diricsle特征的一些新刻画

diricsle特征的一些新刻画

奇怪是一个非常重要的无限层次，在研究花卉和艺术方面发挥着非常重要的作用。关于麒麟的特征，定义：。C(χ,a)=q∑m=1ˉχ(m)e(amkq),C(q,a)=C(χ0),这里χ0模q在主特征.若χ1,…,χs是modq的特征,我们写B(n,q,χ1,χ2,⋯,χs)=q∑a=1(a,q)=1e(-anq)C(χ1,a)C(χ2,a)⋯C(χs,a),B(n,q)=B(n,q,χ01,⋯‚χ0s)‚A(n,q)=B(n,q)φs(q),σ(n)=+∞∑q=1A(n,q).Vaughan在中有如下结论:对于s>2k,有σ(n)≫1.我们有如下定理:命s=16,k=4.那么当n≡0(mod16)时,有σ(n)≫1.该定理的改进对于四次的Waring-Goldbach问题的研究具有重要意义.事实上,我们可以此为基础,得出一系列重要结论.引理1C(q,a)和A(q,a)关于q是可乘函数.令:γ=4,若p=2;γ=1,若p≥3.若t>γ,那么C(pt,a)=0.并且相应的A(n,pt)=0.引理2对于p=3,我们有1+A(n,3)={0若n≠1(mod3),3若n≠1(mod3).对于p=5,我们有1+A(n,5)={0若n≠1(mod5),5若n≡1(mod5).对于p=7,我们有1+A(n,7)>0.对于p≥11,我们有|1+A(n,p)|>0.证可以很容易的验证,当p=3,5,7时,结论成立.当p≥11时,1+A(n,p)=1+p-1∑n=1C16(a,p)e(-anp)(p-1)16.(1)接下来我们将对p进行讨论.首先,我们具体讨论C(a,p).ⅰ)p≡1(mod4).取χ(n)=e(δ4),这里δ是p的一个原根g的指标,i.e.δ=indga.当a≡x4(modp)(2)在范围1≤x≤p-1有整数解时,那么δ≡0(mod4),并且(2)有四个解.因此,χ(a)=e(δ4)=1,χ(a)+χ2(a)+χ3(a)+1=4.(3)当(2)无整数解时,χ(a)=e(δ4)=-1,±i.χ(a)+χ2(a)+χ3(a)+1=0.(4)这里我们定义χ(a)=0,如果p|a.因此由(3)、(4)可得1+C(a,p)=p∑h=1e(ah4p)=ˉχ(a)G(χ)+Ψ(a)G(Ψ)+χ(a)G(χ),此处G(χ)=p∑n=1χ(n)e(np),且χ2(n)=e(2δ4)=Ψ(n),ˉχ(n)=e(3δ4).当p≡1(mod4)时,p=ππ¯=a2+b2,这里π=a+bi是一个本原素数,且a是一个奇数.因此,(χ¯(a)G(χ)+χ(a)G(χ¯))2=G2(χ)+G2(χ¯)+2G(χ)G(χ¯)=J(χ,χ)G(χ2)+J(χ¯,χ¯)G(χ2)+2χ(-1)p=-χ(-1)(π+π¯)G(χ2)+2χ(-1)p=-χ(-1)2ap12+2χ(-1)p=2χ(-1)p12(p12-a),这里J(χ1,χ2)=∑n,m(modp)m+n≡1(modp)χ1(n)χ2(n)被称为关于特征χ1,χ2的Jacobi和.并且我们利用了以下的结果:G(χ2)=∑n=1p(np)e(np)=p12,G(χ)G(χ¯)=G(χ)G(χ3)=χ(-1)p,当p≡1(mod4)时.我们有|χ¯(a)G(χ)+χ(a)G(χ¯)|2=2p12(p12-a)＜2p-2p12.|C(n,p)|=|χ¯(a)G(χ)+Ψ(a)G(Ψ)+χ(a)G(χ¯)-1|≤(2+1)p12+(1-12+e)＜(2+1)p12+0.293.