2021中考数学真题知识点分类汇编（含答案）-二次函数3（二次函数的应用）（46题含答案）

2021中考数学真题知识点分类汇编-二次函数3（二次函数的应用）（46题，含

答案）

一.二次函数的应用（共46小题）

1.（2021.陕西）某景点的“喷水巨龙”口中C处的水流呈抛物线形，该水流喷出的高度y

（m）与水平距离*（〃），〃为该水流的最高点，DA1.OB,OA=2m,则该水流距水平面的

最大高度4?的长度为（）

A.9mB.10/WC.11〃D.12m

2.（2021*北京）如图，用绳子围成周长为10仍的矩形，记矩形的一边长为xm,矩形的面

积为力.当x在一定范围内变化时，y和S都随“的变化而变化，则y与x（）

A.一次函数关系，二次函数关系

B.反比例函数关系，二次函数关系

C.一次函数关系，反比例函数关系

D.反比例函数关系，一次函数关系

3.（2021•黔西南州）小华酷爱足球运动.一次训练时，他将足球从地面向上踢出，足球距

地面的高度方（"）（s）之间的关系为2=-5?+121,则足球距地面的最大高度是m.

4.（2021•沈阳）某超市购进一批单价为8元的生活用品，如果按每件9元出售，那么每天

可销售20件.经调查发现，其销售量相应减少4件，那么将销售价定为元时，

才能使每天所获销售利涧最大.

5.（2021-襄阳）从喷水池喷头喷出的水珠，在空中形成一条抛物线，如图所示，水珠的竖

直高度V（单位：〃）与它距离喷头的水平距离x（单位：而2+4/1,则喷出水珠的最大

高度是m.

6.（2021•台州）以初速度H（单位：m/s）从地面竖直向上抛出小球，从抛出到落地的过

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程中（单位：0）与小球的运动时间t（单位：S）之间的关系式是h=^-4.9?.现将

某弹性小球从地面竖直向上抛出，初速度为人经过时间6落回地面，运动过程中小球

的最大高度为"（如图1）；小球落地后，竖直向上弹起2,经过时间,2落回地面，运动

份数分别为40份、80份.该店为了增加利润，同时提高每份8种快餐的利涧.售卖时发

现，在一定范围内，每份8种快餐利润每提高1元就少卖2份.如果这两种快餐每天销

售总份数不变，那么这两种快餐一天的总利润最多是元.

8.（2021.阿坝州）某商家准备销售一种防护品，进货价格为每件50元，并且每件的售价

不低于进货价.经过市场调查（件）与每件的售价x（元）之间满足如图所示的函数关系.

（1）求每月的销售量y（件）与每件的售价x（元）之间的函数关系式；（不必写出自变

量的取值范围）

（2）物价部门规定，该防护品每件的利润不允许高于进货价的30%.设这种防护品每月

的总利润为w（元），那么售价定为多少元可获得最大利润？最大利涧是多少？

9.（2021.青岛）科研人员为了研究弹射器的某项性能，利用无人机测量小钢球竖直向上运

动的相关数据.无人机上升到离地面30米处开始保持匀速竖直上升，此时（高度不计）

竖直向上弹射一个小钢球（忽略空气阻力），在1秒时，在6秒时，它们距离地面的高度

也相同.其中无人机离地面高度必（米）与小钢球运动时间x（秒）之间的函数关系如

图所示；小钢球离地面高度y2（米）与它的运动时间x（秒）之间的函数关系如图中抛

物线所示.

（1）直接写出“与x之间的函数关系式；

（2）求出为与*之间的函数关系式；

（3）小钢球弹射1秒后直至落地时，小钢球和无人机的高度差最大是多少米？

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y（米）

\,H

“16力秒）

10.（2021*德州）某公司分别在4,8两城生产同种产品，共100件.力城生产产品的成本

y（万元）（件）之间具有函数关系y=x2+20A+100,8城生产产品的每件成本为60万元.

