泰勒公式在数值计算中的应用

泰勒公式在数值计算中的应用

泰勒公式是“函数近似”思想的重要体现。它不仅在分析计算中发挥着重要作用，而且在数值计算中也发挥着非常广泛的作用。然后描述了泰勒公式在计算值中的各种重要应用。1x3构造数值稳定性问题.数值计算方法的数值稳定性是计算方法的基本问题.Taylor公式常用于近似计算,以改善计算方法的数值稳定性.举例如下:例1.1当|x|很小时,用数值稳定的计算公式计算(1+x1-x)13-(1-x1+x)13(1+x1−x)13−(1−x1+x)13.解:(1+x1-x)13-(1-x1+x)13=(1+2x1-x)13-(1-2x1+x)13≈[+2x3(1-x)]-[1-2x3(1+x)]=4x3(1-x2)≈4x3(1+x1−x)13−(1−x1+x)13=(1+2x1−x)13−(1−2x1+x)13≈[+2x3(1−x)]−[1−2x3(1+x)]=4x3(1−x2)≈4x3.构造数值稳定的计算方法要避免两个相近的数相减,以免造成有效数字的损失.本例就属于这类问题.利用Taylor公式就可以解决这类问题.2迭代公式的收敛性一种迭代法具有实用价值,不但需要它是收敛的,而且需要它有较高的收敛速度.所谓收敛速度,是指收敛的迭代方法在接近收敛时迭代误差的下降速度.记ek=x*-xk为第k次迭代误差,若该迭代公式收敛,即ek→0,且存在正常数p≥1,使limk→∞ek+1epk=C(C≠0)limk→∞ek+1epk=C(C≠0),则称此迭代公式为p阶收敛的.特别地,当p=1时称线性收敛,当p=2时称平方收敛.直接利用收敛速度的定义判定迭代公式的收敛速度很不方便,所以常常借助于泰勒公式.下面以求解一元非线性方程的迭代方法为例说明泰勒(Taylor)公式的应用.对于迭代公式xk+1=φ(xk),(k=1,2,…)的收敛速度有如下定理:定理2.1如果φ(p)(x)在所求根x*的邻近连续,并且φ′(x*)=φ″(x*)=…=φ(p-1)(x*)=0,φ(p)(x*)≠0,(2.1)则该迭代公式在点x*邻近是p阶收敛的.证明:由于φ′(x*)=0,所以迭代公式xk+1=φ(xk)具有局部收敛性.利用泰勒公式,将φ(xk)在x*处泰勒展开,得φ(xk)=φ(x*)+φ′(x*)(xk-x*)+φ″(x*)2!(xk-x*)2+⋯+φ(p)(ξ)p!(xk-x*)p,φ(xk)=φ(x∗)+φ′(x∗)(xk−x∗)+φ′′(x∗)2!(xk−x∗)2+⋯+φ(p)(ξ)p!(xk−x∗)p,其中ξ介于xk与x*之间.由条件(2.1)有φ(xk)=φ(x*)+φ(p)(ξ)p!(xk-x*)p.又因为xk+1=φ(xk),φ(x*)=x*,由上式可得xk+1-x*=φ(p)(ξ)p!(xk-x*)p.因此对迭代误差ek=x*-xk有limk→∞ek+1ek=(-1)p+1φ(p)(x*)p!≠0由迭代公式的收敛速度的定义知,该迭代公式在点x*邻近是p阶收敛的.定理2.1就是利用了Taylor公式.利用定理2.1判断迭代公式的收敛阶,只需要求迭代函数的各阶导数在x*点的值,而避免了求函数极限,更加简便.下面利用定理2.1给出牛顿法的收敛性.牛顿迭代公式xk+1=xk-f(xk)/f′(xk)(f′(x)≠0)的迭代函数为φ(x)=x-f(x)/f′(x).设f(x)在x*的某邻域内具有连续的二阶导数,当x*是方程f(x)=0的单根,即f(x*)=0,f′(x*)≠0.且φ′(x)在x*的邻域内连续,因为φ′(x)=f(x)f″(x)/[f′(x)]2,所以迭代函数φ(x)具有连续的一阶导数,且φ′(x)(x*)=0.因此牛顿迭代公式具有局部收敛性,且由定理2.1知至少是线性收敛的.若f‴(x)在x0的邻域内存在,又因为φ″(x)=[f′(x)]2f″(x)+f(x)f′(x)f‴(x)-2[f″(x)]2f(x)[f′(x)]3,所以φ″(x*)=f″(x*)/f′(x*).只要f″(x*)≠0,就有φ″(x*)≠0,由定理2.1可知牛顿迭代公式是平方收敛的.如果f″(x*)=0,则牛顿迭代公式的收敛速度还会更快.3输出方法和新顿重复法3.1euter公式的推导Euler法是求解常微分方程初值问题{dydx=f(x,y)(x0≤x≤b),y(x0)=y0,(3.1.1)的重要方法.下面由泰勒公式导出Euler公式yn+1=yn+hf(xn,yn).(3.1.2)用Taylor公式将y(xn+1在xn处展开,则有x(xn+1)y(xn)+hy′(xn)+h22y″(ξ),(3.1.3)取右端前两项得y(xn+1)≈y(xn)+hy′(xn)+hf(xn,y(xn)),建立y(xn)用的近似值yn计算y(xn+1)的近似值yn+1的公式即可得Euler公式(3.1.2).因为Euler公式可由Taylor公式推出,并且由带有Peano余项的Taylor公式可知,(3.1.3)式是舍去了步长h的2阶无穷小量O(h2),即Euler方法的局部截断误差为O(h2),所以Euler公式又称为一阶Taylor级数法.同理,可以由Taylor公式推出二阶Taylor级数法:由Taylor公式将y(xn+1)在xn处展开至第四项可得y(xn+1)=y(xn)+hy′(xn)+h22y″(xn)+Ο(h3),(3.1.4)由(3.1.1)式计算可得y″=f′x+f′yf,代入(3.1.4),舍去高阶小量O(h3)得y(xn+1)≈y(xn)+hf(xn,y(xn))+h22(f′x(xn,y(xn))+f′y(xn,y(xn))f(xn,y(xn))).再用y(xn)的近似值yn计算y(xn+1)的近似值yn+1的公式即可得二阶Taylor级数法:yn+1=yn+hf(xn,yn)+h22(f′x(xn,yn)+f′y(xn,yn)f(xn,yn)).(3.5)其中,比较(3.1.4)和(3.1.5)可知公式(3.1.5)的局部截断误差为O(h3),是一个2阶方法.同理,可构造出3阶、4阶Taylor级数法.由以上推导过程可以看出,利用Taylor公式分析截断误差非常方便.实际上,利用Taylor公式分析误差是数值计算方法中应用广泛的一种基本思想方法.教材中已经详细介绍,这里不再陈述.3.2线性函数px线性化设x0是方程(1)的一个近似根,把非线性函数f(x)处作泰勒展开f(x)=f(x0)+f′(x0)(x-x0)+f″(ξ)2(x-x0)2,(3.2.1)取其线性部分,作为非线性方程f(x)=0的近似方程,记作P0(x)=0.若f′(x0)≠0,解出P(x)的根作为f(x)=0的近似根x1,则有x1=x0-f(x0)/f′(x0).再把f(x)在x1处泰勒展开,取其线性部分为f(x)=0的近似方程,记作P1(