关于相对论性的一个数列函数的均值估计

关于相对论性的一个数列函数的均值估计

在正整数集或矩阵中，自变量n的函数y=f（n）称为推理函数，在推理中的各种性质研究中发挥着重要作用。许多重要的推理函数的单个价值不规则，但其平均值nxf（n）具有非常规则的渐近公式。因此，估计矩阵函数的平均值是解析数论的一个重要课题，也是研究不同结论的不可或缺的工具。可乘函数与可加函数是两类重要的数论函数.设m,n为满足条件(m,n)=1的正整数,Smarandache可乘函数定义为g(mn)=max{g(m),g(n)}.数论专家Sabin首次提出了这一函数,并指出其他一些著名的数论函数如Erdös函数,Smarandache函数等都是一类特殊的Smarandache可乘函数.进一步,他定义了一类新的Smarandache可乘函数为f(1)=0(m,n)=1⇒f(mn)=min{f(m),f(n)}如果n的标准分解式为n=pα11pα22…pαrr则有f(n)=min{f(pα11,…,f(pαrr)}特别的取f(pα)=min{α,p}.关于可乘函数与可加函数其他的性质可参阅文献.另外,如果n的标准分解式为n=pα11pα22…pαrr可知素因数个数函数Ω(n),ω(n)分别定义为Ω(1)=ω(1)=0,Ω(n)=α1+α2+…αr,ω(n)=r显然Ω(n)、ω(n)均为可加函数.本文利用解析方法研究Ω(f(n))及ω(f(n))的均值分布性质,并得到了两个较强的渐近公式.具体内容按排为:先给出一个引理,再利用引理结果给出定理的详细证明.1+12s1111111222ks估计引理设正整数k≥2,Ak表示所有k-full数(若对于任意素数p|n都有pk|n,则称n为一个k-full数)组成的集合.则对于任意实数x≥1,有渐近公式∑n≤xn∈Ak1=6k⋅x1kπ2∏p(1+1(p+1)(p1k-1))+Ο(x12k+ε).证明为了方便起见,定义特征函数为a(n)={1,若n=1或者n为一个k-full数;0,其他.则有∑n≤xn∈Ak1=∑n≤xa(n).令f(s)=∞∑n=1a(n)ns.可知当s的实部较大时,级数f(s)绝对收敛.从而由Euler积公式知f(s)=∏p(1+a(pk)pks+a(pk+1)p(k+1)s+⋯)=∏p(1+1pks×11-1ps)=∏p(1+1pks)∏p(1+1(pks+1)(ps-1))=ζ(ks)ζ(2ks)∏p(1+1(pks+1)(ps-1)),其中ζ(s)为Riemann-zeta函数.很明显有不等式|a(n)|≤n,|∞∑n=1a(n)nσ|＜1σ-1k,其中σ＞1k为s的实部,则由Perron公式,有∑n≤xa(n)ns0=12πi∫b+iΤb-iΤf(s+s0)xssds+Ο(xbB(b+σ0)Τ)+Ο(x1-σ0Η(2x)min(1,logxΤ))+Ο(x-σ0Η(Ν)min(1,xΤ∥x∥)).其中N为离x最近的整数,当x为半奇数时取N=x-1/2,‖x‖=|x-N|.在上式中取s0=0,b=1+1k,Τ=1+x12k,Η(x)=x,B(σ)=1σ-1k,则有∑n≤xa(n)=12iπ∫1+1k-iΤ1+1k+iΤζ(ks)ζ(2ks)U(s)xssds+Ο(x12k+ε)其中U(s)=∏p(1+1(pks+1)(ps-1)).以下估计主项12iπ∫1+1k-iΤ1+1k+iΤζ(ks)xsζ(2ks)sU(s)ds,将积分线从s=1+1k±iΤ移到s=12k±iΤ.考虑到函数f(s)=ζ(ks)xsζ(2ks)sU(s)在s=1k处有一个一阶极点,留数为kx1kζ(2)U(1k).即12iπ(∫1+1k-iΤ1+1k+iΤ+∫1+1k+iΤ12k+iΤ+∫12k+iΤ12k-iΤ+∫12k-iΤ1+1k-iΤ)ζ(ks)xsζ(2ks)sU(s)ds=k⋅x1kζ(2)∏p(1+1(p+1)(p1k-1)).容易估计|12πi(∫1+1k+iΤ12k+iΤ+∫12k-iΤ1+1k-iΤ)|ζ(ks)xsζ(2ks)sU(s)ds|≪∫12k1+1k|ζ(k(σ-1+iΤ))ζ(2k(σ-1+iΤ))U(s)x1+1kΤ|dσ≪x1+1kΤ=x12k再利用分部积分法便可得到如下估计|12πi∫12k+iΤ12k-iΤζ(ks)xsζ(2ks)sR(s)ds|≪∫0Τ|ζ(1/2+ikt)ζ(1+2ikt)x12kt|dt≪x12k+ε.注意到ζ(2)=π26,由上述估计可得∑n≤xn∈Ak1=6k⋅x1kπ2∏p(1+1(p+1)(p1k-1))+Ο(x12k+ε),证毕.2有nxbn的节约条件2.现在来给出定理及其证明.定理1对于任意的实数x≥1,有渐近公式∑n≤xΩ(f(n))=12x12π2∏p(1+1(p+1)(p12-1))+Ο(x14+ε)其中∏p表示所有素数求积,以及ε为任意给定的正数.证明若记B={n|n=p1p2α2…prαr,αi≥2,i=2,3,…,r},则∑n≤xΩ(f(n))=∑n≤xn∈A2Ω(f(n))+∑n≤xn∈BΩ(f(n))=∑n≤xn∈A2Ω(f(n))+∑n≤xn∈BΩ(1)=Ω(2)(∑n≤xn∈A21-∑n≤xn∈A31)+∑n≤xn∈A3Ω(f(n))=∑n≤xn∈A21-∑n≤xn∈A31+Ω(2)∑n≤xn∈A41+Ω(3)(∑n≤xn∈A31-∑n≤xn∈A41)+∑n≤xn∈A4Ω(f(n))=∑n≤xn∈A21+∑n≤xn∈A4Ω(f(n))利用上述引理,有∑n≤xn∈A21=12x12π2∏p(1+1(p+1)(p12-1))+Ο(x14+ε),及∑n≤xn∈A4Ω(f(n))=Ο(x14).则有∑n≤xΩ(f(n))