注意到(1-x)12＜1-(12-e)x这里0<x<1,e充分小,e<10-4.因此我们有|A(n,p)|≤((2+1)1112+0.293)16/1015＜1,P≥11.因此|1+A(n,p)|≥1-λ>0这里0<λ<1p≥11.ⅱ)当p=3(mod4),时,则有C(a,p)=∑a=1p(jp)e(jp)-1=ip12-1.由(1),我们有|A(n,p)|≤(p12+1)16(p-1)15＜(11+1)161015＜1.注意到1+A(n,p)≥0,有|1+A(n,p)|=1+A(n,p)>1-λ>0.引理证毕.定理1对于s=16,k=4,当n≡0(mod16)时,有σ(n)≫1.证首先,对于p=2.我们来计算1+A(n,2)+A(n,22)+A(n,23)+A(n,24).A(n,2)=1φ16(2)∑h1=1(h1,2)=1h1=2⋯∑h16=1(h16,2)=1h16=2∑a=1(a,2)=12e(a(h14+h24+⋯+h164-n)2)=2Μ-1,这里M是方程h14+h24+…+h164≡n(mod2).的解数.这里h1…,h16都是奇数.A(n,2α)=1φ16(2α)∑Η(∑a=12αe(αΗ2α)-∑a=12α-1e(αΗ2α-1))=1φ16(2α)∑Η∈D∑a=1(a,2)=12αe(αΗ2α)+∑Η∉D∑a=1(a,2)=12αe(αΗ2α)=φ(2α)φ16(2α)Μ+∑Η∉D∑a=1(a,2)=12αe(αΗ2α).我们还有∑Η∉D=∑Η∉DΗ∈D1+∑Η∉DΗ∉D1.这里D表示方程h14+h24+…+h164≡n(mod2α)的解集.这里h1,h2,…,h16都为整数,并且D1表示满足:2α-1‖h14+h42+…+h164-n的(h1,h2,…,h16)的集合.这里1≤hi≤16,且hi都是奇数.如果不产生混淆的话,我们还令D1表示h14+h24+…+h164的集合.∑Η∉D∑a=1(a,2)=12αe(αΗ2α)=∑Η∉D(∑a=12α-1e(αΗ2α)-∑a=12α-1e(αΗ2α-1))=-∑Η∉DΗ∈D1∑a=12α-1e(αΗ2α-1)-∑Η∉DΗ∈D1∑a=12α-1e(αΗ2α-1)=-∑Η∉DΗ∈D12α-1=-2α-1Μα1.这里Mα1表示方程2α-1‖h14+h24+…+h164的解数,这里α≥2,且1≤hi≥2α.hi都是奇数.令Mα表示方程h14+h24+…+h164≡n(mod2α)的解数,这里1≤hi≤2α且hi都是奇数.因此A(n,2α)=Μα-Μα1φ15(2α),且α≥2.对于固定的α≥2,显然我们又有关系式216Mα=Mα+1+Mα+11因此1+A(n,2)+⋯+A(n,24)=1+(2Μ1-1)+2Μ2-216Μ1φ15(4)+2Μ3-216Μ2φ15(8)+2Μ4-216Μ3φ15(16)=24Μ4φ16(16).当n≡0(mod16)时,M4=816.当n≢0(mod16)时,M4=0.因此1+A(n,2)+⋯+A(n,24)={16若n≡0(mod16).0若n≠0(mod16).从以上的讨论,我们有σ(n)=∑qA(n,q)=(1+A(n,2)+⋯+A(n,24)(1+A(n,3))(1+A(n,5))(1+A(n,7))∏p≥11(1+A(n,p)).从引理2的证明中知,A(n,p)≪p-7.因此|1+A(n,p)|≥1-Bp7,当p≥L时,这里L是一个充分大的正整数并且B是一个固定的正数.因此我们有