离心率教学设计1

第1页共6页“圆锥曲线的离心率”教学设计学校：泸源中学学科：数学主备人：钱秋艳备课组长：赵永聪集体备课：2016年6月13日教学：6月18日至6月22日内容及其解析（一）内容1.历年来平面几何和解析几何部分是高考的“重头戏”，而圆锥曲线内容又是解析几何部分的重中之中，其中圆锥曲线的离心率问题是高考中常考的问题，通常有两类题型:一是求椭圆和双曲线的离心率的值;二是求椭圆和双曲线离心率的取值范围.圆锥曲线的内容如下：圆锥曲线圆锥曲线椭圆定义标准方程几何性质双曲线定义标准方程几何性质抛物线定义标准方程几何性质直线与圆锥曲线的位置关系椭圆双曲线抛物线a、b、c三者间的关系圆圆的定义圆的方程几何性质2、近三年圆锥曲线离心率内容主要考查的问题考点问题一：利用椭圆、双曲线的定义式和基本量间的关系求值.考点问题二：利用三角函数、正余弦定理、勾股定理、三角形面积公式、向量的计算和性质等来求值.考点问题三：利用平面几何的相关性质以及圆锥曲线的性质，通过转化与化归与方程等思想方法，解离心率有关问题.(二)解析离心率是圆锥曲线的一个重要的基本量，求离心率的题目是高考常见的题型，这类问题涉及到的知识点比较多，综合性比较强，对学生的思维能力和运算能力有较高的要求，所以学生在解决这类问题时，往往会感到无从下手.其实解决这类问题就是想方设法找到a,b,c三者之间的关系，然后转化为关于离心率的问题，其关键是如何分析题意，深人挖掘出题目所隐含的条件.本文结合近三年的高考题，总结出了几个求圆锥曲线离心率的常用方法.（2015年新课标Ⅱ理第11题）已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，∆ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为（D）（A）（B）2（C）（D）本题主要考查的问题是，利用三角函数、平面几何和方程思想求离心率.主要是能过M点作的垂线，然后利用三角函数计算出M点的坐标，再根据M点在双曲线上则把M点坐标带入双曲线方程，结合三者的关系求出离心率.（2015新课标Ⅱ文第20题）已知椭圆C：（>>0）的离心率为，点（2，）在C上.（1）求C的方程.（2）直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M.直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值.（2014新课标Ⅱ理第20题）设,分别是椭圆的左右焦点，M是C上一点且与x轴垂直，直线与C的另一个交点为N.（Ⅰ）若直线MN的斜率为，求C的离心率；（Ⅱ）若直线MN在y轴上的截距为2，且，求a,b.（2014新课标Ⅰ理第20题）已知点（0，-2），椭圆：的离心率为，是椭圆的焦点，直线的斜率为，为坐标原点.(Ⅰ)求的方程；（Ⅱ）设过点的直线与相交于两点，当的面积最大时，求的方程.（2013年新课标Ⅱ文第5题）设椭圆C：的左、右焦点分别为，P是C上的点，则C的离心率为（）（A）（B）（C）（D）本题考查的问题是椭圆的几何性质和离心率的计算，主要是能利用几何性质和椭圆的定义式集合椭圆中基本量间的关系进而求出离心率.解析;,在直角中，，故结合椭圆性质可得，故.2.对上述高考题的归纳总结求离心率的问题主要考查的是圆锥曲线的几何性质以及平面几何的应用.会涉及到勾股定理、三角函数、圆、正余弦定理、三角形的面积公式以及向量的有关性质和计算等问题.其中会应用到的数学思想方法有方程思想方法，利用圆锥曲线的相关性质和满足题意的几何图形的等量关系和已知等式，列出关于a、b、c三者中某两个或三个元素的方程；再结合转化与化归的思想方法，结合a、b、c三者间的关系式，将所列的方程进行变形、化简求值.二、目标及其解析(一)目标1.掌握椭圆、双曲线的定义式、离心率的定义及求离心率的基本方法;2.能有意识的应用数形结合思想和方程思想方法，通过分析椭圆、双曲线的基本量“a、b,c”之间的关系，几何图形的等量关系和已知等式列出某个关于a、b、c三个中任意两个或三个间的等量关系式；3.能应用转化与化归思想方法，并结合a、b、c三者的关系，将所列的方程进行有目的的变形、化简，从而求值；（二）解析1.高考圆锥曲线试题主要靠圆锥曲线的定义、几何图形、标准方程及其几何性质;“掌握椭圆、双曲线的定义式、离心率的定义及求离心率的基本方法”就是要求在解决这一问题时，首先要掌握椭圆和双曲线中基本量之间的等量关系式，并能根据这些关系及已知条件列出相关的等量关系式；2.“能有意识的应用数形结合思想和方程思想方法”要求在解决圆锥曲线的问题时，首先要能够依据题意准确画出图像，并根据题意列出所求量的方程或表达式，并知道根据a、b、c三者的关系、图形的等量关系式和已知等式来具体列出方程；并采用数形结合的思想，要渗透的是用代数的方法研究几何问题的思想——即解析的思想，因此要重点掌握方程的思想和曲线与方程的关系，淡化数值计算，所以，要重视方程与函数的思想、数形结合的思想的应用，这是解析几何复习的本源；3.