江西省名校（临川一中、南昌二中）高三下学期联合数学（文）试题及答案

试卷第=page22页，总=sectionpages33页第Page\*MergeFormat6页共NUMPAGES\*MergeFormat25页江西省名校（临川一中、南昌二中）高三下学期联合数学（文）试题及答案一、单选题1．已知集合，，则（）A． B． C． D．【答案】A【解析】先求出两个集合对应的不等式的解集，然后二者取交集即可。【详解】由题意知，集合，，所以.故选A.【点睛】本题考查了集合与集合之间的关系与运算，属于基础题。2．已知复数满足，则复平面内与复数对应的点在A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【解析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z的坐标得答案．【详解】由得，∴复数z在复平面内对应的点的坐标为（，），在第四象限．故选：D．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3．若，满足约束条件则的取值范围为A． B． C． D．【答案】A【解析】问题转化为在约束条件下目标函数的取值范围，作出可行域由斜率公式数形结合可得．【详解】作出x，y满足约束条件的可行域如图：△ABC，表示区域内的点与点（﹣2，0）连线的斜率，联方程组可解得B（2，﹣2），同理可得A（2，4），当直线经过点B时，M取最小值：，当直线经过点A时，M取最大值1．则的取值范围：[，1]．故选：A．【点睛】线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一、准确无误地作出可行域；二、画标准函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三、一般情况下，目标函数的最大或最小会在可行域的端点或边界上取得.4．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有大夫、不更、簪裹、上造、公士，凡五人，共猎得五鹿，欲以爵次分之，问各得几何？”其意思：“共有五头鹿，5人以爵次进行分配（古代数学中“以爵次分之”这种表述，一般表示等差分配，在本题中表示等差分配）.”在这个问题中，若大夫得“一鹿、三分鹿之二”，则簪裹得（）A．一鹿、三分鹿之一 B．一鹿 C．三分鹿之二 D．三分鹿之一【答案】B【解析】由题意得在等差数列中，，求出，由此能求出簪裹得一鹿．【详解】由题意得在等差数列中，，解得，．簪裹得一鹿．故选：．【点睛】本题考查等差数列的某一项的求法，考查等差数列的性质等基本性质，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．5．函数的部分图像象是（）A． B．C． D．【答案】A【解析】试题分析：∵，∴为奇函数，所以排除答案，令，则或，所以或，所以，当时，所以选A.【考点】1.函数的奇偶性；2.函数图象.6．已知向量，为单位向量，若，则向量，的夹角大小为（）A．0 B． C． D．【答案】C【解析】设向量，的夹角为，化简即得解.【详解】设向量，的夹角为，由题得，所以.故选：C【点睛】本题主要考查平面向量的数量积的运算和向量的夹角的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.7．设为抛物线的焦点，与抛物线相切于点的直线与轴的交点为，则的值是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】先求出F的坐标，利用导数求直线l的斜率，点斜式写出直线l的方程，由此方程求出直线l与x轴的交点Q的坐标，计算的值，由斜率之积等于-1得到PQ⊥QF．【详解】易知F(0,−1)，又，所以，直线的方程为，令y=0，得Q(−2,0)，，所以PQ⊥QF，即，故选A.8．已知数列的通项公式，则（）A．150 B．162 C．128 D．210【答案】C【解析】判断当时，数列递减，时，数列递增，由裂项相消求和，化简计算可得所求和．【详解】，可得当时，数列递减，时，数列递增，可得．故选：．【点睛】本题考查数列的单调性的判断和运用，考查裂项相消求和，以及化简运算能力，属于中档题．9．已知某几何体的三视图（单位：）如图所示，则该几何体的体积是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】先找到几何体原图，再利用割补法求几何体的体积得解.【详解】由三视图得几何体是图中的四棱锥P-ABCD.所以该几何体的体积为.故选：A【点睛】本题主要考查三视图还原几何体原图，考查几何体体积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.10．执行如图所示的程序框图，输出的结果为A． B． C． D．