【数学】一元二次不等式及其解法1（人教A版）

第三章不等式3.2一元二次不等式及其解法一元二次不等式的基本形式:

ax2+bx+c>0(a≠0)

ax2+bx+c<0(a≠0)

ax2+bx+c≥0(a≠0)

ax2+bx+c≤0(a≠0)一、基础知识讲解xyo思考：一元一次方程的解与一次函数的图象有什么关系？引例1：解不等式2x－7＞03.5答：方程的解即函数图象与x轴交点的横坐标；一、基础知识讲解

一元一次不等式的解集与一次函数的图象又有什么关系？不等式的解集即函数图象在x轴下方或上方所对应x的范围。思考：不等式x2-x-6>0的解与二次函数y=x2-x-6图像又有什么关系?引例2：解不等式x2-x-6>0解：因为△=1+24>0∴方程x2-x-6=0的解是:x1=-2，x2=3

由函数y=4x2-4x+1的图像可得不等式的解集为{x|x<-2或x>3}一、基础知识讲解yxo-23y=x2-x-6解不等式x2-x-6<0⊿=b2-4ac二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象方程ax2+bx+c=0的根ax2+bx+c>0（a>0）的解集ax2+bx+c<0(a>0)的解集⊿>0⊿=0⊿<0有两个不等实根x1,x2(x1<x2){x|x<x1或x>x2}{x|x1<x<x2}有两个相等实根x1=x2无实根{x|x≠x1}∅R∅x1x2xyxx1(x2)yxy1.一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系:一、基础知识讲解小结:解一元二次不等式ax2+bx+c>0的步骤：

①将二次项系数化为“+”（a>0);

②计算ax2+bx+c=0判别式;并求其根④由图象写出解集.

③画出y=ax2+bx+c的图象;记忆口诀：(前提a>0).大于取两边，小于取中间一、基础知识讲解

题型一一元二次不等式的解法

求下列一元二次不等式的解集．(1)x2－5x>6；(2)4x2－4x＋1≤0；(3)－x2＋7x>6.[思路探索]先将二次项系数化为正，再求对应方程的根．并根据情况结合二次函数图象，写出解集．解

(1)由x2－5x>6，得x2－5x－6>0.∴x2－5x－6＝0的两根是x＝－1或6.∴原不等式的解集为{x|x<－1或x>6}．(2)4x2－4x＋1≤0，即(2x－1)2≤0，【例1】(3)由－x2＋7x>6，得x2－7x＋6<0，而x2－7x＋6＝0的两个根是x＝1或6.∴不等式x2－7x＋6<0的解集为{x|1<x<6}．当所给不等式是非一般形式的不等式时，应先化为一般形式，在具体求解一个一般形式的一元二次不等式的过程中，要密切结合一元二次方程的根的情况以及二次函数的图象．

解下列不等式(1)2x2－x＋6>0；(3)(5－x)(x＋1)≥0.解

(1)∵方程2x2－x＋6＝0的判别式Δ＝(－1)2－4×2×6<0，∴函数y＝2x2－x＋6的图象开口向上，与x轴无交点．∴原不等式的解集为R.(2)原不等式可化为x2－6x＋10<0，∵Δ＝62－40＝－4<0，∴原不等式的解集为∅.(3)原不等式可化为(x－5)(x＋1)≤0，所以原不等式的解集为{x|－1≤x≤5}．【变式1】

四、小结（1）化成标准形式ax2+bx+c>0(a>0)

ax2+bx+c<0(a>0)

（2）判定△与0的关系，并求出方程ax2+bx+c=0的实根;

（3）根据图象写出不等式的解集.1.解一元二次不等式的步骤注：画出二次函数的图象，根据图象写出解集，注意数形结合二、例题分析解:原不等式可化为：相应方程的两根为二、例题分析例2.已知一元二次不等式ax2+bx+6>0的解集为{x∣-2<x<3}求a，b的值。练习.(1)已知不等式x2+ax+b>0的解集为{x|x<-2或x>3}，则实数a=____,b=_____.-1-6解:由题意得,a<0,且方程ax2+bx+6=0的两根分别为-2和3,∴二、例题分析例3.解：依题意可知，对任意x∈R，不等式x2-6kx+k+8≥0

应恒成立，所以k应满足:△=(-6k)2-4(k+8)≤0解得≤k≤1解：依题意可知，对任意x∈R，不等式kx2-6kx+k+8≥0

应恒成立，所以（1）若k=0，则可得8>0，满足题意（2）若k≠0，则应满足k>0△=(-6k)2-4k(k+8)≤0解得k>0-1≤k≤1∴0<k≤1综上所述，k∈[0，1]二、例题分析不等式ax²+bx+c>0的解集是全体实数的条件是_________________________________.a=b=0且c>0,或a>0且△＝b²-4ac<0三、巩固练习

题1.一个车辆制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线,这条流水线生产的摩托车数量x(辆)与创造的价值y(元)之间有如下的关系:y=-2x2+220x.

若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收6000元以上,那么它在一个星期内大约应该生产多少辆摩托车?解:设在一个星期内大约应该生产x辆摩托车.根据题意,得到:-2x2+220x>6000移项整理,得x2-110x+3000<0.因为△=100>0,所以方程x2-110x+3000=0有两个实数根x1=50,x2=60.由函数y=x2-110x+3000的图象,得不等式的解集为{x|50<x<60}.因为x只能取整数,所以当这条摩托车整车装配流水线在一周内生产的摩托车数量在51辆到59辆之间时,这家工厂能够获得6000元以上的收益.应用题2.某种牌号的汽车在水泥路面上的刹车距离sm和汽车车速xkm/h有如下关系:在一次交通事故中,测得这种车的刹车距离大于39.5m,那么这辆汽车刹车前的车速至少为多少?(精确到0.01km/h)解:设这辆汽车刹车前的车速至少为xkm/h,根据题意,得到:移项整理,得x2+9x-7110>0.显然△>0,方程x2+9x-7110=0有两个实数根,即x1≈-88.94,x2≈79.94画出函数y=x2+9x-7110的图象,由图象得不等式的解集为{x|x<-88.94,或x>79.94}在这个实际问题中,x>0,所以这辆汽车刹车前的车速至少为79.94km/h.题3.某同学要把自己的计算机接入因特网.现有两家ISP公司可供选择.公司A每小时收费1.5元；公司B的收费原则如下：在用户上网的第1小时内收费1.7元，第2小时内收费1.6元，以后每小时减少0.1元(若用户一次上网时间超过17小时，按17小时计算).一般来说,一次上网时间不会超过17小时，所以，不妨假设一次上网时间总小于17小时，那么，一次上网在多长时间以内能够保证选择公司A比选择公司B所需费用少?

解:假设一次上网x小时，则公司A收取的费用为1.5x(元)，公司B收取的费用为(元).

如果能够保证选择公司A比选择公司B所需费用少,则

(0<x<17).整理得x2-5x<0(0<x<17)

解得0<x<5所以,当一次上网时间在5小时以内时，选择公司A的费用少；超过5小时，选择公司B的费用少.四、小结（1）化成标准形式ax2+bx+c>0(a>0)

ax2+bx+c<0(a>0)