（1）当4城生产多少件产品时，48两城生产这批产品成本的和最小，最小值是多少？

（2）从4城把该产品运往C,〃两地的费用分别为1万元/件和3万元/件；从8城把该

产品运往C,〃地需要10件，在（1）的条件下，8两城运费的和最小？

11.（2021•锦州）某公司计划购进一批原料加工销售，已知该原料的进价为6.2万元“，

加工过程中原料的质量有20%的损耗（万元）与原料的质量火力）之间的关系为//7=50+0.2x

（万元/大）与原料的质量x（t）之间的关系如图所示.

（1）求y与x之间的函数关系式；

（2）设销售收入为2（万元），求f与x之间的函数关系式：

（3）原料的质量x为多少吨时，所获销售利涧最大，最大销售利润是多少万元？（销售

利润=销售收入-总支出）.

fK万元/t）

12.（2021-盘锦）某工厂生产并销售48两种型号车床共14台，生产并销售1台4型车

床可以获利10万元，则每台8型车床可以获利17万元，如果超出4台8型车床，每台B

型车床获利将均减少1万元.设生产并销售8型车床x台.

（1）当x>4时，完成以下两个问题：

①请补全下面的表格：

4型8型

车床数量/台x

每台车床获利/万元10

②若生产并销售8型车床比生产并销售4型车床获得的利润多70万元，问：生产并销售

8型车床多少台？

（2）当0<xW14时，设生产并销售48两种型号车床获得的总利润为〃万元，8两种

车床的数量，使获得的总利润〃最大？并求出最大利润.

13.（2021•淮安）某超市经销一种商品，每件成本为50元.经市场调研，当该商品每件的

销售价为60元时，若每件的销售价每增加1元，则每个月的销售量将减少10件.设该

商品每件的销售价为x元

（1）求y与x的函数表达式；

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（2）当该商品每件的销售价为多少元时，每个月的销售利涧最大？最大利润是多少？

14.（2021*鞍山）2022年冬奥会即将在北京召开，某网络经销商购进了一批以冬奥会为主

题的文化衫进行销售，文化衫的进价为每件30元，每天可售出20件，每销售一件需缴

纳网络平台管理费2元，增加盈利，决定采取适当的降价措施，则每天可多售出2件（销

售单价不低于进价），若设这款文化衫的销售单价为x（元）（件）.

（1）求每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式；

（2）当销售单价为多少元时，销售这款文化衫每天所获得的利涧最大，最大利润为多少

元？

15.（2021.抚顺）某厂家生产一批遮阳伞，每个遮阳伞的成本价是20元，试销售时发现：

遮阳伞每天的销售量y（个）（元）之间是一次函数关系，当销售单价为28元时；当销售

单价为30元时，每天的销售量为240个.

（1）求遮阳伞每天的销出量y（个）与销售单价x（元）之间的函数关系式；

（2）设遮阳伞每天的销售利润为元），当销售单价定为多少元时，才能使每天的销售

利润最大？最大利润是多少元？

16.（2021•郴州）某商店从厂家以每件2元的价格购进一批商品，在市场试销中发现，此

商品的月销售量y（单位：万件）（单位：元）之间有如下表所示关系：

X.・・4.05.05.56.57.5.・・

y…8.06.05.03.01.0•・・

（1）根据表中的数据，在如图中描出实数对（x,y）所对应的点;

入月销售量万件

11•-r-r-r-r_r-r-r

10--r-r-r-r~r~r-i

r~r~r~

645678弹价/元

（2）根据画出的函数图象，求出y关于x的函数表达式；

（3）设经营此商品的月销售利润为户（单位：万元），

①写出。关于x的函数表达式；

②该商店计划从这批商品获得的月销售利涧为10万元（不计其它成本），若物价局限定

商品的销售单价不得超过进价的200%,则此时的销售单价应定为多少元？

17.（2021.遵义）为增加农民收入，助力乡村振兴.某驻村干部指导农户进行草莓种植和

销售，已知草莓的种植成本为8元/千克，今年五一期间草莓的销售量y（千克）与销售

单价x（元/千克）（8WxW40）

（1）根据图象信息，求y与x的函数关系式；

（2）求五一期间销售草莓获得的最大利润.

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18.（2021.丹东）某超市销售一种商品，每件成本为50元，销售人员经调查发现，每月的

销售量为50件，而销售单价每降低2元，且要求销售单价不得低于成本.