【答案】C【解析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量的值，利用等比数列的求和公式即可计算得解．【详解】模拟程序的运行，可得该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量的值，由于．故选：C．【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．11．已知，为双曲线的左、右焦点，为上异于顶点的点．直线分别与，为直径的圆相切于，两点，则A． B．3 C．4 D．5【答案】B【解析】设，的中点分别为，，则，，可得【详解】解：如图，设，的中点分别为，，则，，故选：．【点睛】本题考查了圆的性质，充分应用双曲线的定义是解题的关键，属于中档题．12．定义在上的函数满足，且对恒成立，其中为的导函数，则（）A． B． C． D．【答案】B【解析】分别构造函数，，，，利用导数研究其单调性即可得出．【详解】令，，，，恒成立，，所以，，函数在上单调递增，，．令，，，，恒成立，，函数在上单调递减，，．综上可得：，故选：．【点睛】本题考查了利用导数研究其单调性极值与最值、构造函数法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二、填空题13．已知x与y之间的一组数据：，则y与x的线性回归方程必过点______．【答案】【解析】，数据的样本中心点是，与x的线性回归方程必过点，故答案为．14．设等差数列的前n项和为，若，则______.【答案】250【解析】先化简得，再求得解.【详解】由题得，所以.故答案为：250【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式，考查等差数列求和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.15．在面积为4的正方形中，是线段的中点，现将图形沿折起，使线段重合，得到一个四面体（其中点B重合于点A），则该四面体外接球的表面积为______．【答案】【解析】先确定三角形ACD外心，再根据平面，确定外接球球心在过且平行于直线上，最后解方程得球半径，根据球表面积公式得结果.【详解】作出图形如图所示，由图可知在四面体中，，，，故平面，将图形旋转得到如图所示的三棱锥，其中为等边三角形，过的中心作平面的垂线，过线段的中点作平面的垂线，易得直线与相交，记，则即为三棱锥外接球的球心.设外接球的半径为R，连接、，可得,在中，，故外接球的表面积，故答案为.【点睛】求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．16．若直线与曲线恰有两个公共点，则实数的取值范围为________.【答案】【解析】根据函数的图像，将曲线方程中的绝对值去掉，化为分段函数的形式，然后画出这个分段函数的图像，根据图像和直线的交点有两个，求得实数的取值范围.【详解】如图，可知由图可知，直线与曲线恰有两个公共点，则或【点睛】本小题主要考查对数函数的图像，考查含有绝对值函数的处理方法，考查了数形结合的数学思想方法.属于中档题.三、解答题17．已知，，若（1）求在区间的单调增区间；（2）在中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，，其的周长为6，求的面积的最大值.【答案】（1）增区间为和（2）【解析】（1）先求出，再求函数的增区间为,再求在区间的单调增区间；（2）先求出,,再利用基本不等式求面积的最大值.【详解】（1）令，.当时，，当时，，,故函数的单调递增区间为和.（2）因为.，所以，当且仅当b=c=2等号成立所以.【点睛】本题主要考查三角恒等变换，考查三角函数的图象和性质，考查基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.18．如图，面，，，E为的中点，F为的中点且（1）求证：面面（2）求三棱锥的体积【答案】（1）证明见解析（2）【解析】（1）证明平面平面平面即得证；（2）根据求解.【详解】（1）面，因为，平面PAC,所以BC⊥平面，平面PAC所以平面因为平面AEF,所以平面平面.（2）由题得.由题得.【点睛】本题主要考查线面位置关系的证明，考查几何体的体积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.19．在某大学自主招生考生中，所有选报Ⅱ类志向的考生全部参加了“数学与逻辑”和“阅读与表达”两个科目的考试，成绩分为A，B，C，D，E五个等级.某考场考生两科的考试成绩的数据统计如下图所示，其中“数学与逻辑”科目的成绩为B的考生有20人.（1）求该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩为A的人数；（2）若等级A，B，C，D，E分别对应5分，4分，3分，2分，1分.