基于矩阵变换的博弈分析

基于矩阵变换的博弈分析

0干扰方的“博弈”雷达源干扰是现代信息战争中争夺电力权的重要手段之一。目标是抑制、干扰和破坏敌人雷达的报警、目标跟踪和精确监控，并利用自己的军事行动来掩护其有效防御和正确防御武器攻击。现代战场环境瞬息万变,雷达的工作体制、跟踪方式随时变化,对于干扰方来说雷达如何变化是未知的;同样对于雷达方来说,干扰方将采取什么样的干扰方式也是不得而知的。由此可见,现代电子战中雷达与干扰机的对抗过程是一个“博弈”的动态过程,双方都希望选择合适的策略来实现自己的利益最大化,缩小对方的利益,使其最小化。本文将“矩阵博弈”这一模型引入雷达有源干扰策略选择当中,研究如何选择合适的雷达有源干扰样式,来最大限度地达到干扰效果。1干扰方的策略空间博弈论是指在利益冲突、双方行动和意图不完全明了的情况下,采用数学方法决策应采取的最优行动方案。在众多的博弈模型中,占重要地位的是矩阵博弈。它是由竞争双方各自的策略集和其中一方的赢得矩阵所构成的博弈。雷达有源干扰是干扰方和雷达方的对抗,干扰方和雷达方为两个局中人,雷达的目的就是发射信号检测目标,而干扰机的目的就是发射干扰信号阻止雷达检测目标,故对抗双方的雷达和干扰机就构成了博弈中的局中人,记为R和J;雷达搜索目标,采用的雷达样式就是雷达方的纯策略空间,记为SR=(R1,R2,…,Rm);干扰机干扰雷达信号,所采取的干扰方法就是其纯策略空间,记为SJ=(J1,J2,…,Jn)。干扰机干扰雷达的目的就是要达到好的干扰效果。同理,雷达抗干扰的目的就是降低干扰效果。二者力求达到的目的相反,因此它们可以用相同的度量标准,只不过对度量标准的评价相反而已。故干扰效果就是双方的盈利函数,只是干扰方要求干扰效果尽可能好,而雷达方要求干扰效果尽可能差。若用Eij表示当干扰机采用干扰措施Jj、雷达采用雷达样式Ri时的干扰效果,则雷达有源干扰博弈策略矩阵E为:E=⎡⎣⎢⎢⎢⎢E11E21⋮Em1E12E22⋮Em2⋯⋯⋱⋯E1nE2n⋮Emn⎤⎦⎥⎥⎥⎥E=[E11E21⋮Em1E12E22⋮Em2⋯⋯⋱⋯E1nE2n⋮Emn]如果对抗关系矩阵E=(Eij)m×n的元素满足矩阵博弈的最小最大定理和最大最小定理,即:minj(maxiEij)=maxi(minjEij)=E∘ij∘minj(maxiEij)=maxi(minjEij)=Ei°j°,则矩阵博弈有最优纯策略解(R°i,J°j)。R°i为雷达方的最优纯策略,J°j为干扰方的最优纯策略。干扰方的得益为V=E°ij°。如果对抗关系矩阵的元素不满足上式,即:minj(maxiEij)≠maxi(minjEij)minj(maxiEij)≠maxi(minjEij),则矩阵博弈不存在最优纯策略解,但存在最优混合策略解。2雷达干扰策略矩阵的求解2.1干扰方的策略方法设雷达方以概率xi(i=1,2,…,m)从其策略集SR中选取纯策略Ri(i=1,2,…,m)。而构成的混合策略为X=(x1x2…xm),其中:xi≥0,i=1,2,…,m,且∑i=1mxi=1∑i=1mxi=1。干扰方以概率yj(j=1,2,…,n)从其策略集SJ中选取纯策略Jj(j=1,2,…,n)。其混合策略为Y=(y1y2…yn),其中:yj≥0,j=1,2,…,n,且∑j=1nyj∑j=1nyj=1。对于X,Y,(X,Y)构成一个混合局势,干扰方的赢得函数为:E(X,Y)=YAXT=∑i=1∑j∑i=1∑jEijxiyj。使上式满足minY(maxXE(X,Y))=maxX(minYE(X,Y))minY(maxXE(X,Y))=maxX(minYE(X,Y))的混合策略X°、Y°为雷达方、干扰方的最优混合策略,干扰方的得益为E(X°,Y°)=Y°A(X°)T。矩阵博弈总是存在最优混合策略解,纯策略只是混合策略的特例。2.2局中人的策略博弈矩阵对策有很多成熟的解法,如公式法、图解法、线性方程组法、线性规划算法、迭代-Brown算法等。其中,迭代-Brown算法用于求解大型矩阵对策,是最实用、最适于计算机执行的算法。