次可加数列的刻画

次可加数列的刻画

二可积分是数学的一个重要特征。它被广泛应用于向量和算子的模型、空间测量、二次泛函、矩阵噪声、向量空间维数和模糊数学。目前，关于二次可添加函数的研究很少，分析的教材也没有包含在这方面。因此，使用了次可添加序列的重要特征，对次可添加函数进行了研究和分析。当指定（0，+）的次可添加函数与其自变量之比为有效函数时，二次可添加函数必须存在一个上下关系函数，这证实了次自格函数是一个齐次线性函数，并继续扩展次可执行函数、次可执行函数和次乘换函数。1小样本中amm2.3.22.3.22.2.2.3.2.3.2.3.2.3.3.2.3.2.3.2.3.2.3.2.3.23.2.3.23.2.3.2.3.2.3.2.3.23.2.3.23.23.23.23.23.23.23.2.3.3.3.23.2.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.2.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.定义1若实数列{an}∞n=1满足am+n≤am+an,则称{an}∞n=1为次可加数列.定义2设f(x)是定义在(0,+∞)上的实函数,若f(x)满足f(x+y)≤f(x)+f(y),∀x,y≥0,则称f(x)为次可加函数.为证明次可加函数的性质,先证明次可加数列的以下结果.定理1设{an}∞n=1是次可加数列且数列{an/n}∞n=1有下界,则数列{an/n}∞n=1收敛.证由数列{an}∞n=1的次可加性可得amn≤man.因而有a11≥a22≥a2222≥a2323≥⋯≥a2n2n≥⋯(1)即子列{a2n/2n}∞n=1单调递减.由数列{an/n}∞n=1有下界可知子列{a2n/2n}∞n=1也有下界,因而该子列收敛,设极限为a,即limn→∞a2n2n=a(2)类似地,对给定的正整数m≥2,可构作单调递减有下界子列{am·2n/(m·2n)}∞n=1,即amm≥am⋅2m⋅2≥am⋅22m⋅22≥am⋅23m⋅23≥⋯≥am⋅2nm⋅2n≥⋯(3)设子列{am·2n/(m·2n)}∞n=1的极限为bm,即limn→∞am⋅2nm⋅2n=bm(4)可以证明bm=a.事实上,将正整数m表成二进制整数m=(ikik-1…i1i0)2,这里ij=0或1,0≤j≤k但ik=1,则有am⋅2nm⋅2n≤∑0≤j≤k,ij=1a2n+jm⋅2n=∑0≤j≤k,ij=12jm⋅a2n+j2n+j(5)在式(5)两边令n→∞得bm≤∑0≤j≤k,ij=12jmlimn→∞a2n+j2n+j=a∑0≤j≤k,ij=12jm=a(6)另一方面a2n+k+12n+k+1≤am⋅2n+a(2k+1-m)⋅2n2n+k+1=am⋅2nm⋅2n⋅m2k+1+a(2k+1-m)⋅2n(2k+1-m)⋅2n⋅2k+1-m2k+1(7)在式(7)两边令n→∞得a≤bm⋅m2k+1+b2k+1-m⋅2k+1-m2k+1≤bm⋅m2k+1+a⋅2k+1-m2k+1⇒bm≥a(8)式(6),(8)可得bm=a.因而由式(3)可得,对任意正整数m成立amm≥limn→∞am⋅2nm⋅2n=bm=a,m=1,2,⋯(9)由m的二进制表示m=(ikik-1…i1i0)2,ik=1可得a≤amm≤∑0≤j≤k,ij=1a2jm(10)显然m→∞当且仅当k→∞.以下证明limm→∞amm=a.由式(1)及limk→∞a2k2k=a可知,对∀ε>0,存在正整数K>0使得当k>K时,恒有a2k2k-a<ε2.取M=[2K+2(a1-a)/ε],由式(10),(1)可得当m>M时,恒有amm-a≤∑0≤j≤k,ij=1a2jm-a=∑0≤j≤k,ij=12jm(a2j2j-a)=∑0≤j≤Κ,ij=12jm(a2j2j-a)+∑Κ+1≤j≤k,ij=12jm(a2j2j-a)<(a1-a)∑0≤j≤Κ,ij=12jm+ε2∑Κ+1≤j≤k,ij=12jm<a1-am2Κ+1+ε2<ε2+ε2=ε.(11)由式(10),(11)即得定理1的结论.定理2设f(x)是定义在(0,+∞)上的次可加实函数,若函数f(x)/x在(0,+∞)上有界,则limx→+∞f(x)/x=a,limn→+∞f(2-nx)/(2-nx)=α,且ax≤f(x)≤αx,其中α是与x无关的常数.