三角函数概念与规律

三角函数概念与规律一．任意角(1)角的分类：①按旋转方向不同分为正角、负角、零角．②按终边位置不同分为象限角和轴线角．(2)终边相同的角：终边与角α相同的角可写成α＋k·360°(k∈Z)．(3)弧度制：①1弧度的角：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．②规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零，|α|＝eq\f(l,r)，l是以角α作为圆心角时所对圆弧的长，r为半径．③用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制．比值eq\f(l,r)与所取的r的大小无关，仅与角的大小有关．④弧度与角度的换算：360°＝2π弧度；180°＝π弧度．3691827360⑤弧长公式：l＝|α|r，扇形面积公式：S扇形＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)|α|r2.二．任意角的三角函数(1)任意角的三角函数定义：设α是一个任意角，角α的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么角α的正弦、余弦、正切分别是：sinα＝y，cosα＝x，tanα＝eq\f(y,x)，它们都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数．(2)三角函数在各象限内的符号口诀是：sin上为正、cos右为正、tan一三为正．(3)三角函数定义的理解三角函数的定义中，当P(x，y)是单位圆上的点时有sinα＝y，cosα＝x，tanα＝eq\f(y,x)，但p（x,y）是终边上任意一点，它到原点的距离为r，则sinα＝eq\f(y,r)，cosα＝eq\f(x,r)，tanα＝eq\f(y,x).(4)．三角函数线设角α的顶点在坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P，过P作PM垂直于x轴于M.由三角函数的定义知，点P的坐标为(cos_α，sin_α)，即P(cos_α，sin_α)，其中cosα＝OM，sinα＝MP，单位圆与x轴的正半轴交于点A，单位圆在A点的切线与α的终边或其反向延长线相交于点T，则tanα＝AT.我们把有向线段OM、MP、AT叫做α的余弦线、正弦线、正切线.三角函数线有向线段MP为正弦线有向线段OM为余弦线有向线段AT为正切线(5)特殊角的三角函数值：sin=0cos=1tan=0sin3=cos3=tan3=sin=cos=tan=1sin6=cos6=tan6=sin9=1cos9=0tan9无意义三.同角三角函数的基本关系：（1）平方关系：sin2+cos2=1。（2）商数关系：=tan四.诱导公式：记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限。，，．，，．，，．，，．如口诀：函数名称不变，符号看象限．，．如：，，．口诀：正弦与余弦互换，符号看象限．五正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质1、用五点法作正弦函数和余弦函数的简图（描点法）：正弦函数y=sinx，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)(,1)(,0)(,-1)(2,0)余弦函数y=cosxx[0,2]的图像中，五个关键点是：(0,1)(,0)(,-1)(,0)(2,1)2、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：函数函数性质图象定义域值域最值当时，；当时，．当时，；当时，．既无最大值也无最小值周期性奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性在上是增函数；在上是减函数．在上是增函数；在上是减函数．在上是增函数．对称性对称中心对称轴对称中心对称轴对称中心无对称轴3.周期函数定义：对于函数，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有：，那么函数就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期。注意：周期T往往是多值的（如2,4,…,-2,-4,…都是周期）周期T中最小的正数叫做的最小正周期（有些周期函数没有最小正周期）,的最小正周期为2（一般称为周期）正弦函数、余弦函数：。正切函数：4、函数的图像：（1）函数的有关概念：=1\*GB3①振幅：；=2\*GB3②周期：；=3\*GB3③频率：；=4\*GB3④相位：；=5\*GB3⑤初相：．