稳态电路最大功率传输问题的研究

稳态电路最大功率传输问题的研究

0最佳匹配条件的确定在分析正态平波时，许多教材讨论了最大功率传输问题。所讨论的问题一般都是针对已知的含独立源线性网络,通过改变负载ZL来讨论获得最大功率的条件(如图1所示)。分析的方法是将图1中线性网络作戴维南等效,得到一个等效电路,再由负载有功功率的表达式得到负载获得最大功率的条件。由图1可得负载获得的有功功率表达式为ΡL=U2oc(Req+RL)2+(Xeq+XL)2⋅RL(1)PL=U2oc(Req+RL)2+(Xeq+XL)2⋅RL(1)可见PL是RL和XL函数。PL分别对RL和XL求偏导数,并令∂P/∂RL=0和∂P/∂XL=0,得到PL最大值的条件为ZL=Z*eq,此结果称为最佳匹配条件。此时负载获得最大功率为PLmax=U2oc2oc/4Req(2)在实际问题中,也经常会遇到电源和负载一定,而需设计一匹配网络使负载获得最大功率的问题。此时的问题是:若仍用戴维南等效的方法,则等效电路中的˙UocU˙oc和Zeq均是待设计电路参数的函数,若直接应用负载可变而含独立源网络不变所得到的最大功率传输条件,这样的结论是否正确?现有的教学参考书没有给出证明。文献讨论了最大功率传输定理的推广应用问题,得到了一些有参考价值的结论。但仍有一些问题需作进一步研究。本文讨论在单一电源供电支路(或一端口供电网络)和负载均不可变的情况下,用设计无损LC网络来实现最大功率传输的问题,给出获得最大功率条件的证明。1负载优化方法电路如图2所示。图中电源电压˙UocU˙oc已知,电源内阻抗为纯电阻Ri,负载为纯电阻RL。设计无损的LC网络中参数,使负载获得最大功率。图2中LC网络为一互易的二端口,设其阻抗参数为Ζ=[Ζ11Ζ12Ζ21Ζ22Z=[Z11Z21Z12Z22=[jX1jX2jX2jX3〗(3)=[jX1jX2jX2jX3〗(3)列方程如下:˙U1=jX1˙Ι1+jX2(-˙Ι2)˙U2=jX2˙Ι1+jX3(-˙Ι2)˙U1=˙US-Ri˙Ι1˙U2=RL˙Ι2}(4)U˙1=jX1I˙1+jX2(−I˙2)U˙2=jX2I˙1+jX3(−I˙2)U˙1=U˙S−RiI˙1U˙2=RLI˙2⎫⎭⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪(4)下面分别从输入端和输出端分别导出负载获得最大功率的条件。1.1最大功率传输定理由式(4)得到图2所示电路从11′端口看入的输入阻抗为Ζin=˙U1˙Ι1=jX1+X22RL+jX3=RLX22R2L+X23+j(X1-X22X3R2L+X23)(5)Zin=U˙1I˙1=jX1+X22RL+jX3=RLX22R2L+X23+j(X1−X22X3R2L+X23)(5)因LC网络无损,所以等效阻抗Zin消耗的有功功率等于负载获得的有功功率。若要使负载获得最大功率,只要Zin获得最大功率即可。由最大功率传输定理可知,此时有Z*in=Ri。由此得RLX22R2L+X23=RiX1-X22X3R2L+X23=0}(6)由式(6)求得Ri=√X1X22X3-X21RL=√X22X3X1-X23}(7)负载获得的最大功率PLmax为PLmax=Pin,max=U2S/4Ri(8)1.2最大功率传输定理由式(4)可求得图2所示电路中从负载两端得到的戴维南等效电路如图3所示。图3中,等效电压源电压和等效阻抗分别为˙Uoc=jX2Ri+jX1˙USΖeq=jX3+X22Ri+jX1=RiX22R2i+X21+j(X3-X1X22R2i+X21)}(9)利用最大功率传输定理,有RiX22R2i+X21=RLX3-X1X22R2i+X21=0}(10)由式(10)同样可解得Ri=√X1X22X3-X21RL=√X22X3X1-X23}(11)由式(9)和式(11)可得戴维南等效电路中的电源电压有效值为Uoc=√X22R2i+X21US=√X3X1US=√RLRiUS(12)此时可求得负载获得的最大功率为PLmax=U2s/4Ri(13)1.3ri+jx1us现在的问题是在输出端得到戴维南等效电路后,直接利用最大功率传输定理是否正确?