关于三角代数的刻画

关于三角代数的刻画

0角代t与三角分辨率在文献中，studal在条件下提出了以下问题。可以添加或删除条件。在文献中，当满足条件时，可以通过环形环上的等元来添加可添加环上的等元。在文献中Daif引入了可乘导子的概念:环R上的映射d称为可乘导子,任给a,b∈R,都有d(ab)=d(a)b+ad(b)。并证明了下面定理。定理1设环R上有一个非平凡幂等e,满足下列条件:(M1)若xR=0,则x=0;(M2)如果eRx=0,则x=0(从而若Rx=0,则x=0);(M3)如果exeR(1-e)=0,则exe=0;则R上的可乘导子是可加的,即任给a,b∈R,都有d(a+b)=d(a)+d(b)。杜炜和张建华证明了套代数上的可乘导子是可加的。本文给出一类三角代数T不满足文献中环的条件,但可证明T上可乘导子是可加的。这种三角代数包括套代数及其许多标准子代数。下面给出三角代数的定义。设A,B是交换环R上的代数,X是忠实的(A,B)-双模。集合在正常的矩阵加法和矩阵乘法下构成的R-代数称为三角代数。三角代数的概念首先由Cheung引入。它包括许多非自伴算子代数,如非平凡套代数中的标准子代数。后来人们研究了三角代数中的许多问题。本文的主要结果如下:定理2设T是三角代数Tri(A,X,B),如果满足:(T1)A有单位元,并且对于x∈X,如果任给b∈B,都有xb=0,则x=0;或(T2)B有单位元,并且对于x∈X,如果任给a∈A,都有ax=0,则x=0;则T上的可乘导子是可加的。1a,b根据所定义的内导子ae定理2的证明采用矩阵分块的技巧。这个办法首先由Matindale给出,后来许多人采用这个办法来解决问题。记。显然T=T11⊕T12⊕T22。下面记号aij(1≤i≤j≤2)表示aij∈Tij,同时也表示相应于A、X、B中的元。显然当j≠k时,aijakl=0。当A有单位元1A时,令e=1A;否则当B有单位元1B时,令e=1B。则e是T的非平凡幂等。如果三角代数T仅满足定理2中的条件,在一般情况下T不满足定理1中的条件(M1～M3)。事实上,当B中存在非零元b满足bB=0时,三角代数T不满足(M1);当A无单位元,B有单位元时,显然三角代数T不满足(M2)和(M3)。下面我们证明在条件(T2)下定理2成立。另一种情况的证明类似。下面假设A无单位元,B有单位元1B,令e=1B。设d是T上的可乘导子。显然d(0)=d(00)=d(0)0+0d(0)=0;d(e)=d(e)e+ed(e)。设d(e)=a11+a12+a22,则有a11=a22,从而a11=a22=0。所以d(e)=a12。由-a12定义的内导子记为f,即f(x)=[x,-a12]=-xa12+a12x,∀x∈T。则f(e)=[e,-a12]=a12。下面用可乘导子D=d-f来代替d,则D(e)=0。定理的证明分成几个引理。引理1D(Tij)⊆Tij,1≤i≤j≤2。证明任给x22∈T22,则有D(x22)=D(ex22e)=eD(x22)e∈T22。任给x12∈T12,则有D(x12)=D(x12e)=D(x12)e=b12+b22。因为0=D(0)=D(ex12)=eD(x12)=b22,所以D(x12)=b12∈T12。任给x11∈T11。设D(x11)=c11+c12+c22。所以0=D(0)=D(ex11)=eD(x11)=c22,0=D(0)=D(x11e)=D(x11)e=c12。从而有D(x11)=c11∈T11。引理2D(x11+x12+x22)=D(x11)+D(x12)+D(x22)。证明设D(x11+x12+x22)=d11+d12+d22。则有D(x22)=D(e(x11+x12+x22))=eD(x11+x12+x22)=d22,以及d12+d22=D(x11+x12+x22)e=D((x11+x12+x22)e)=D(x12+x22)。任给t11∈T11,因为t11d12=t11(d12+d22)=t11D(x12+x22)=D(t11(x12+x22))-D(t11)(x12+x22),由引理1知D(t11)∈T11,所以t11d12=D(t11x12)-D(t11)x12=t11D(x12)。由条件(T2)得d12=D(x12)。任给t12∈T12,因为d11t12=D(x11+x12+x22)t12=D((x11+x12+x22)t12)-(x11+x12+x22)D(t12),并且由引理1知D(t12)∈T12,所以d11t12=D(x11t12)-x11D(t12)=D(x11)t12。由于X是忠实的(A,B)-双模,及D(x11)∈T11,所以有d11=D(x11)。从而证明了D(x11+x12+x22)=D(x11)+D(x12)+D(x22)。引理3D在T12上是可加的。证明设x12,y12∈T12。任给t11∈T11,应用引理2和引理1得从而有由于D(x12+y12),D(x12)+D(y12)∈T12,由条件(T2)得D(x12+y12)=D(x12)+D(y12)。所以D在T12上是可加的。引理4D在Tii(i=1,2)上是可加的。证明设x11,y11∈T11。任给t12∈T12,应用引理3得由引理1得D(x11)+D(y11),D(x11+y