2024届新教材一轮复习人教B版 对数与对数函数 课件（41张）

第五讲对数与对数函数

第二章

函数概念与基本初等函数Ⅰ考点帮·必备知识通关考点1对数与对数运算考点2对数函数的图象与性质考法帮·解题能力提升考法1对数式的运算考法2对数函数的图象及应用考法3对数函数的性质及应用考法4指数函数、对数函数的综合问题高分帮·“双一流”名校冲刺析情境∙数学应用数学应用对数函数的实际应用数学探索指数、对数比较大小的策略提能力∙数学探索

考情解读考点内容课标要求考题取样情境载体对应考法预测热度核心素养1.对数与对数运算理解2020全国Ⅰ,T8课程学习考法1★★☆数学运算逻辑推理2.对数函数的图象与性质掌握2019浙江,T6课程学习考法2,4★★★直观想象逻辑推理数学运算2020全国Ⅱ,T9课程学习考法32020全国Ⅰ,T12探索创新考法4

考情解读命题分析预测

本讲是高考的一个热点,主要考查对数式的大小比较、对数函数的图象和性质,也常与其他函数、方程、不等式等综合命题,题型以选择题和填空题为主,难度不大.考点1对数与对数运算考点2对数的图象与性质考点帮·必备知识通关

考点1对数与对数运算1.对数的概念一般地,如果𝑎𝑥=N(𝑎>0,且𝑎≠1),那么数𝑥叫作以𝑎为底N的对数,记作𝑥=log𝑎N,其中𝑎叫作对数的底数,N叫作真数.由此可得对数式与指数式的互化:𝑎𝑥=N⇔log𝑎N=𝑥(𝑎>0,且𝑎≠1).

说明

几种常见的对数对数形式特点记法一般对数底数为𝑎(𝑎>0,且𝑎≠1)log𝑎N常用对数底数为10lgN自然对数底数为elnN

考点1对数与对数运算2.对数的性质、运算法则及重要公式性质运算法则

考点1对数与对数运算重要公式说明

(1)应用换底公式时,一般选用e或10作为底数.(2)表中有关公式均是在式子中所有对数符号有意义的前提下成立的.

考点2对数函数的图象与性质1.对数函数的图象和性质

𝑎>10<𝑎<1图象性质定义域:(0,+∞).

值域:R.图象过定点(1,0),即恒有log𝑎1=0.当𝑥>1时,恒有𝑦>0;当0<𝑥<1时,恒有𝑦<0.当𝑥>1时,恒有𝑦<0;当0<𝑥<1时,恒有𝑦>0.在(0,+∞)上是增函数.在(0,+∞)上是减函数.

考点2对数函数的图象与性质

考点2对数函数的图象与性质3.反函数指数函数𝑦=𝑎𝑥(𝑎>0,且𝑎≠1)与对数函数𝑦=log𝑎𝑥(𝑎>0,且𝑎≠1)互为反函数,它们的图象关于直线𝑦=𝑥对称(如图2-5-2所示).图2-5-2

考点2对数函数的图象与性质

考法1对数式的运算考法2对数函数的图象及应用考法3对数函数的性质及应用考法4指数函数、对数函数的综合应用考法帮·解题能力提升

考法1对数式的运算示例1(1)[2018全国卷Ⅲ,12,5分][理]设𝑎=log0.20.3,𝑏=log20.3,则

A.𝑎+𝑏<𝑎𝑏<0 B.𝑎𝑏<𝑎+𝑏<0C.𝑎+𝑏<0<𝑎𝑏

D.𝑎𝑏<0<𝑎+𝑏(2)[2018全国卷Ⅰ,13,5分]已知函数f(𝑥)=log2(𝑥2+𝑎).若f(3)=1,则𝑎=

.

(3)lg25+lg2·lg50+(lg2)2=

.

(4)(log32+log92)·(log43+log83)=

.

考法1对数式的运算

考法1对数式的运算

考法2对数函数的图象及应用示例2函数𝑦=log𝑎𝑥与𝑦=-𝑥+𝑎在同一平面直角坐标系中的图象可能是思维导引

考法2对数函数的图象及应用解析

当𝑎>1时,函数𝑦=log𝑎𝑥的图象为选项B,D中过点(1,0)的曲线,此时函数𝑦=-𝑥+𝑎的图象与𝑦轴的交点的纵坐标𝑎应满足𝑎>1,选项B,D中的图象都不符合要求;当0<𝑎<1时,函数𝑦=log𝑎𝑥的图象为选项A,C中过点(1,0)的曲线,此时函数𝑦=-𝑥+𝑎的图象与𝑦轴的交点的纵坐标𝑎应满足0<𝑎<1,选项A中的图象符合要求,选项C中的图象不符合要求.答案

A

考法2对数函数的图象及应用

考法2对数函数的图象及应用解析

设f1(𝑥)=(𝑥-1)2,f2(𝑥)=log𝑎𝑥,要使当𝑥∈(1,2)时,不等式(𝑥-1)2<log𝑎𝑥恒成立,只需在区间(1,2)上,f1(𝑥)=(𝑥-1)2的图象在f2(𝑥)=log𝑎𝑥的图象的下方即可.当0<𝑎<1时,显然不成立.当𝑎>1时,如图2-5-3所示,要使在区间(1,2)上,f1(𝑥)=(𝑥-1)2的图象在f2(𝑥)=log𝑎𝑥的图象的下方,只需f1(2)≤f2(2),即(2-1)2≤log𝑎2,所以log𝑎2≥1,解得1<𝑎≤2.答案

C图2-5-3

考法2对数函数的图象及应用方法技巧对数型函数图象的考查类型及解题思路1.对有关对数型函数图象的识别问题,主要依据底数确定图象的变化趋势、图象的位置、图象所过的定点及图象与坐标轴的交点等求解.2.对有关对数型函数的作图问题,一般是从基本初等函数的图象入手,通过平移、伸缩、对称变换得到所要求的函数图象.特别地,当底数与1的大小关系不确定时应注意分类讨论.

