4.1数列的概念+课件【知识精研+培优拓展】高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

核心素养：数学抽象、直观想象、逻辑推理、数学运算、数学建模4.1数列的概念学习目标1.通过日常生活和数学中的实例，了解数列的概念、表示方法（列表、图象、通项公式）以及数列的分类.2.了解数列是一种特殊函数，并能通过函数思想研究数列的性质.3.理解数列的通项公式的意义，了解数列的递推公式，了解通项公式和递推公式是给出数列的两种方式，并明确它们的异同.4.理解数列的前n项和，并能用数列的前n项和求出数列的通项公式.

问题1:王芳从1岁到17岁，每年生日那天测量身高，将这些身高数据（单位：厘米）依次排成一列数：75,87,96,103,110,116,120,128,138,145,153,158,160,162,163,165,168.（1）75在这列数中的含义是什么？1岁时的身高是75厘米.（2）10岁时身高是多少？10岁时的身高是145厘米.在现实生活和数学学习中，我们经常需要根据问题的意义，通过对一些数据按特定顺序排列的方法来刻画研究对象.例如：记王芳第i岁时的身高为hi，那么h1=75,h2=87,…,h17=168.我们发现，hi中的i反映了身高按岁数从1到17的顺序排列时的确定位置，即h1=75是排在第1位的数，h2=87是排在第2位的数……h17=168是排在第17位的数，它们之间不能交换位置.

问题2:在两河流域发掘的一块泥版（编号K90，约产生于公元前7世纪）上有一列依次表示一个月中从第1天到第15天每天月亮可见部分的数：

5，10，20，40，80，96，112，128，

144，160，176，192，208，224，240.

注：把满月分成240份，则从初一到十五每天月亮的可见部分可用一个代表份数的数来表示。是具有确定顺序的一列数.

记第i天月亮可见部分的数为si.那么s1=5,s2=10,…,s15=240.（1）它们具有确定的顺序吗？（2）你能用符号表示第i天月亮可见部分的数吗？简记为：5，10，20，40，80，96，112，128，

144，160，176，192，208，224，240.（1）这也是具有确定顺序的一列数吗？（2）上述例子的共同特征是什么？一列数顺序数列的定义：

一般地，我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项.数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项，也称首项，常用符号a1表示，第二个位置上的数叫做这个数列的第2项，用a2表示……第n个位置上的数叫做这个数列的第n项，用an表示.75,87,96,103,110,116,120,128,138,145,153,158,160,162,163,165,168.①②5,10,20,40,80,96,112,128,144,160,176,192,208,224,240.③有穷数列：项数有限的数列

无穷数列：项数无限的数列（2）从函数角度看数列：由于数列｛an｝中的每一项an与它的序号n有下面的对

应关系：所以数列{an}是函数y=f(x)当自变量从1开始，按照从小到大的顺序依次从正整数集N+（或它的有限子集{1,2,3,…,n}）取值时，函数值an=f(n)的排列。其自变量是序号n，对应的函数值是数列的第n项an，记为an=f(n).（1）数列的一般形式：a1,a2,a3,…,an,…,简记为{an}.辨析：在数列中,符号an

与{an}所表示的意义是否相同？（3）数列的函数表示法及性质：与其他函数一样，数列也可以用解析式、表格和图象来表示.例如，数列①可以表示为表4.1-1.1234567891011121314151617758796103110116120128138145153158160162163165168它的图象如图4.1-1所示.（4）数列的通项公式：如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式.练习：1.判断正误：

（1）1，1，1，1，1…是一个数列.()✔（2）(1,2)，(2,1)，(1,1)，(3,1)，(1,3)是一个数列.()✘（3）数列1，3，5，7和数列7，5，3，1是同一个数列.（

）✘2.分别用表格、图形和解析式表示数列：3，6，9，12，15.（1）列表法：（2）图像法：（3）解析法：n12345an3691215an=3n,n∈{1,2,3,4,5}.特别地，各项都相等的数列叫做常数列.数列{an}的第n项an即通项公式，它是函数解析式an=f(n)，因此，可以运用函数的观点研究数列.利用一个数列的通项公式能解决以下问题：①求出该数列的各项；

②判断某个数是否为该数列中的项；③判断该数列的增减性；

④求该数列的最大项和最小项等.数列的单调性：从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列叫做递增数列；从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列叫做递减数列.如：9,99,999,9999，…；如：如：1,1,1,1，…；按单调性对数列分类：解：（1）1，3，6，10，15.解：（2）1，0，-1，0，1.根据数列的前几项求数列的通项公式基本思路：（1）先整体观察数列前几项的结构特征；（2）观察各项的异同点；相同的地方，容易得出规律；不同的部分应将其变化

规律与序号n结合起来，探求规律；（3）不是所有的数列都能用通项公式表示.自主练习3.如果数列｛an｝的通项公式为an=n2+2n，那么120是不是这个数列的项？如果是，是第几项？分析：要判断120是不是数列{an}中的项，就是要回答是否存在正整数n，使得n2+2n=120也就是判断上述关于n的方程是否有正整数解.解：令n2+2n=120，解这个关于n的方程，得n=-12（舍去），或n=10,所以120是数列{an}的项，是第10项.方法技巧：判断某数m是否为数列{an}中的项的方法：令an=m解出n的值，如果n∈N*,那么数m是数列{an}中的项，此时的n便是数列的项的序号；如果n∉N*，那么数m不是数列{an}中的项.图中的一系列三角形图案称为谢尔宾斯基三角形.在图中4个大三角形中，着色的三角形的个数依次构成一个数列的前4项，写出这个数列的一个通项公式.（1）   

 （2）      （3）    

   （4）换个角度观察上图中的4个图形.可以发现，a1=1,a2=3a1,a3=3a2,a4=3a3由此猜测这个数列满足公式对递推公式的两点说明：（1）递推公式也是数列的一种表示方法.有时候并不一定要知道数列的通项公式，只要知道数列的某一项和递推公式，同样也可以知道数列的任一项；（2）与数列的通项公式一样，并不是所有的数列都有递推公式.CB数列的前n项和1.数列的前n项和的定义在对数列的研究中，求数列某些项的和是主要问题之一.我们把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作Sn，即2.数列的前n项和公式如果数列{an}的前n项和Sn与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，Sn=f(n),那么这个式子叫做这个数列的前n项和公式.3.由Sn求通项公式an自主练习1.已知数列｛an｝的前n项和公式为Sn=n2+n，求出｛an｝的通项公式.自主练习2.已知数列｛an｝的前n项和公式为Sn=n2+n+1,求出{an}的通项公式.所以{an}的通项公式是自主练习3.已知数列｛an｝的前n项和公式为Sn=n2-4n,则a1=

,a4+a5=

.解：当n=1时，a1=S1=1-4=-3,a4+a5=S5-S3=52-4×5-(32-4×3)=8.自主练习4.已知数列｛an｝满足a1+2a2+3a3+…+nan=(2n-1)·3n,n∈N*,则a1=

,an=

.解：由题设，当n=1时，a1=(2×1-1)·31=3,当n≥2时，a1+2a2+3a3+…+nan=(2n-1)·3n且a1+2a2+3a3+…+(n-1)an-1=[2(n-1)-1]·3n-1两式相减：nan=(2n-1)·3n-(2n-3)·3n-1=4n·3n-1故an=4·3n-1因为a1=3≠4×30-3831.数列的定义:按照确定的顺序排列的一列数称为数列.2.数列