(2)振幅变换①y=Asinx，xR(A>0且A1)的图象可以看作把正数曲线上的所有点的纵坐标伸长(A>1)或缩短(0<A<1)到原来的A倍得到的②它的值域[-A,A]最大值是A,最小值是-A③若A<0可先作y=-Asinx的图象，再以x轴为对称轴翻折A称为振幅，这一变换称为振幅变换(3)周期变换①函数y=sinωx,xR(ω>0且ω1)的图象，可看作把正弦曲线上所有点的横坐标缩短(ω>1)或伸长(0<ω<1)到原来的倍（纵坐标不变）②若ω<0则可用诱导公式将符号“提出”再作图ω决定了函数的周期，这一变换称为周期变换(4)相位变换一般地，函数y＝sin(x＋)，x∈R(其中≠0)的图象，可以看作把正弦曲线上所有点向左(当＞0时)或向右(当＜0时＝平行移动｜｜个单位长度而得到(用平移法注意讲清方向：“加左”“减右”)y＝sin(x＋)与y＝sinx的图象只是在平面直角坐标系中的相对位置不一样，这一变换称为相位变换5、小结平移法过程（步骤）作作y=sinx（长度为2的某闭区间）得y=sin(x+φ)得y=sinωx得y=sin(ωx+φ)得y=sin(ωx+φ)得y=Asin(ωx+φ)的图象，先在一个周期闭区间上再扩充到R上。沿x轴平移|φ|个单位横坐标伸长或缩短横坐标伸长或缩短沿x轴平移||个单位纵坐标伸长或缩短纵坐标伸长或缩短 6、函数，当时，取得最小值为；当时，取得最大值为，则，六、两角和与差的正弦、余弦和正切公式：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）（）；（6）（）．七、二倍角的正弦、余弦和正切公式：1、二倍角的正弦、余弦和正切公式：=1\*GB2⑴．=2\*GB2⑵升幂公式降幂公式，．=3\*GB2⑶．2、，其中．3（1）升幂公式1+cos=1-cos=1±sin=()21=sin2+cos2sin=（2）降幂公式sin2cos2sin2+cos2=1sin·cos=八．三角恒等变换三角变换是运算化简的过程中运用较多的变换，提高三角变换能力，要学会创设条件，灵活运用三角公式，掌握运算，化简的方法和技能．常用的数学思想方法技巧如下：（1）角的变换：在三角化简，求值，证明中，表达式中往往出现较多的相异角，可根据角与角之间的和差，倍半，互补，互余的关系，运用角的变换，沟通条件与结论中角的差异，使问题获解，对角的变形如：①是的二倍；是的二倍；是的二倍；是的二倍；②；问：；；③；④；⑤；等等（2）函数名称变换：三角变形中，常常需要变函数名称为同名函数。如在三角函数中正余弦是基础，通常化切为弦，变异名为同名。（3）常数代换：在三角函数运算，求值，证明中，有时需要将常数转化为三角函数值，例如常数“1”的代换变形有：（4）幂的变换：降幂是三角变换时常用方法，对次数较高的三角函数式，一般采用降幂处理的方法。常用降幂公式有：；。降幂并非绝对，有时需要升幂，如对无理式常用升幂化为有理式，常用升幂公式有：；；（5）公式变形：三角公式是变换的依据，应熟练掌握三角公式的顺用，逆用及变形应用。如：；；；；；；；；；=；=；（其中；）；；（6）三角函数式的化简运算通常从：“角、名、形、幂”四方面入手；基本规则是：见切化弦，异角化同角，复角化单角，异名化同名，高次化低次，无理化有理，特殊值与特殊角的三角函数互化。如：；九、解三角形1．内角和定理：A+B+C=，结合诱导公式可减少角的个数．2．勾股定理：在Rt△ABC中，有a2+b2=c2．3．正弦定理：(R指△ABC外接圆的半径)注：(1)a：b：c=sinA：sinB：sinC；(2)a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC；(3)．利用正弦定理，已知两边和一角或已知两角和一边，可以求出其它所有的边和角．说明：正弦定理的作用是进行三角形中的边角互化，在变形中，注意三角形中其他条件的应用：(1)三内角和为180；(2)两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；(3)面积公式：①(ha、hb、hc分别表示a、b、c边上的高)；②．(4)三角函数的恒等变形：sin(A+B)=sinC，cos(A+B)=cosC，sin=cos，cos=sin．(5)边角之间的不等关系：(6)使用正弦定理解三角形共有三种题型：题型1利用正弦定理公式原型解三角形；题型2利用正弦定理公式的变形(边角互化)解三角形：关于边或角的齐次式可以直接边角互化．例如：sin2A+3sin2B=2sin2Ca2+3b2=2c2．题型3三角形解的个数的讨论．法一、画图看：法二、通过正弦定理解三角形，利用三角形内角和与三边的不等关系检验解出的结果是否符合实际意义，从而确定解的个数．4．余弦定理及其变形：a2=b2+c2--2bccosA，b2=c2+a2--2cacosB，c2=a2+b2--2abcosC；cosA=，cosB=，cosC=．说明：(1)余弦定理的作用是进行三角形中的边角互化，当题中含有二次项时，常使用余弦定理．在变形中，注意三角形中其他条件的应用(同正弦定理)．利用余弦定理构建方程(2)题型使用余弦定理解三角形共有三种现象的题型：题型1利用余弦定理公式的原型解三角形；题型2利用余弦定理公式的变形(边角互换)解三角形：凡在同一式子中既有角又有边的题，要将所有角转化成边或所有边转化成角，在转化过程中需要构造公式形式；题型3判断三角形的形状．结论：根据余弦定理，当a2+b2<c2、b2+c2<a2、c2+a2<b2中有一个关系式成立时，该三角形为钝角三角形，而当a2+b2>c2、b2+c2>a2、c2+a2>b2中有一种关系式成立时，并不能得出该三角形为锐角三角形的结论．5．判断三角形形状的方法：(1)