2021中考数学：知识点33 锐角三角函数

一、挑选题

9.（2021•杭州）如图所示，一块矩形木板ABCD斜靠在墙边（0CJ_0B,点A,B,C,D,0在同一平

面内），已知AB=a,AD=b,ZBCO=x,则点A到0C的距离等于（）

A.asinx+bsinxB.acosx+bcosxC.asinx+bcosxD.acosx+bsinx

【答案解析】D

【试题解答】作AE1_OC于点E,作AFLOB于点F,二•四边形ABCD是矩形，AZABC=90°,VZABC=ZAEC,

ZBC0=x,ZEAB=x,ZFBA=x,VAB=a,AD=b,/.FO=FB+BO=a•cosx+b•sinx,故选D.

3.（2021•威海）如图所示，一个人从山脚下的A点出发，沿山坡小路A8走到山顶8点.己知坡角为20°,

【答案解析】A

【试题解答】根据锐角三角函数的定义得小=器所以正急一焉.故按键顺序为

1.（2021•怀化）已知Na为锐角，且sina=L贝ljNa=（）

2

A.30°B.450C.60°D.90°

【答案解析】A.

【试题解答】为锐角，且s加z二L

2

/a=30°.

故选A.

2.(2021•滨州)满足下列条件时，△ABC不举直角三角形的为()

A.AB=y/^l,BC=4,AC=5B.

AB:BC:AC=3:4:5

1P痉

C.NA:NB:ZC=3:4:5D.cosA——八+etanB———-.H=O

21勤r3+

【答案解析】C

【试题解答】A中，V4<5<A/41,AC2+BC2=52+42=41,AB2=(741)2=41,AC2+BC2=AB2,.;△ABC

是直角三角形；B中，VAB:BC:AC=3:4:5,设AB=3k,BC=4k,AC=5k,VAB2+BC2=(3k)2+(4k)

2=25k2,AC2=(5k)2=25k2,AAB2+BC2=AC2,，Z\ABC是直角三角形；C中，ZA:ZB:ZC=3:4:5,

345

ZA=180°X—=45°,NB=180°X—=60°,NC=180°X一=75°,.,.△ABC不是直角三角形；D中，•••

121212

嘱段-1

cosA——+^tanB——±=0,又•:cosA--2o,铲3"4°',8sA=5.tanB=-----

23壬3

ZA=60°,ZB=30°,.♦.△ABC是直角三角形.故选C.

3.（2021•达州）矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示,已知B(2A/3,2),点A在x轴

上，点C在y轴上，P是对角线OB上一动点（不与原点重合）连接PC,过点P作PDLPC交x轴

于点D,下列结论：①OA=BC=2Q；②当点D运动到OA的中点处时，PC2+PD2=7；③在运动过程中,Z

CDP是一个定值；④当AODP为等腰三角形时，点D的坐标为（-1一,0）,其中正确结论的个数是（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案解析】D

【试题解答】已知B（2石，2）,所以OA=BC=2j5,故①正确；当点D运动到OA的中点处时，OD=Q,

而OC=2,所以OC2=7,在直角三角形CPD中，PC2+PD2=7,故②正确；过点P作PD,PC交x轴

于点D,所以在运动过程中，NCDP是一个定值，故③正确：当AODP为等腰三角形时，OCLBD,

）D=---,所以点D的坐标为（一'一,0）.

NCDO=6（）°所以%=6,即C

£

4.（2021•凉山）如图所示，在ZkABC中，CA=C5=4,cosC=4,则sinB的值

为（▲）

Vio°用C瓜D屈

AA.-----B.-----

2344

A

A

BC

【答案解析】D

【试题解答】过点A作ADLBC于点D,,.,cosC=-,AC=4,：.CD=l,：.BD=3,=-Jl5,在

4

二四=芈=巫，故选

RtAABD中，AB=J（而另+32=276,,sinBD.

AB2"4

A

BD

5.（2021•天津）2sin60°的值等于

(A)1(B)V2(C)V3(D)2

【答案解析】C

【试题解答】常用特殊角三角函数值sin6（T=Lg,再乘以2,可得答案C.

