抛物关系,它们的夹角为抛物角。这时由a,b张成的平面上的任二个类空向量a′,b′,仍有(a′,b′)2=(a′,a′)(b′,b′),它们仍为抛物关系。上面对类空向量的夹角的定义也适用于En+kk中的属于同一类时区域的二个类时向量。2detb的定义文献给出了欧氏空间En中两个k维子空间的多维角、单维角的定义及性质,文献把多维角的概念推广到En中的两个任意维(不一定相等)的子空间。本文把文献的方法应用到伪欧空间En+kk,得到了En+kk中的两个类空(类时)子空间之间的单维角、多维角的定义及性质。记∑1,∑2各为En+kk的p,q维(不妨设p≤q)类空子空间,各由线性无关的类空向量a1,…,ap;b1,…,bq张成。记以a1,…,ap;b1,…,bq为行向量的p×(n+k),q×(n+k)矩阵为A,B,又记PA=AIn,kAT,PB=BIn,kBT,QAB=AIn,kBTBIn,kAT。定理1detQABdetΡAdetΡB≜Θ不依赖于∑1,∑2中的线性无关的向量的选取。证明只要证A的ai换成kai(k≠0),ai+aj(j≠i)两种情况下,对应的Θ的值不变就可以了。当A的ai换成kai(k≠0)时,对应的矩阵A1=I(i(k))A,这里I(i(k))为第i行k的初等矩阵,则detQA1BdetΡA1detΡB=det[Ι(i(k))AΙn,kBΤBΙn,kAΤ(Ι(i(k))Τ]det[Ι(i(k))AΙn,kAΤ(Ι(i(k))Τ]detΡB=det[Ι(i(k))]detQABdet[Ι(i(k))]Τdet[Ι(i(k))]detΡAdet[Ι(i(k))]ΤdetΡB=detQABdetΡAdetΡB当A的ai换成ai+aj(j≠i)时,对应的矩阵A2=I(ij(1))A,这里I(ij(1))为第j行加到第i行的初等矩阵,则detQA2BdetΡA2detΡB=det[Ι(ij(1))AΙn,kBΤBΙn,kAΤ(Ι(ij(1))Τ]det[Ι(ij(1))AΙn,kAΤ(Ι(ij(1))Τ]detΡB=det[Ι(ij(1))]detQABdet[Ι(ij(1))]Τdet[Ι(ij(1))]detΡAdet[Ι(ij(1))]ΤdetΡB=detQABdetΡAdetΡB证毕由定理1,不妨取∑2的b1,…,bq为单位正交类空向量,则detPB=1,对应Θ=detQABdetΡA。当p=1时,∑1为Ekn+k的类空直线,对∑1⊄∑2,若它们之间的Θ>(<,=)1,称∑1与∑2为双曲(欧氏,抛物)关系,其交角θ可由cosh2θ=Θ(cos2θ=Θ,抛物角)来确定。若∑1与∑2成欧氏角,则∑1与∑2张成Ekn+k的q+1维欧氏(类空)子空间;若∑1与∑2成双曲角,则∑1与∑2张成Ekn+k的E1q+1型子空间。由此得知Ekn+k的n维类空子间∑2与不在∑2上的类空直线必成双曲角。若类空直线∑1⊂∑2,则Θ=1,为下文需要,亦称∑1与∑2交于双曲角,欧氏角,抛物角。∑1与∑2的b1,…,bq交角为θj(1≤j≤q),当∑1与∑2为欧氏角时,∑1与b1,…,bq皆为欧氏角,且有cos2θ=∑j=1qcos2θj当∑1与∑2成双曲角时,∑1至少与某一bj成双曲角。若∑1与某些bs成双曲角,与某些bt成欧氏角,由Θ的表达式,有定理2cosh2θ=∑scosh2θs+∑tcos2θt当p>1时,因PA为正定矩阵,存在可逆矩阵R,C=RA的行向量为c1,…,cp,使CIn,kCT=RPART=I,即c1,…,cp为单位正交类空向量,且RQABRT=diag(λ1,…,λp)称c1,…,cp为∑1的a1,…,ap经R,B单位正交化得到的标准正交基。c1,…,cp与∑2的夹角,称为∑1与∑2的单维角。定理3detQABdetΡA=Πi=1pdetQciBdetΡci证明由ci的定义知ci为In,kBTBIn,k的特征值为λi的特征向量,则detQABdetΡA=detRQABRΤdetRΡARΤ=λ1⋯λp=(c1λ1c1Τ)⋯(cpλpcpΤ)(c1Ιn,kc1Τ)⋯(cpΙn,kcpΤ)=det(c1Ιn,kBΤBΙn,kc1Τ)⋯det(cpΙn,kBΤBΙn,kcpΤ)detΡc1⋯detΡcp=Πi=1pdetQciBdetΡci证毕若∑1对∑2的单维角全是双曲(欧氏,抛物)角,则Θ>(<,=)1,称∑1与∑2的多维角为双曲(欧氏、抛物)的,其夹角θ由cosh2θ(cos2θ,抛物角)=Θ确定。不是上述三种类型的情况,称∑1对∑2为混合角,如在E26中,∑2由b1=(1,0,0,0,0,0),b2=(0,1,0,0,0,0)张成,∑1由a1=(x,0,1,0,x,0),a2=(0,y,0,1,0,y)张成,由x,y的不同取值可得∑1对∑2的各种类型的夹角。由定理3得到∑1对∑2的多维双曲(欧氏)角与单维角α1,…,αp满足cosh2αAB=cosh2α1…cosh2αp(cos2αAB=cos2α1…cos2αp)Ekn+k中的n维类空子空间∑2与异于∑2的任一p维类空子空间∑1必成双曲角。对Ekn+k中的p、q(p≤q)维类时子空间,各由线性无关的类时向量a1,…,ap;b1,…,bq张成。以a1,…,ap;b1,…,bq为行向量的矩阵记为A、B。记PA=A(-In,k)AT,PB=B(-In,k)BT,QAB=A(-In,k)BTB(-In,k)AT=AIn,kBTBIn,kAT。仍可用类似上面的方法定义类时子空间∑1与∑2的夹角。定理4若∑1、∑2为Ekn+k的n维类空子空间,∑*1、∑*2为它们在Ekn+k中的正交的k维类时子空间,φ(∑1,∑2)与φ(∑*1,∑*2)各为它们的夹角(多维角),则有φ(∑1,∑2)=φ(∑*1,∑*2)。证明不失一般性,可设∑1、∑*1各由Ekn+k的初始单位类空、时向量e1,…,en;en+1,…,en+k生成,∑2、∑*2各由正交单位类空、时向量a1,…,an;an+1,…,an+k生成。以a1,…,an;an+1,…,an+k为行向量的n+k阶矩阵记为A。以X、Y、Z表示A的下述子矩阵,X的元素aij(1≤i≤n,1≤j≤n),Y的元素aij(1≤i≤n,n+1≤j≤n+k),Z的元素