“能应用转化与化归思想方法”在这里是指，当列出一系列的方程后，要有目的地去变形、化简、求值，所谓有目的是指围绕所求量，消去、代换或减少其他无关的量，从而求出所求量的值；三、教学问题诊断分析高考中对于圆锥曲线的几何性质基本是围绕着“离心率、范围”考查，根据对高考试题分析可知:离心率问题是高考对圆锥曲线考查的又一个重点，求离心率及取值范围问题是解析几何中常见的问题，其归根结底是利用定义寻求关于a、b、c的相应等式，并把等式中的a、b、c转化为只含有a,c的式子，再转化为含的等式，最后求出，该类题型较为基础，一般以选择题或解答题的第一问的形式出现，而对于选择题中常常可结合图形或者定义来解决，这样就可以有效地避免了复杂的运算.学生最大的问题就是不能准确的列出所需要的等量关系式，对于这一问题通过引导提问激发学生的思考，并跟学生讲清楚如何根据具体题意准确的构造出所需要的等量关系式；历年来平面几何和解析几何部分是高考的“重头戏”，而圆锥曲线内容又是解析几何部分的重中之中，但这却是考生的“软肋”，考生对圆锥曲线部分“又爱又恨”，“爱”是因为这是高考的重点，在备考复习的过程中不敢掉以轻心;“恨”是因为圆锥曲线这部分内容对考生来说比较难，常以“压轴题”的面目呈现，且常考常新、综合性强、字母符号多，运算量过程复杂，考生在解题中经常会“卡壳”，往往会出现“想得到、算不出、做不对”的现象.综观近三年的圆锥曲线考题可知:在高考中重点考查的知识内容是轨迹问题、最值问题(尤其是与距离有关的最值问题)、定点或定值、切线问题(或切点弦)和曲线特征(性质)探究性问题，在注重考查图形直观的同时，不再刻意回避韦达定理在代数运算中的作用，在本质上更加突出“用代数方法解决几何问题”这一核心，即兼顾考查韦达定理与图形探究，在能力上注重图形探究能力的考查，突出用“数”研究“形”的方法，同时通过“形”的特征简化“数”的运算，体现多思巧算的思想及减少运算量的技巧，而在考查的过程中贯穿函数与方程、转化与化归、特殊与一般的思想考查和关注对整体处理问题策略的方法.四、教学过程设计(一)课前测试（2013年新课标Ⅱ文第5题）设椭圆C：的左、右焦点分别为，P是C上的点，则C的离心率为（）（A）（B）（C）（D）设计意图：通过测试，了解学生对椭圆和双曲线的定义式及相关量间的关系、三角形的相关应用、根据转化与与化归思想方法化简求值以及分类讨论思想的掌握情况.分析：求离心率就是要想办法求出的值，或者是列出关于的方程，很多离心率问题是以平面图形为载体出现的，平面图形背后有一些隐含的性质，比如三角形面积的等价转化、勾股定理、三角函数、正余弦定理等.师生活动：1.学生先分析解题思路；2.讨论①将第一题中的椭圆变为双曲线其它条件不变之后改变的是哪个表达式？②若将改为，其它条件不变，则离心率为____________.（二）巩固练习1.(2015年新课标Ⅱ理第11题）已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，∆ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为（）（A）（B）2（C）（D）2.（2016全国Ⅰ文第5题）直线经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为多少（）设计意图：熟练利用平面几何和圆锥曲线的集合性质来解题.本题主要考查的问题是，利用三角函数、平面几何和方程思想求离心率.主要是能过M点作的垂线，然后利用三角函数计算出M点的坐标，再根据M点在双曲线上则把M点坐标带入双曲线方程，结合三者的关系求出离心率.课堂小结:1.本堂课解决圆锥曲线的离心率的问题，属于圆锥曲线的几何性质的问题，在高考中一般考查：利用圆锥曲线的几何性质及方程和基本量间的关系，通过转化与化归、方程等思想方法，经过代换及运算解有关问题.2.解决求圆锥曲线的离心率的问题一般需要利用正余弦定理、三角函数、勾股定理、三角形面积公式、向量的数量及运算、所给图形的等量关系式和已知等式，列出关于三者中任意两个或三个元素间的等量关系式，再次利用基本量的等量关系式代换出含有的表达式，进而求出离心率.解决焦三角形的问题一般步骤：1.作图；2.标出已知条件；3.结合有关条件和性质列出等量关系式：目标检测：（2016全国Ⅱ理第11题）已知是双曲线E:的左右焦点，点M在E上，垂直，若，则E的离心率为（）五、作业设计A组1.过椭圆()的左焦点作轴的垂线交椭圆于点，为右焦点，若，则椭圆的离心率为()A．B．C．D．2.设椭圆的焦点为，以为直径的圆与椭圆的一个交点为，若，则椭圆的离心率为__________.3.设和为双曲线()的两个焦点,若，是正三角形的三个顶点,则双曲线的离心率为()A．B．C．D．3B组1.设双曲线的—个焦点为F；虚轴的—个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为____________.2.已知椭圆的左焦点为，右顶点为，点在椭圆上，且轴，直线交轴于点．若，则椭圆的离心率是()A．