（1）求该商品每月的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（不需要求

自变量取值范围）

（2）若使该商品每月的销售利润为4000元，并使顾客获得更多的实惠，销售单价应定

为多少元？

（3）超市的销售人员发现：当该商品每月销售量超过某一数量时，会出现所获利润反而

减小的情况，为了每月所获利润最大

19.（2021.泰州）农技人员对培育的某一品种桃树进行研究，发现桃子成熟后一棵树上每

个桃子质量大致相同.以每棵树上桃子的数量x（个）为横坐标、桃子的平均质量y（克

/个），在平面直角坐标系中描出对应的点，发现这些点大致分布在直线48附近（如图所

示）.

（1）求直线48的函数关系式；

（2）市场调研发现：这个品种每个桃子的平均价格w（元）与平均质量y（克/个）满足

函数表达式片」」（1）的情形下，求一棵树上桃子数量为多少时

20.（2021.大连）某电商销售某种商品一段时间后，发现该商品每天的销售量y（单位：

千克）和每千克的售价x（单位：元）（如图所示），其中50WxW80.

（1）求y关于x的函数解析式；

（2）若该种商品的成本为每千克40元，该电商如何定价才能使每天获得的利涧最大？

最大利润是多少？

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21.（2021.鄂尔多斯）鄂尔多斯市某宾馆共有50个房间供游客居住，每间房价不低于200

元且不超过320元、如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用.已

知每个房间定价X（元）（间）符合一次函数关系，如图是y关于x的函数图象.

（1）求y与x之间的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；

22.（2021.营口）某商家正在热销一种商品，其成本为30元/件，在销售过程中发现随着

售价增加，改变销售策略，此时售价每增加1元需支付由此产生的额外费用150元.该

商品销售量y（件）（元/件）满足如图所示的函数关系（其中40WxW70,且x为整数）.

（1）直接写出y与x的函数关系式；

（2）当售价为多少时，商家所获利润最大，最大利润是多少？

23.（2021*雅安）某药店选购了一批消毒液，进价为每瓶10元，在销售过程中发现（瓶）

与每瓶售价x（元）之间存在一次函数关系（其中10W后21,且x为整数），每天销售

量为90瓶；当每瓶消毒液售价为15元时

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（1）求y与x之间的函数关系式；

（2）设该药店销售该消毒液每天的销售利润为〃元，当每瓶消毒液售价为多少元时，药

店销售该消毒液每天销售利润最大

24.（2021-本溪）某网店销售一款市场上畅销的蒸蛋器，进价为每个40元，在销售过程中

发现，每星期卖出100个.如果调整销售单价，每涨价1元，现网店决定提价销售，设

销售单价为x元

（1）请直接写出y（个）与x（元）之间的函数关系式；

（2）当销售单价是多少元时，该网店每星期的销售利润是2400元？

（3）当销售单价是多少元时，该网店每星期的销售利润最大？最大利润是多少元？

25.（2021•铜仁市）某品牌汽车销售店销售某种品牌的汽车，每辆汽车的进价16（万元）.当

每辆售价为22（万元）时，现在决定进行降价销售.通过市场调查得到了每辆降价的费

用必（万元）与月销售量x（辆）（x》4）满足某种函数关系的五组对应数据如下表：

X45678

yy00.511.52

（1）请你根据所给材料和初中所学的函数知识写出必与x的关系式%=

（2）每辆原售价为22万元，不考虑其它成本，降价后每月销售利润y=（每辆原售价-

必-进价）x,请你根据上述条件，求出月销售量x（x》4）,销售利润最大？最大利润是

多少？

26.（2021•深圳）某科技公司销售高新科技产品，该产品成本为8万元，销售单价x（万

元）（件）的关系如表所示：

X（万元）10121416

y（件）40302010

（1）求y与x的函数关系式；

（2）当销售单价为多少时，有最大利涧，最大利润为多少？

27.（2021•湖北）去年“抗疫”期间，某生产消毒液厂家响应政府号召，将成本价为6元/

件的简装消毒液低价销售，设某月销售价为x元/件，a与x之间满足关系式：a=20%（10

-x）,每月销售量y（万件）与该月销售价x（元/件）（6Wx<9）.