（i）求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分；（ii）若该考场共有7人得分大于7分，其中有2人10分，2人9分，3人8分，从这7中随机抽取两人，求两人成绩之和大于等于18的概率.【答案】（1）（2）（i）（ii）【解析】（1）先计算出该考场共有80人，再根据求解；（2）（i）直接利用频率分布直方图中的平均数公式求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分；（ii）利用古典概型的概率求解.【详解】（1）该考场共有人所以该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩为A的人数为.（2）（i）该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分为（ii）设10分的人为A,B,9分的人为C,D,8分的为E,F,G,从中任意取两个人的基本事件有（A,B）,(A,C),(A,D),(A,E),(A,F),(A,G),(B,C),(B,D),(B,E),(B,F),(B,G),(C,D),(C,E),(C,F),(C,G),(D,E),(D,F),(D,G),(E,F),(E,G),(F,G).共21个基本事件.其中两人成绩之和大于等于18的基本事件有（A,B）,(A,C),(A,D),(A,E),(A,F),(A,G),(B,C),(B,D),(B,E),(B,F),(B,G),(C,D),共12个基本事件.由古典概型的概率得.【点睛】本题主要考查频率分布直方图中的频率和平均数的计算，考查概率的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.20．已知抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，抛物线的动弦过点，过点且垂直于弦的直线交抛物线的准线于点.（Ⅰ）求抛物线的标准方程；（Ⅱ）求的最小值.【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)2【解析】（Ⅰ）由椭圆求得右焦点，根据抛物线的焦点求出p的值，再写出抛物线C的标准方程；（Ⅱ）①当动弦AB所在的直线斜率不存在时，求得2；②当动弦AB所在的直线斜率存在时，写出AB所在直线方程，与抛物线方程联立求出弦长|AB|；写出FM所在的直线方程，与抛物线方程联立求出弦长|MF|，再求的最小值，从而得出结论．【详解】（Ⅰ）由椭圆方程得，椭圆的右焦点为∴抛物线的焦点为，∴，抛物线的标准方程为.（Ⅱ）①当动弦所在直线的斜率不存在时，易得：，，.②当动弦所在的直线斜率存在时，易知，的斜率不为0.设所在直线方程为，且，.联立方程组：，得；，，，所在的直线方程为，联立方程组：，得点，∴∴，综上所述：的最小值为2.【点睛】圆锥曲线中最值与范围问题的常见求法：(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；(2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值．在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下几个方面考虑：①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；②利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；③利用基本不等式求出参数的取值范围；④利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．21．设．（1）求的单调区间；（2）讨论零点的个数；（3）当时，设恒成立，求实数a的取值范围．【答案】(1)的单调递增区间为，单调递减区间为。(2)见解析；(3)【解析】（1）直接对原函数求导，令导数大于0，解得增区间，令导数小于0，解得减区间；（2）先判断是f(x)的一个零点，当时，由f(x)=0得，，对函数求导得的大致图像，分析y=a与交点的个数可得到函数f（x）的零点个数．（3）不等式恒成立转化为函数的最值问题，通过变形构造出函数h(x)=f(x)-ag(x)，通过研究该函数的单调性与极值，进而转化为该函数的最小值大于等于0恒成立，求得a即可.【详解】（1），当时，，递增，当时，，g(x)递减,故的单调递增区间为，单调递减区间为.（2）是f(x)的一个零点，当时，由f(x)=0得，，，当时，递减且，当时，，且时，递减，时，递增，故，,大致图像如图，∴当时，f(x)有1个零点；当a=e或时，f(x)有2个零点；；当时，有3个零点.（3）h(x)=f(x)-ag(x)=x，,设的根为，即有，可得，时，，递减，当时，，递增，，∴【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查了函数零点个数的分类讨论及转化