其基本思想是:假设两个局中人反复进行博弈多次,在每一局中,各局中人都从自己的策略集中选取一个使对方获得最不利结果的纯策略,即第k局博弈纯策略的选择欲使对手在前(k-1)局中的累计所得最少。针对雷达有源干扰而言,雷达方和干扰方分别采取如下策略步骤:1)在第一局中,让雷达方先取任意一个纯策略Ri,然后,干扰方随之采取某一纯策略Jj,使采取了Ri的雷达方所得最少。2)在第二局中,雷达方认为干扰方还将采取Jj,故采取某一策略Ri,使干扰方所失最多;然后干扰方又采取某一策略,使雷达方在这两局中的累计赢得为最少。3)在第三局中,雷达方又采取某一策略使干扰方在前两局中的累计所失为最多,然后干扰方又采取某一策略,使雷达方在前三局中的累计所得为最少。如此博弈下去,直到迭代的结果达到一定的满意程度为止。局中人各纯策略在已进行的N局博弈中出现的频率分布作为最优混合策略中概率分布的一个近似。3干扰成功概率作为电子对抗的重要资源,雷达有源干扰装备在作战使用上往往要贯穿整个作战的全过程。对于空中干扰资源,如大型电子战飞机或电子干扰吊舱,一般在空中多区域配置,实施远距离支援干扰,压制敌远程预警及目标指示雷达;或者与其它作战飞机组成小型编队,实施随队支援干扰或自卫干扰;对于岸基干扰资源,一般在沿岸多点配置,实施远距离支援干扰,在一定纵深距离上压制敌远程预警及目标指示雷达;对于舰载干扰资源,一般随舰进行自卫防御,采用压制、欺骗及各种组合样式干扰,破坏雷达对目标正常跟踪,摆脱精确制导武器的打击。为了对雷达有源干扰的战术效果进行分析,本文以一海战实例分析。设舰载雷达有源干扰系统具有欺骗干扰、瞄准式噪声干扰、阻塞式噪声干扰和扫频式噪声干扰等四种干扰手段,分别用J1、J2、J3、J4表示。而敌方雷达有脉冲多普勒雷达、脉冲压缩雷达、捷变频雷达和常规脉冲雷达等四种体制,分别用R1、R2、R3、R4表示。从雷达有源干扰方的角度考虑,雷达有源干扰的成功概率能够定量反映干扰方的干扰效果,因此以干扰成功概率作为博弈双方的盈利函数。根据实战统计和概率计算,可以得到各种干扰手段对不同的体制的雷达和各种反干扰措施对抗时的成功概率。假设博弈矩阵如表1所示(表中数据为虚构,实际应用中应由情报或试验得到)。可见这是一个混合策略,根据上述迭代法的基本思想,假设对抗双方交替采用如下策略步骤:1)首先由雷达方任取一个策略,假设取第二个策略,则在表2中的1列中记下该列元素(0.90,0.73,0.22,0.19)T。2)干扰方根据雷达方的行动,选对自己最有利(干扰成功概率最大)的第一个策略。在0.90下画线,将赢得矩阵的第一行(0.95,0.90,0.82,0.10)T记在表3中2列中。3)雷达方根据干扰方的行动,选表3中2列下对自己最有利(干扰成功概率最小)的策略,即策略4。我们在0.1下画线,将赢得矩阵第四列和表2中雷达方所选策略元素对应相加,将得到的(1.0,1.62,0.8,0.9)T记在表2中的3列下。4)干扰方根据雷达方前两次的行动情况,即表2中3列元素,选对自己最有利(干扰成功率最大)的策略,即在1.62下画线,将赢得矩阵的第二行元素和表3中2列元素相加,得到(1.6,1.63,0.98,0.99)T记在表3中4列下。5)雷达方再根据干扰方的两次行动情况,选对自己最有利(干扰成功率最小)的策略,即在0.98下画线,将赢得矩阵的第三列和表2中的3列相加,将所得(1.82,1.78,1.43,1.3)T记在表2中5列下。如此不断迭代下去,当N足够大时,可以认为迭代结果为博弈的解。取博弈次数N=1000,并将前20步的结果记录在表2和表3中。经过计算机演算,最后得到干扰方最优混合策略X=(0.259,0.289,0.451,0.001),因此干扰方最优策略是策略三,即在敌方雷达体制和抗干扰措施未知的情况下,应优先选用阻塞噪声干扰来提升己方的防御能力。当然,如果已经判定敌方使用了某种雷达体制,则应果断采用有效干扰手段进行对抗。4阵风博弈算法在双方未知对方将采用何种策略情况下,干扰方和雷达方对抗的实质就是二人零和博弈过程,这也正是矩阵博弈所要