考法2对数函数的图象及应用3.对于较复杂的指数或对数不等式有解或恒成立问题,可借助函数图象解决,具体步骤如下:(1)对不等式变形,使不等号两边对应两函数f(𝑥),g(𝑥);(2)在同一平面直角坐标系内作出函数𝑦=f(𝑥)及函数𝑦=g(𝑥)的图象;(3)观察当𝑥在某一范围内取值时图象的位置关系及交点的个数,由此确定参数的取值或不等式的解的情况.

考法3对数函数的性质及应用命题角度1比较大小

考法3对数函数的性质及应用

考法3对数函数的性质及应用方法技巧比较对数值大小的常见类型及解题方法常见类型解题方法底数为同一常数可由对数函数的单调性直接进行判断底数为同一字母需对底数进行分类讨论底数不同,真数相同可以先用换底公式化为同底后,再进行比较底数与真数都不同常借助1,0等中间量进行比较

考法3对数函数的性质及应用

考法3对数函数的性质及应用

考法3对数函数的性质及应用方法技巧常见的对数不等式的类型及解题方法常见类型解题方法log𝑎

f(𝑥)>log𝑎g(𝑥)借助函数𝑦=log𝑎𝑥的单调性求解,如果𝑎的取值不确定,需分𝑎>1与0<𝑎<1两种情况讨论.log𝑎

f(𝑥)>𝑏先将𝑏化为以𝑎为底数的对数式的形式,再借助函数𝑦=log𝑎𝑥的单调性求解.log𝑎f(𝑥)>log𝑏g(𝑥)将不等式两边化为同底的两个对数式,利用对数函数的单调性“脱去”对数符号,同时应保证真数大于零.

考法3对数函数的性质及应用命题角度3对数型函数的单调性问题示例6[2017全国卷Ⅰ,9,5分]已知函数f(𝑥)=ln𝑥+ln(2-𝑥),则A.f(𝑥)在(0,2)上单调递增B.f(𝑥)在(0,2)上单调递减C.𝑦=f(𝑥)的图象关于直线𝑥=1对称D.𝑦=f(𝑥)的图象关于点(1,0)对称

考法3对数函数的性质及应用

考法3对数函数的性质及应用方法技巧对数型复合函数的单调性问题的求解策略1.对于𝑦=log𝑎

f(𝑥)型的复合函数的单调性,有以下结论:函数𝑦=log𝑎

f(𝑥)的单调性与函数u=f(𝑥)(f(𝑥)>0)的单调性在𝑎>1时相同,在0<𝑎<1时相反.2.研究𝑦=f(log𝑎𝑥)型的复合函数的单调性,一般用换元法,即令t=log𝑎𝑥,则只需研究t=log𝑎𝑥及𝑦=f(t)的单调性即可.

注意(1)研究对数型复合函数的单调性,一定要坚持“定义域优先”原则,否则所得范围易出错.(2)有时需对底数进行讨论.

考法4指数函数、对数函数的综合问题示例7[2020全国卷Ⅰ,12,5分][理]若2𝑎+log2𝑎=4𝑏+2log4𝑏,则A.𝑎>2𝑏 B.𝑎<2𝑏 C.𝑎>𝑏2

D.𝑎<𝑏2解析

解法一

令f(𝑥)=2𝑥+log2𝑥,因为𝑦=2𝑥在(0,+∞)上单调递增,𝑦=log2𝑥在(0,+∞)上单调递增,所以f(𝑥)=2𝑥+log2𝑥在(0,+∞)上单调递增.又2𝑎+log2𝑎=4𝑏+2log4𝑏=22𝑏+log2𝑏<22𝑏+log2(2𝑏),……….(放缩)所以f(𝑎)<f(2𝑏),所以𝑎<2𝑏.

考法4指数函数、对数函数的综合问题解法二(取特值法)

由2𝑎+log2𝑎=4𝑏+2log4𝑏=4𝑏+log2𝑏,取𝑏=1,得2𝑎+log2𝑎=4,令f(𝑥)=2𝑥+log2𝑥-4,则f(𝑥)在(0,+∞)上单调递增,且f(1)<0,f(2)>0,所以f(1)f(2)<0,f(𝑥)=2𝑥+log2𝑥-4在(0,+∞)上存在唯一的零点,所以1<𝑎<2,故𝑎>2𝑏=2,𝑎<𝑏2都不成立,排除A,D;取𝑏=2,得2𝑎+log2𝑎=17,令g(𝑥)=2𝑥+log2𝑥-17,则g(𝑥)在(0,+∞)上单调递增,且g(3)<0,g(4)>0,所以g(3)g(4)<0,g(𝑥)=2𝑥+log2𝑥-17在(0,+∞)上存在唯一的零点,所以3<𝑎<4,故𝑎>𝑏2=4不成立,排除C.答案

B点评

破解此类题的关键:一是巧构造,即会构造函数,注意活用