证先证limx→+∞f(x)/x收敛.由f(x)的次可加性可得数列{f(n)}∞n=1的次可加性,由f(x)/x在(0,+∞)上有界可得数列{f(n)/n}∞n=1有界.根据定理1数列{f(n)/n}∞n=1收敛,设limn→+∞f(n)/n=a.再利用f(x)的次可加性,对于给定的x有f(nx)≤nf(x),因而f(x)x≥f(2x)2x≥f(22x)22x≥f(23x)23x≥⋯≥f(2nx)2nx≥⋯(12)即数列{f(2nx)/(2nx)}∞n=1单调递减.显然数列{f(2nx)/(2nx)}∞n=1有界,因而它收敛.设limn→+∞f(2nx)2nx=bx(13)可以证明bx=a.当2nx为整数时结论显然成立.以下考虑2nx不是整数的情形,此时有0<{2nx}<1.由2nx=[2nx]+{2nx}(记号[x]和{x}分别表示实数x的整数部分和小数部分)及f(x)的次可加性可得f(2nx)2nx≤f([2nx])+f({2nx})2nx=[2nx]2nx⋅f([2nx])[2nx]+{2nx}2nx⋅f({2nx}){2nx}(14)在式(14)两边令n→∞,并由limn→∞f(n)/n=a及函数f(x)/x的有界性可得bx≤a.另一方面,设x=(ikik-1…i1i0.i-1i-2…)2,则有f(2n+k+1)2n+k+1≤f(2nx)+f(2n(2k+1-x))2n+k+1=x2k+1⋅f(2nx)2nx+2k+1-x2k+1⋅f(2n(2k+1-x))2n(2k+1-x)(15)在式(15)两边令n→∞得a≤bx⋅x2k+1+b2k+1-x⋅2k+1-x2k+1≤bx⋅x2k+1+a⋅2k+1-x2k+1⇒bx≥a(16)因而bx=a.所以由式(12)可得,对任意x∈(0,+∞)成立f(x)x≥limn→∞f(2nx)2nx=bx=a,x∈(0,+∞)(17)因limn→∞f(n)/n=a,所以只需考虑x不为整数的情形,此时0<{x}<1.由式(17)及f(x)的次可加性可得a≤f(x)x≤f([x])+f({x})x=[x]x⋅f([x])[x]+{x}x⋅f({x}){x}(18)在式(18)中令x→∞.由两边夹定理即得limx→+∞f(x)/x=a.下证极限limn→+∞f(2-nx)/(2-nx)存在.由f(x)的次可加性可得f(1)1≤f(2-1)2-1≤f(2-2)2-2≤f(2-3)2-3≤⋯≤f(2-n)2-n≤⋯因而数列{f(2-n)/2-n}∞n=1收敛,设limn→∞f(2-n)/2-n=α.对任意给定的x∈(0,+∞),仍由f(x)的次可加性,f(x)x≤f(2-1x)2-1x≤f(2-2x)2-2x≤f(2-3x)2-3x≤⋯≤f(2-nx)2-nx≤⋯(19)因而数列{f(2-nx)/(2-nx)}∞n=1收敛,设limn→∞f(2-nx)/(2-nx)=βx,可以证明βx=α.设实数x的二进制表示为x=(ikik-1…i1i0.i-1i-2…)2,则有f(2-nx)2-nx≤∑j≤k,ij=1f(2-n+j)2-nx=∑j≤k,ij=12jx⋅f(2-n+j)2-n+j⇒βx≤α,f(2-n+k+1)2-n+k+1≤f(2-nx)+f(2-n(2k+1-x))2-n+k+1=x2k+1⋅f(2-nx)2-nx+2k+1-x2k+1⋅f(2-n(2k+1-x))2-n(2k+1-x)⇒α≤x2k+1βx+(1-x2k+1)b2k+1-x≤x2k+1βx+(1-x2k+1)α⇒α≤βx.因而βx=α.所以由式(19)及βx=α可得,对任意x∈(0,+∞)成立f(x)x≤limn→∞f(2-nx)2-nx=βx=α,x∈(0,+∞)(20)由式(17),(20)即得定理2最后一个结论,定理证毕.2极限smnlnaman存定义3若正实数列{an}∞n=1满足am+n≤aman,则称{an}∞n=1为次加乘数列.定义4设f(x)是定义在(0,+∞)上的实值正函数,若f(x)满足f(x+y)≤f(x)f(y),∀x,y≥0,则称f(x)为次加乘函数.定理3设{an}∞n=1是次加乘正数列,且数列{ann}n=1∞有下界,则数列{ann}n=1∞收敛.