月份・・・二月三月四月五月・・・

销售价.・・677.68.5・・・

X（元/件）

该月销售量…3020145・•・

y（万件）

（1）求y与x的函数关系式；

（2）当销售价为8元/件时，政府该月应付给厂家补贴多少万元？

（3）当销售价x定为多少时，该月纯收入最大？

（纯收入=销售总金额-成本+政府当月补贴）

28.（2021.广西）2022年北京冬奥会即将召开，激起了人们对冰雪运动的极大热情.如图

是某跳台滑雪训练场的横截面示意图，取某一位置的水平线为x轴，建立平面直角坐标

系，图中的抛物线G：y=-_l_x+_LA+1近似表示滑雪场地上的一座小山坡，某运动员

126

从点。正上方4米处的力点滑出2：y=~—x+b^c运动.

8

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（1）当运动员运动到离4处的水平距离为4米时，离水平线的高度为8米，求抛物线G

的函数解析式（不要求写出自变量x的取值范围）；

（2）在（1）的条件下，当运动员运动的水平距离为多少米时

（3）当运动员运动到坡顶正上方，且与坡顶距离超过3米时，求6的取值范围.

29.（2021-贵阳）甲秀楼是贵阳市一张靓丽的名片.如图①，甲秀楼的桥拱截面0班可视

为抛物线的一部分，在某一时刻，桥拱顶点8到水面的距离是4m.

（1）按如图②所示建立平面直角坐标系，求桥拱部分抛物线的函数表达式；

（2）一只宽为1.2〃的打捞船径直向桥驶来，当船驶到桥拱下方且距。点0.4m时，桥下

水位刚好在外处，他的头顶是否会触碰到桥拱，请说明理由（假设船底与水面齐平）.

（3）如图③，桥拱所在的函数图象是抛物线（a手0）,该抛物线在x轴下方

部分与桥拱彼4在平静水面中的倒影组成一个新函数图象.将新函数图象向右平移m（m

>0）个单位长度，y的值随x值的增大而减小，结合函数图象

为了实施乡村振兴战略，帮助农民增加收入，市政府大力扶持农户发展

种植业，预计明年每亩土地种植该作物的成本y（元）与种植面积x（亩），且当*=160

时，y=840,y=960.

（1）求y与x之间的函数关系式（不求自变量的取值范围）；

（2）受区域位置的限制，老张承租土地的面积不得超过240亩.若老张明年销售该作物

每亩的销售额能达到2160元，当种植面积为多少时

（每亩种植利润=每亩销售额-每亩种植成本+每亩种植补贴）

31.（2021.广东）端午节是我国入选世界非物质文化遗产的传统节日，端午节吃粽子是中

华民族的传统习俗.市场上豆沙粽的进价比猪肉粽的进价每盒便宜10元，某商家用8000

元购进的猪肉粽和用6000元购进的豆沙粽盒数相同.在销售中，每天可售出100盒：每

盒售价提高1元时

（1）求猪肉粽和豆沙粽每盒的进价；

（2）设猪肉粽每盒售价x元（50WxW65）,y表示该商家每天销售猪肉粽的利润（单位：

元），求"关于x的函数解析式并求最大利润.

32.（2021•济宁）某商场购进甲、乙两种商品共100箱，全部售完后，甲商品共盈利900

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元，甲商品比乙商品每箱多盈利5元.

（1）求甲、乙两种商品每箱各盈利多少元？

（2）甲、乙两种商品全部售完后，该商场又购进一批甲商品，在原每箱盈利不变的前提

下，每降价1元，平均每天可多卖出20箱，该商场利润最大？最大利润是多少？

33.（2021-荆门）某公司电商平台，在2021年五一长假期间，举行了商品打折促销活动，

某种商品的周销售量y（件）是关于售价x（元/件），如表仅列出了该商品的售价x,周

销售量y（元）的三组对应值数据.

X407090

y1809030

360045002100

（1）求y关于x的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）:

（2）若该商品进价a（元/件），售价”为多少时，周销售利润勿最大？并求出此时的最

大利润；

（3）因疫情期间，该商品进价提高了m（元/件）（。＞0）,公司为回馈消费者（元/件），

且该商品在今后的销售中，周销售量与售价仍满足（1）,若周销售最大利泗是4050元，

求m的值.