下面的推导证明在上述情况下直接利用最大功率传输定理所得到的结论是正确的。由图3及式(9)可求得负载中的电流为˙Ι2=˙UocRL+Ζeq=1RL+jX3+X22Ri+jX1jX2Ri+jX1˙US=j˙USRiRL-X1X3+X22X2+jRiX3+RLX1X2(14)若要使负载获得最大功率,只需电流I2为最大值,即式(14)中分母所表示的复数的模应最小。令f(X1,X2,X3)=√(RiRL-X1X3+X22)2X22+(RiX3+RLX1)2X22(15)f(X1,X2,X3)分别对X1、X2和X3求偏导,但三个表达式只有两个自由度,可得到与式(7)同样的约束。由此可求得f(X1,X2,X3)的最小值为[f(X1‚X2‚X3)]min=2√RiRL(16)所以Ι2max=US2√RiRL(17)负载获得的最大功率为PLmax=I22maxRL=U2S/4Ri(18)上述推导过程证明了由负载可变得到的最大功率传输定理所得到的结论,在给定电源支路和负载电阻的情况下,通过设计LC网络实现功率的最大传输也同样适用。1.4路的相量模型图4所示电路中,电压源uS的角频率为ω,内阻为Ri。此电源通过图中的LC网络向负载RL供电。已知RL>Ri。如要求负载RL获得的功率最大,L和C应分别为何值?图4所示电路的相量模型如图5所示。图中虚线框中为待设计的LC网络。该二端口网络的阻抗参数为Ζ=[jX1jX2jX2jX3=[j(ωL-1ωC)-j1ωC-j1ωC-j1ωC〗(19)即X1=ωL-1/ωC,X2=X3=-1/ωC。此处L、C为待定参数。将X1,X2,X3的参数代入式(11),整理得ω2C2-CL=-1R2LLC-ω2L2=R2i}(20)由式(20)解得L=Riω√RLRi-1C=1ωRL√RLRi-1}(21)既然图5的戴维南等效电路来自图3,所以,R2获得的最大功率也为PLmax=U2S/4R12最大功率传输电路以上分析是针对电源内阻抗和负载均为纯电阻的情况,下面推广到如图6所示的电源内阻抗和负载均为复阻抗的一般情况。设电源内阻抗为Zi=Ri+jXi,负载阻抗为ZL=RL+jXL。利用前面电源内阻抗和负载均为纯电阻情况下所得到的的结果,将图6变换为图7。显然图7对求负载的功率来说,与图2的形式相同。设图7中的LC二端口网络的Z参数仍为Ζ=[jX1jX2jX2jX3〗(22)图7虚线框内的二端口的Z参数为Ζ′=[j(X1+Xi)jX2jX2j(X3+XL)〗(23)可见,图7虚线框内所示的二端口网络也是一个LC网络。其负载获得最大功率的条件显然也与图1类似。只需将图2推导出的各结果中的X1换作X1+Xi,C3换作X3+XL,便可得到图7电路中负载获得最大功率的条件和所获得的最大功率,也就是图4所示电路的结果。图7所示电路的戴维南等效电路仍如图3所示。图中等效参数分别为˙Uoc=jX2Ri+j(X1+Xi)˙USΖeq=j(X3+XL)+X22Ri+j(X1+Xi)=RiX22R2i+(X1+Xi)2+j(X3-(X1+Xi)X22R2i+(X1+Xi)2)}(24)利用最大功率传输定理,有RiX22R2i(X1+Xi)2=RL(X3+XL)-(X1+Xi)X22R2i+(X1+Xi)2=0}(25)由式(25)可解得Ri=√(X1+Xi)X22(X3+XL)-(X1+Xi)2RL=√X22(X3+XL)(X1+Xi)-(X3+XL)2}(26)式(26)即此时实现最大功率传输的条件。由式(24)和式(26)可得戴维南等效电路中的电源电压有效值为Uoc=√X22R2i+(X1+Xi)2US=√X3+XLX1+XiUS=√RLRiUS(27)此时可求得负载获得的最大功率为PLmax=U2S/4Ri(28)上述推导还可推广应用到电源部分为一已知复杂网络的情况。此时只需先将该复杂网络作戴维南等效,便可得到与图6相似的等效电路,再利用上述结论即可。3负载抗不变设计本文讨论了一般电路教材