线性代数-矩阵的秩-期末复习资料课件

第三节矩阵的秩主要内容矩阵的秩的概念；初等变换不改变矩阵的秩的原理，以及矩阵的秩的求法；矩阵的秩的基本性质.基本要求理解矩阵的秩的概念，知道初等变换不改变矩阵的秩的原理；掌握用初等变换求矩阵的秩的方法；知道矩阵的标准形与秩的联系；知道矩阵的秩的基本性质.1线性代数-矩阵的秩--期末复习资料一、k阶子式例如是的一个2阶子式，的2阶子式共有个.一般地，矩阵的阶子式共有个.2线性代数-矩阵的秩--期末复习资料二、矩阵的秩定义设在矩阵中有一个不等于零的阶子式，且所有阶子式（如果存在的话）全等于零，那么称为矩阵的最高阶非零子式，数称为矩阵的秩，记作或.规定：零矩阵的秩等于0.例1求矩阵和的秩.3线性代数-矩阵的秩--期末复习资料在中，容易看出一个2阶子式的3阶子式只有一个因此在中，

由于它是行阶梯形矩阵，容易看出它的4阶子式全为零，而以三个非零行的首非零元为对角元的3阶子式不等于零，因此这里的两个行列式分别是和的最高阶非零子式4线性代数-矩阵的秩--期末复习资料说明根据行列式的展开法则知，在中当所有阶子式全为零时，所有高于阶的子式也全为零，因此把阶非零子式称为最高阶非零子式；矩阵的秩就是中不等于零的子式的最高阶数，这就是矩阵的秩所表明的矩阵的一个特征；当矩阵中有某个阶子式不为0，则

当矩阵中所有阶子式都为0，则5线性代数-矩阵的秩--期末复习资料对于阶矩阵，当时，称为满秩矩阵；否则称为降秩矩阵.

由于阶矩阵的阶子式只有一个，当时，所以可逆矩阵的秩等于矩阵的阶数，可逆矩阵又称满秩矩阵，不可逆矩阵又称降秩矩阵.6线性代数-矩阵的秩--期末复习资料四、矩阵的秩的计算定理1若，则即两个等价矩阵的秩相等.说明根据此定理，为求矩阵的秩，只要把矩阵用初等行变换变成行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数即是矩阵的秩.证明略7线性代数-矩阵的秩--期末复习资料例2设求矩阵的秩，并求的一个最高阶非零子式.解析：根据定理1，为求的秩，只需将化为行阶梯形矩阵.8线性代数-矩阵的秩--期末复习资料所以大多情况下只用初等行变换，不用初等列变换9线性代数-矩阵的秩--期末复习资料再求的一个最高阶非零子式.因此

在中,找一个3阶非零子式是比较容易的，另外注意到，的子式都是的子式，所以易求得的一个最高阶非零子式10线性代数-矩阵的秩--期末复习资料说明最高阶非零子式一般是不唯一的.上述找最高非零子式的方法是一般方法，另外观察法也是常用的方法.11线性代数-矩阵的秩--期末复习资料例3设已知，求与的值.解析：这是一道已知矩阵的秩，讨论其中参数的值的题目.一般有两个途径，一是用定义；二是用初等变换.当时，的3阶子式全为零，从而可以计算出参数的值.下面用初等变换解答此题.12线性代数-矩阵的秩--期末复习资料因为，故即说明此方法就是，用初等变换，将矩阵化为比较简单的矩阵，然后根据矩阵的秩进行讨论.13线性代数-矩阵的秩--期末复习资料分块矩阵的概念用一些横线和竖线把矩阵分成若干小块，这种“操作”称为对矩阵进行分块，每一个小块称为子块；这样处理矩阵的方法称为分块法；矩阵分块后，以子块为元素的矩阵称为分块矩阵.说明分块矩阵只是形式上的矩阵；分块法的优越之处是：把大矩阵的运算化为小矩阵的运算.矩阵分块后，能突出该矩阵的结构，从而可利用它的特殊结构，使运算简化.可为某些命题的证明提供方法.14线性代数-矩阵的秩--期末复习资料例如得到4个子块：以这些子块为元素，于是，得到的按照这种分法的分块矩阵：这是一个形式上为的分块矩阵15线性代数-矩阵的秩--期末复习资料对还可以进行其它分法，如下面的两种分法：16线性代数-矩阵的秩--期末复习资料五、矩阵的秩的性质若为矩阵，则

若，则

若可逆，则

特别地，当b为列向量时，有即，分块矩阵的秩不小于每一个子块的秩，不超过所有子块的秩之和.17线性代数-矩阵的秩--期末复习资料矩阵的秩的性质

若则

（下节）（下章）18线性代数-矩阵的秩--期末复习资料例4设为矩阵，为矩阵，证明证根据性质7，有而为阶矩阵，所以关于矩阵的秩的性质的证明题19线性代数-矩阵的秩--期末复习资料关于矩阵的秩的性质的证明题例5设为阶矩阵，证明证因为由性质6，有而所以20线性代数-矩阵的秩--期末复习资料六、小结矩阵的秩是用矩阵的最高阶非零子式的阶数定义的；矩阵的秩的求法：根据定义，求最高阶非零子式的阶数，根据初等变换不改变矩阵的秩