证令dn=lnan,则dm+n=lnam+n≤ln(aman)=lnam+lnan=dm+dn,即{dn}∞n=1是次可加数列.又dn/n=lnan/n=lnann,由数列{ann}n=1∞有下界知{dn}∞n=1有下界.由定理1得极限limn→∞dn/n存在,即极限limn→∞lnann存在,故结论成立.定理4设f(x)是定义在(0,+∞)上的次加乘正函数,若函数[f(x)]1x在(0,+∞)上有界,则limn→+∞[f(x)]1x=a,limn→+∞[f(2-nx)]12-nx=α,且ax≤f(x)≤αx,其中α是与x无关的常数.证令g(x)=lnf(x),则g(x+y)=lnf(x+y)≤ln(f(x)f(y))=lnf(x)+lnf(y)=g(x)+g(y),即g(x)是次可加函数.又g(x)/x=lnf(x)/x=ln[f(x)]1x,由函数[f(x)]1x有界可知g(x)/x有界.由定理2得limx→+∞g(x)/x=lna,limn→+∞g(2-nx)/(2-nx)=lnα,且(lna)x≤g(x)≤(lnα)x,其中α是与x无关的常数.由g(x)/x=ln[f(x)]1x即得定理4的结论.3计算—次可乘函数的性质定义5若正实数列{an2}∞n=1满足amn≤aman,则称{an2}∞n=1为次可乘数列.定义6设f(x)是定义在(1,+∞)上的实值正函数,若f(x)满足f(xy)≤f(x)f(y),∀x,y≥1,则称f(x)为次可乘函数.定理5设{an}∞n=1是次可乘正数列,且数列{a2nn}n=1∞有下界.则数列{a2nn}n=1∞收敛.证令dn=a2n,则dm+n=a2m+n=a2m2n≤a2ma2n=dmdn,即{dn}∞n=1是次加乘数列.又dnn=a2nn,由数列{a2nn}n=1∞有下界知{dnn}n=1∞有下界.由定理3得极限limn→+∞dnn存在,故结论成立.定理6设f(x)是定义在(1,+∞)上的次可乘正函数,若函数[f(x)]1lnx在(1,+∞)上有界,则limx→+∞[f(x)]1lnx=a,limn→+∞[f(x2-n)]12-nlnx=α,且xlna≤f(x)≤xlnα,其中α是与x无关的常数.证令g(x)=f(ex),则g(x+y)=f(ex+y)=f(exey)≤f(ex)f(ey)=g(x)g(y),即g(x)是次加乘函数.又[g(x)]1x=[f(ex)]1x=[f(z)]1lnz,z=ex,由函数[f(x)]1lnx有界知[g(x)]1x有界.由定理4得limx→+∞[g(x)]1x=a,limn→+∞[g(2-nx)]12-nx=α,且xa≤g(x)≤xα,其中α是与x无关的常数.由[g(x)]1x=[f(z)]1lnz,z=ex即得定理6的结论.4关于dmn3an定义7若实数列{an}∞n=1满足amn≤am+an,则称{an}∞n=1为次乘加数列.定义8设f(x)是定义在(1,+∞)上的实函数,若f(x)满足f(xy)≤f(x)+f(y),∀x,y≥1,则称f(x)为次乘加函数.定理7设{an}∞n=1是次乘加数列,且数列{an/log2n}∞n=2有下界,则数列{an/log2n}∞n=2收敛.证令dn=2an,则dmn=2amn≤2am+an=2am·2an=dmdn,即{dn}∞n=1是次可乘数列.又d2nn=2a2nn=2a2n/n,由数列{an/log2n}∞n=1有下界知{a2n/n}∞n=1有下界.因而{d2nn}n=1∞有下界.由定理5得极限limn→+∞d2nn存在,故结论成立.定理8设f(x)是定义在(1,+∞)上的次乘加实函数,若函数f(x)/lnx在(1,+∞)上有界,则limx→+∞f(x)/lnx=a,limn→+∞f(x2-n)/(2-nlnx)=α,且alnx≤f(x)≤αlnx,其中α与x无关.证令g(x)=exp(f(x)),则g(xy)=exp(f(xy))≤exp(f(x)+f(y))=exp(f(x))exp(f(y))=g(x)g(y),即g(x)是次可乘函数.又[g(x)]1lnx=exp[f(x)/lnx],由函数f(x)/lnx有界知[g(x)]1lnx有界.由定理6得limx→+∞[g(x)]1lnx=exp(a),limn→+∞[g(x2-n)]12-nlnx=