34.（2021*随州）如今我国的大棚（如图1）种植技术已十分成熟.小明家的菜地上有一

个长为16米的蔬菜大棚，其横截面顶部为抛物线型，另一端固定在离地面高2米的墙体

8处，现对其横截面建立如图2所示的平面直角坐标系.已知大棚上某处离地面的高度y

（米）（米）之间的关系满足y=/c,现测得48两墙体之间的水平距离为6

6

米.

（1）直接写出b,C的值；

（2）求大棚的最高处到地面的距离；

（3）小明的爸爸欲在大棚内种植黄瓜，需搭建高为更米的竹竿支架若干，则共需要准

24

备多少根竹竿？

图1图2

35.（2021•衢州）如图1是一座抛物线型拱桥侧面示意图.水面宽48与桥长C〃均为24m、

在距离。点6米的£处，测得桥面到桥拱的距离EF为1.5/77,桥面为x轴建立平面直角坐

标系.

（1）求桥拱顶部。离水面的距离.

（2）如图2,桥面上方有3根高度均为4m的支柱CG,OH,过相邻两根支柱顶端的钢缆

呈形状相同的抛物线，其最低点到桥面距离为1机

①求出其中一条钢缆抛物线的函数表达式.

②为庆祝节日，在钢缆和桥拱之间竖直装饰若干条彩带，求一条彩带长度的最小值.

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图1

36.（2021.十堰）某商贸公司购进某种商品的成本为20元/份，经过市场调斫发现，这种

商品在未来40天的销售单价y（元/〃g）（天）之间的函数关系式为：y=

‘0.25x+30（l4x420且x为整数）

,且日销量m（kQ（天）之间的变化规律符合一

35（20<x<40且x为整数）

次函数关系，如下表:

时间X（天）13610・・・

日销量m142138132124・・・

（〃g）

（1）填空：m与x的函数关系为;

（2）哪一天的销售利涧最大？最大日销售利润是多少？

（3）在实际销售的前20天中，公司决定每销售1偿商品就捐赠"元利润（"<4）给当

地福利院，每天扣除捐赠后的日销售利泗随时间x的增大而增大，求〃的取值范围.

37.（2021.达州）渠县是全国优质黄花主产地，某加工厂加工黄花的成本为30元/千克，

根据市场调查发现，每天可销售500千克，为增大市场占有率，工厂采取降价措施，批

发价每千克降低1元

（1）写出工厂每天的利润〃元与降价x元之间的函数关系.当降价2元时，工厂每天的

利润为多少元？

（2）当降价多少元时，工厂每天的利润最大，最大为多少元？

（3）若工厂每天的利润要达到9750元，并让利于民，则定价应为多少元？

38.（2021•怀化）某超市从厂家购进A8两种型号的水杯，两次购进水杯的情况如表：

进货批次4型水杯8型水杯总费用

（个）（个）（元）

一1002008000

二20030013000

（1）求/、8两种型号的水杯进价各是多少元？

（2）在销售过程中，4型水杯因为物美价廉而更受消费者喜欢.为了增大8型水杯的销

售量，超市决定对8型水杯进行降价销售，每天可以售出20个，每降价1元，请问超市

应将8型水杯降价多少元时，每天售出8型水杯的利润达到最大？最大利泗是多少？

（3）第三次进货用10000元钱购进这两种水杯，如果每销售出一个4型水杯可获利10

元，售出一个8型水杯可获利9元，捐款后所得的利涧始终不变，此时。为多少？利润

为多少？

39.（2021.黄冈）红星公司销售一种成本为40元/件的产品，若月销售单价不高于50元，

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一个月可售出5万件，月销售量就减少0.1万件.其中月销售单价不低于成本.设月销

售单价为*（单位：元），月销售量为y（单位：万件）.

（1）直接写出y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围：

（2）当月销售单价是多少元时，月销售利润最大，最大利润是多少万元？

（3）为响应国家“乡村振兴”政策，该公司决定在某月每销售1件产品便向大别山区捐

款a元.已知该公司捐款当月的月销售单价不高于70元，月销售最大利润是78万元

40.（2021*武汉）在“乡村振兴”行动中，某村办企业以4,8两种农作物为原料开发了一

种有机产品.4原料的单价是8原料单价的1.5倍，每盒还需其他成本9元.市场调查发

现：该产品每盒的售价是60元时，每天可以销售500盒，每天少销售10盒.

