具有不同值格lf拓扑空间的积空间

具有不同值格lf拓扑空间的积空间

基于相同值格的lf家族的构建空间，该空间详细讨论并系统研究了该空间的各种可乘用性问题。lf家族如何在具有不同值格的家庭中创建积累空间？对于这种可执行的排序空间，什么类型的排序空间的排序空间？本文引入了相对累积空间的概念，使具有一定条件的lf拓扑空间能够累积，并对其进行了扩展，然后讨论了可执行空间的扩展问题。在文本中，sti分类（i.1和2）、可数性和强f紧凑性讨论了可执行问题。在文本中，hausdofff的分离性和完全纠正性讨论了可执行问题。在本文中，分离性讨论了ti（i.1，0，1）的可乘用性。本文未定义的概念及符号均可见与.定义1设(LX,δ)是LF拓扑空间，如果对M*(LX)中的任二承点相同的分子xλ与xµ，当µ<λ时有P∈η(xλ)使xµ≤P，则称(LX,δ)为T-1空间.定理1设(LX,δ)是各LF拓扑空间{(LXtt,δt)}t∈T的相对积空间，如果是T-1空间，则(LX,δ)是T-1空间.证设是T-1空间,x={xt}t∈T∈x,λ,µ∈M(L)且µ<λ.任取r∈T，因为是T-1空间，由在中有闭远域Br使由命题2,是中的闭集，且由知,由所以是T-1空间.注1定理1的逆命题不成立，详见例5.1.13,但由定理1及定理5.1.5并注意到T-1分离性是同胚不变性，我们有：定理2设(LX,δ)是各LF拓扑空间的相对积空间，如果(LX,δ)是T-1空间，则当是满层空间时，是T-1空间.定义2设(LX,δ)是LF拓扑空间，如果对M*(LX)中的任二不同的分子xλ与yµ，有P∈η(xλ)使yµ≤P，或有Q∈η(yµ)使xλ≤Q，则称(LX,δ)为T0空间.定理3设(LX,δ)是各LF拓扑空间{(LXtt,δt)}t∈T的相对积空间，如果是T0空间，则(LX,δ)是T0空间.反过来，如果(LX,δ)是T0空间，则当是满层空间时，是T0空间.证设是T0空间，且xλ≠yµ，这时有r∈T使.因为是T0空间，有闭集使不妨设（1）成立.由命题2,是(LX,δ)中的闭集，且有且即且所以)是T0空间.反过来，由定理1,定理5.1.5，及T0分离性是同胚不变性质，可知结论成立.注2定理3中后半部分的条件“满层空间”不可去掉.详见例5.1.15.定义3设(LX,δ)是LF拓扑空间，如果对X中的任二不同的分明点x与y，存在λ∈M(L)使得有P∈η(xλ)以及yλ≤P或有Q∈η(yλ)以及xλ≤Q，则称(LX,δ)为次T0空间.定理4设(LX,δ)是各LF拓扑空间的相对积空间，则(LX,δ)是次T0空间当且仅当是次T0空间.证充分性.设是次T0空间，则存在r∈T使得xr≠yr.因是次T0空间，则存在λ∈M(Lr)使得有闭集且或有闭集且不妨设（1）成立.由命题2,是(LX,δ)中的闭集，易证且)，其中所以(LX,δ)是次T0空间.必要性.设(LX,δ)是次T0空间,r是T中的一个固定指标，a,b∈Xr,a≠b.∀t∈T-{r},任取zt∈Xt,令x与y分别由下式确定：这时x与y是X中不同的点，因为(LX,δ)是次T0空间，所以有λ∈M(L)及闭集Q∈δ′使或者为确定起见,不妨设(3)成立.由命题1,Q可表示为形如的若干闭集之交，这里每一个所以由（3）知存在闭集使且这时因为λ≤R(x),λ≤/R(y),所以R(x)≠R(y).那么由x与y的作法知必有某i≤n使ti=r，不妨设t1=r.这时由此可得且即且).所以有使aq≤Br(λ)r.这表明是次T0空间.定义4设(Lx,δ)是LF拓扑空间.如果对M*(Lx)中的任二不同分子xλ与yµ，当时，存在使，则称为空间.由定义4,可得命题1设(Lx,δ)是LF拓扑空间，则(Lx,δ)是T1空间当且仅当∀xλ∈M*(LX),xλ是闭集.命题2设(LX,δ)是各LF拓扑空间的相对积空间，则证由命题2,投影序同态是连续序同态,所以又因为,所以定理5设(LX,δ)是各LF拓扑空间的相对积空间.如果∀t∈T,是T1空间，则(LX,δ)是T1空间.反过来，如果(LX,δ)是T1空间，则∀t∈T,当是满层空间时，是T1空间.证设是T1空间.x={xt}t∈T∈X,λ∈M(L).显然,由命题1,是中的闭集.由命题2,xλ是(LX,δ)中的闭集.再由命题1.(LX,δ)是T1空间.反过来，设(LX,