2

6」（2021脸华）如图所示，矩形ABCO的对角线交于点O,已知二加，ZBAC=Za,下列结论错误的是

（）

m

A.ZBDC=ZaB.BC="ManaC.AO=--------D.BD=—

2sinacosa

【答案解析】C.

【试题解答】山锐角三角函数的定义，得sma=羲，黑，故选c.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19-

20.

21.

22.

23.

24.

25.

26-

27.

28.

29-

30.

31.

32.

33.

34.

35.

36-

37.

38.

39.

二、填空题

15.（2021德州）如图所示，一架长为6米的梯子48斜靠在一竖直的墙AO上，这时测得NABO=70°,

加入梯子的底端B外移到D,则梯子顶端A下移到C,这时又测得ZC£>0=50°,那么AC的长度约为

米.（sin70°^0.94,sin50°«=0.77,cos70°心0.34,cos50°^0.64）

【答案解析】1.02

【试题解答】，AB=6m,.入出70°=世=殁-0.94,解得：AO=5.64（⑼，-：ZCDO

AB6

=50",DC=6m,...sin50°=里=0.77,解得：CO=4.62（团），贝ijAC=5.64-4.62=1.02（，”）,答:

6

4c的长度约为1.02米.故答案为:1.02.

14.（2021•杭州）在直角三角形ABC中，若2AB=AC则cosC=.

【答案解析】返或彦

25_

【试题解答】若/B=90°,设AB=x,则AC=2x,所以BC={⑵）22=后,所以cosC=J^=返三=返；

AC2x2

若/A=90°,设AB=x,则AC=2x,所以BC=Jf9V、2j2二后,所以cosC=2£=_^_=25度;综上所述,

VMXJ十xBCV5x5

cosC的值为返或2近.故答案为返或空5.

2525

1.（2021期城）如图，在Rt^ABC中，ZACB=90°,/B=60°,DE为aABC的中位线，延长BC至F,使

CF=-BC,连接FE并延长交AB于点M,若BC=a,则△FMB的周长为

2

MDB

【答案解析】-a

2

113I

【试题解答】VBC=a,/.CF=-BC=-a,BF=-aVDE为AABC的中位线，；.DE〃BF,DE=-a,/.△

2222

MDFD

MED^AMFB,?-----——.在RtAABC中，ZACB=90°,NB=60°，，/A=30°,AB=2a,BD=a,

MBFB

I3o

MD=-a,MB=—a,；MB=FB,ZB=60°,△BMF是等边三角形，周长=—a.

222

2.（2021淄博）如图所示，以A为直角顶点的等腰直角三角形纸片4BC中，将8角折起，使点8落在AC

边上的点。（不与点A,C重合）处，折痕是EF.

当C£>='AC时,

如图1,

2

当C£>=』AC时,tan%*

如图2,

3

当C£)=LAC时,7

如图3,tan%—；

4

依次类推，当CQ=」一AC（〃为正整数）时，tana,=

〃+1

2n+l

【答案解析】

2〃(“+1)

3_3

【试题解答】当〃=1时,

4-U4

5

当〃=2时，tana,=--,

■122x6

当"=3时,

243x8

2〃+12〃+1

:.tanan

〃(2〃+2)2n(n+1)

3

3.（2021•乐山）如图所示，在△ABC中，ZB=3O。，AC=2,cosC=1.则A3边的长为上

【答案解析】-

5

【试题解答】过点A作ADLBC于点D,N4QB=N4OC=90°在RtAADC中，VZADC=90",

336Q

cosC=-,AC=2,.*.DC=-X2=-,AD=VAC2-CD2在Rt^ADB中，4ADB=

555

90°,ZB=30°.

'."sinB=-^^=—,AB=2AD=—.

AB25

4.（2021•眉山）如图所示，在中，ZB=90°,AB=5,BC=\2,将△ABC绕点A逆时

针旋转得到△小）£使得点。落在AC上，则tanNECO的值为

第16题图

【答案解析】I

【试题解答】在RtZkABC中，NB=90°,AB=5,BC=12,/.AC=5/52+122=13,、.△ABC绕点A旋转到

△ADE,AED=BC=12,AD=AB=12,ZADE=90°,ACD=AC-AD=13-5=8,/.tanZECD=—=—=1,

DC82

故答案为:

2

5.(2021•自贡)如图所示，在由10个完全一样的正三角形构成的网络图中，乙a、如图所示，则

V2I

【答案解析】7-

【试题解答】连接8C,

•.•网络图是由10个完全一样的正三角形构成,

:.AD=DE=CE=BE,ZADE=ZBEC=\2O(),

：./\ADE^ABEC,

：.NEBC=a.