（1）求每盒产品的成本（成本=原料费+其他成本）；

（2）设每盒产品的售价是x元（x是整数），每天的利润是w元，求w关于x的函数解析

式（不需要写出自变量的取值范围）；

（3）若每盒产品的售价不超过a元（a是大于60的常数，且是整数），直接写出每天的

最大利润.

41.（2021.南充）超市购进某种苹果，如果进价增加2元/千克要用300元；如果进价减少

2元/千克

（1）求苹果的进价；

（2）如果购进这种苹果不超过100千克，就按原价购进：如果购进苹果超过100千克，

写出购进苹果的支出V（元）与购进数量x（千克）；

（3）超市一天购进苹果数量不超过300千克，且购进苹果当天全部销售完，据统计（元

/千克）与一天销售数量X（千克）的关系为z=-'（2）的条件下，要使超市销售苹

100

果利润“（元），求一天购进苹果数量.（利涧=销售收入-购进支出）

42.（2021.扬州）甲、乙两汽车出租公司均有50辆汽车对外出租，下面是两公司经理的一

段对话:__________________________________________________________________________

甲公司经理：如果我公司每辆汽车月租费3000元，那么50辆汽车可以全部租出.如果

每辆汽车的月租费每增加50元，那么将少租出1辆汽车.另外

乙公司经理：我公司每辆汽车月租费3500元，无论是否租出汽车，公司均需一次性支付

月维护费共计1850元.

说明：①汽车数量为整数；②月利润=月租车费-月维护费；③两公司月利润差=月利

润较高公司的利润-月利润较低公司的利润.

在两公司租出的汽车数量相等的条件下，根据上述信息，解决下列问题：

（1）当每个公司租出的汽车为10辆时，甲公司的月利润是元；当每个公司租

出的汽车为辆时，两公司的月利润相等；

（2）求两公司月利润差的最大值；

（3）甲公司热心公益事业，每租出1辆汽车捐出a元（a>0）给慈善机构，且当两公司

租出的汽车均为17辆时，甲公司剩余的月利润与乙公司月利涧之差最大

43.（2021•临沂）公路上正在行驶的甲车，发现前方20m处沿同一方向行驶的乙车后，开

始减速（单位：加、速度/（单位：/s）与时间t（单位：s）,其图象如图所示.

（1）当甲车减速至9Ws时，它行驶的路程是多少？

（2）若乙车以10/s的速度匀速行驶，两车何时相距最近，最近距离是多少？

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44.(2021-金华)某游乐场的圆形喷水池中心0有一雕塑外，从4点向四周喷水，喷出的

水柱为抛物线，以水平方向为x轴，点。为原点建立直南坐标系，x轴上的点C,。为水

柱的落水点(第一象限部分)的函数表达式为y=-A(x-5)2+6.

6

(1)求雕塑高OA.

(2)求落水点C,〃之间的距离.

(3)若需要在川上的点£处竖立雕塑防OE=Wm,EF='.Bm

45.(2021•遂宁)某服装店以每件30元的价格购进一批7■恤，如果以每件40元出售，那

么一个月内能售出300件，销售单价每提高1元，销售量就会减少10件

(1)服装店希望一个月内销售该种r恤能获得利润3360元，并且尽可能减少库存，问T

恤的销售单价应提高多少元？

(2)当销售单价定为多少元时，该服装店一个月内销售这种7■恤获得的利润最大？最大

利涧是多少元？

46.(2021.湖州)今年以来，我市接待的游客人数逐月增加，据统计，五月份为5.76万人.

(1)求四月和五月这两个月中该景区游客人数平均每月增长百分之几；

(2)若该景区仅有4,8两个景点，售票处出示的三种购票方式如下表所示：

购票方式甲乙丙

可游玩景点AB4和8

门票价格100元/人80元/人160元/人

据预测，六月份选择甲、乙、丙三种购票方式的人数分别有2万、3万和2万，并且当甲、

乙两种门票价格不变时，将有600人原计划购买甲种门票的游客和400人原计划购买乙

种门票的游客改为购买丙种门票.

①若丙种门票价格下降10元，求景区六月份的门票总收入；

②问：将丙种门票价格下降多少元时，景区六月份的门票总收入有最大值？最大值是多

少万元？

12/43

参考答案与试题解析

二次函数的应用（共46小题）

1.（2021.陕西）某景点的“喷水巨龙”口中C处的水流呈抛物线形，该水流喷出的高度y

（加与水平距离x（m）,〃为该水流的最高点，DALOB,OA=2m,则该水流距水平面的

最大高度的长度为（）

A.9OTB.10mC.11/D.12m

【解答】解：根据题意，设抛物线解析式为y=a（x-2）2+k,

将点C（4,8）,0）代入

（6a+k=8

136a+k=0

'=a_

解得《一7,

k=9

・，.抛物线解析式为y=-$（x-2）5+9,

4

所以当x=2时，y=6,

故选：A.

2.（2021•北京）如图，用绳子围成周长为10勿的矩形，记矩形的一边长为xmf矩形的面

积为树.当x在一定范围内变化时，y和S都随x的变化而变化，则y与x（）

A.一次函数关系，二次函数关系

B.反比例函数关系，二次函数关系

C.一次函数关系，反比例函数关系

D.反比例函数关系，一次函数关系

【解答】解：由题意得，

2（卢卜）=10,

・=A+X=5,

：.y=4-x9

即V与x是一次函数关系.

•:S=xy

=x（5-x）

13/43

=-x+2x,

二.矩形面积满足的函数关系为S=-x+5x,

即满足二次函数关系，

故选：A.

3.（2021•黔西南州）小华酷爱足球运动.一次训练时，他将足球从地面向上踢出，足球距

地面的高度力（加（s）之间的关系为h=-5#+12t,则足球距地面的最大高度是7.2

m.

【解答】解：：/7=-5#+12t,

a=-8,6=12,

,足球距地面的最大高度是：廿（-5）X7-L22=42m,

4X（-5）

故答案为：7.8.

4.（2021•沈阳）某超市购进一批单价为8元的生活用品，如果按每件9元出售，那么每天

可销售20件.经调查发现，其销售量相应减少4件，那么将销售价定为11元时,

才能使每天所获销售利涧最大.

【解答】解：设销售单价定为x元（x》9）,每天所获利润为y元，

则y=[20-4（x-2）]•（x-8）

4

=-4x+88x-448

=-4（x-11）2+36,

所以将销售定价定为11元时，才能使每天所获销售利泗最大，

故答案为11.

5.（2021.襄阳）从喷水池喷头喷出的水珠，在空中形成一条抛物线，如图所示，水珠的竖

直高度V（单位：rri）与它距离喷头的水平距离x（单位：m）2+4A+1,则喷出水珠的最大

高度是3m.

【解答】解：Vy=-2X2+5A+1=-2（x-8）2+3,

.,.当x=8时，y有最大值为3,

.•.喷出水珠的最大高度是3m,

故答案为：8.

6.（2021*台州）以初速度u（单位：Ws）从地面竖直向上抛出小球，从抛出到落地的过

程中（单位：而与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是h=rt-4.9?.现将

某弹性小球从地面竖直向上抛出，初速度为匕，经过时间G落回地面，运动过程中小球

的最大高度为启（如图1）；小球落地后，竖直向上弹起2,经过时间七落回地面，运动

过程中小球的最大高度为与（如图2）.若"=2为，则G：t2=V2：1.

14/43

2

-v5

th=

-4X8.9

4X4.7

V/7l=2/74,

%%,

ty：t2=I<3：吻=衣：5,

故答案为：V2：1.

7.（2021.连云港）某快餐店销售4、8两种快餐，每份利润分别为12元、8元，每天卖出

份数分别为40份、80份.该店为了增加利润，同时提高每份8种快餐的利润.售卖时发

现，在一定范围内，每份8种快餐利涧每提高1元就少卖2份.如果这两种快餐每天销

售总份数不变，那么这两种快餐一天的总利涧最多是1264元.