VZBEC=120°,BE=CE,

/.ZBCE=(180°-l20°)+2=30°,

ZACB=ZACE+ZBCE=600+30°=90°,

设小正三角形的边长为a,

则AC=2a,BC=V3a,

在Rt/XACB中，AB=yjAC2+BC2=V7a.

cosZABC=—=隼=叵

AByfla7

又•・•/ABC=/ABE+/CBE=a+B，

cos(a+fi)=--.

6-

7.

8.

9「

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16-

17.

18.

19」

20.

21.

22.

23.

24.

25.

26「

27.

28.

29-

30.

31.

32.

33.

34.

35.

36」

37.

38.

39:

三、解答题

19.（2021山东省青岛市，19,6分）如图所示，某旅游景区为方便游客，修建了一条东西走向的木栈道

ABf栈道A8与景区道路CO平行.在C处测得栈道一端A位于北偏西42°方向，在。处测得栈道另一端8位

于北偏西32°方向.已知C。二120m,8ZA80见求木栈道48的长度（结果保留整数）.

171752739

（参考数据：5/7132°弋—,cos32.°%—,七一，si〃42°弋—,cos42,0%一,tun42.°%—）

3220840410

\\北

东

【解题过程】解：过C作CE_LAB。产JLM交A3的延长线于F,

则CE//0E,

・・・AB//CD,

四边形C0EE是矩形,

,\EF=CD=\20iDF=CE,

在RtABDF中，・.・NB£>尸=32。BD=80,

1717Q<

・•.DF=cos320・BD=80x—«68BF=sin32°.BD=80x—*—,

20322

：.BE=EF-BF=—

2

在RtAACE中，-.■ZACE=42°,CE=DF=68,

/.AE=CE.tan420=68x—=—,

105

/.AB=A£+B£=—+—«134/H,

25

24.（2021•常德）图9是一种淋浴喷头，图10是图9的示意图，若用支架把喷头固定在A点处，手柄

长AB=25cm,A8与墙壁的夹角NZ/AB=37°,喷出的水流8c与A8行程的夹角/4BC=72°,

现在住户要求：当人站在E处淋浴时，水流正好喷洒在人体的C处，且使DE=50cm,CE=130cm.问:

安装师傅应将支架固定在离地面多高的位置？（参考数据:sin37°七0.60,cos37°^=0.80,tan37°、0.

75,sin72°^0.95,cos72°^0.31,tan72°*3.08,sin35°«=0.57,cos35°心0.82,tan35°^0.

70).

D'

【解题过程】过8点作MN〃。区分别交直线AO和直线EC于点”、N,由题意可知AO〃C£,ZADE=90°

二四边形。例NE为矩形，：.ZAMB=ZBNC=90°,MN=DE,MD=NE.在RtZiAB例中，ZD'AB

=37°,sinZMAB=—.-sin370=25X0.6=15,cosZMAB=­.：.AM=AB-cos37°

ABAB

=25X0.8=20,,：MN=DE=50,：.NB=50~15=35,,：ZABM=90°-37°=53°,ZABC=12°,

RN

.../N8C=180°-53°-72°=55°,.,.N8CN=90°-55°=35°.在Rt/XBNCU」，tan/8CN=—,

CN

35

♦'•CN=^=50,.♦♦£W=CN+CE=50+130=180=MD,.•.AZ)=MD—AM=180—20=160(cm).

答：安装师傅应将支架固定在离地面160cm高的位置.

图10

1.（2021•淄博）如图1,正方形A8Z）E和8CFG的边A3,8c在同一条直线上，且AB=2BC,取EF的

中点M.连接MD,MG,MB.

(1)试证明DM工MG,并求一的值；

MG

(2)如图2,将图1中的正方形变为菱形，设/EAB=2a((r<a<9()。).其它条件不变，问(1)中邈的值

MG

有变化吗？若有变化，求出该值(用含a的式子表示)；若无变化，说明理由