【解答】解：设每份4种快餐降价a元，则每天卖出（40+2a）份，则每天卖出（80-26）

份，

由题意可得，40+4尹80-26=40+80,

解得a=b,

二总利润用=（12-a）（40+2a）+（4+a）（80-2a）

=-4a+48^-1120

=-4（a-6）4+1264,

；-4<0,

当a=5时，〃取得最大值1264,

即两种快餐一天的总利涧最多为1264元.

故答案为：1264.

8.（2021.阿坝州）某商家准备销售一种防护品，进货价格为每件50元，并且每件的售价

不低于进货价.经过市场调查（件）与每件的售价x（元）之间满足如图所示的函数关系.

（1）求每月的销售量y（件）与每件的售价*（元）之间的函数关系式；（不必写出自变

量的取值范围）

（2）物价部门规定，该防护品每件的利润不允许高于进货价的30%.设这种防护品每月

的总利润为w（元），那么售价定为多少元可获得最大利润？最大利润是多少？

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每月销量y（件）

【解答】解：（1）由图象可知每月销售量y（件）与售价x（元）之间为一次函数关系，

设其函数关系式为尸k/b（%/0,

将（60,600）,400）代入

（60k+b=600

l80k+b=400

解得：,

lb=1200

...每月销售JZ（件）与售价x（元）的函数关系式为y=-10/1200；

（2）由题意得：

w=（-10/1200）（x-50）

=-10x2+1700%-60000

=-10（x-85）2+12250,

-10<0,

.•.当xW85时，”随x的增大而增大，

♦.♦该防护品的每件利涧不允许高于进货价的30%,

；.xW50X（1+30%）,即xW65,

...当x=65时，”取得最大值：最大值=-10（65-85）3+12250=8250.

.•.售价定为65元可获得最大利润，最大利润是8250元.

9.（2021*青岛）科研人员为了研究弹射器的某项性能，利用无人机测量小钢球竖直向上运

动的相关数据.无人机上升到离地面30米处开始保持匀速竖直上升，此时（高度不计）

竖直向上弹射一个小钢球（忽略空气阻力），在1秒时，在6秒时，它们距离地面的高度

也相同.其中无人机离地面高度yi（米）与小钢球运动时间x（秒）之间的函数关系如

图所示；小钢球离地面高度％（米）与它的运动时间x（秒）之间的函数关系如图中抛

物线所示.

（1）直接写出必与x之间的函数关系式；

（2）求出力与x之间的函数关系式；

（3）小钢球弹射1秒后直至落地时，小钢球和无人机的高度差最大是多少米？

16/43

【解答】解：(1)设必与X之间的函数关系式为必=/o什6,

•.•函数图象过点(2,30)和(1,

则(k+b=35,

lb=30

解得：0=5,

lb=30

.•.以与X之间的函数关系式为XI=5A+30;

(2);x=3时，%=5X5+30=60,

•?y2的图象是过原点的抛物线，

设y2=ax^bx,

・••点(1.35),(6.60)在抛物线%上，

.(a+b=35

136a+6b=60

解得：卜=-2,

lb=40

=

.*.y2-5x'+40x,

答：刃与x的函数关系式为/?=-2*2+40X；

(3)设小钢球和无人机的高度差为y米，

由-5x+40x=0得，x=0或x=8,

①1VxW6时，

y=ys-yi=-5x+40x-5x-30=-5x7+35x-30=-5(.x-—)2+_l^.

54

Va=-4<0,

.•.抛物线开口向下，

又

...当x=工时，y的最大值为

28

②6c后8时，了=%-刃=5/30+6*2-40*=5/-35/30=5(x-工)2-12^,

54

•/a=5>0,

抛物线开口向上，

又•.•对称轴是直线x=L,

7

.,.当x>工时，"随X的增大而增大，

2

,.♦7Vx/8,

.,.当x=8时，y的最大值为70,

vJ^i<70,

4

二高度差的最大值为70米.

10.(2021*德州)某公司分别在4,8两城生产同种产品，共100件.《城生产产品的成本

y(万元)(件)之间具有函数关系y=『+20/100,8城生产产品的每件成本为60万元.

(1)当力城生产多少件产品时，A,8两城生产这批产品成本的和最小，最小值是多少？

(2)从