2021全国高考数学真题汇编：等差数列（教师版）

2021全国高考数学真题汇编：等差数列

选择题（共1小题）

1.（2021•北京）《中国共产党党旗党徽制作和使用的若干规定》指出，中国共产党党旗为旗面缀有金黄色党徽图案

的红旗，通用规格有五种.这五种规格党旗的长0,42,43,“4,«5（单位：cm）成等差数列，对应的宽为"，

bi,bi,b4,ba（单位：cm）,且长与宽之比都相等.已知©=288,3=96,加=192,则加=（）

A.64B.96C.128D.160

二.填空题（共1小题）

2.（2021•上海）已知等差数列｛知｝的首项为3,公差为2,则GO=.

三.解答题（共3小题）

3.（2021•新高考H）记S“是公差不为0的等差数列｛〃“｝的前”项和，若的=S5,a2O4=S4.

（I）求数列｛为｝的通项公式4"；

（II）求使成立的n的最小值.

4.（2021•甲卷）记S,为数列｛小｝的前〃项和，已知%>0,。2=3内，且数列｛、瓦｝是等差数列，证明：｛斯｝是等差

数列.

5.（2021•乙卷）记S“为数列｛斯｝的前〃项和，儿为数列｛SJ的前〃项积，已知2+工=2.

Snbn

（1）证明：数列｛d｝是等差数列；

（2）求｛〃〃｝的通项公式.

2021全国高考数学真题汇编：等差数列

参考答案与试题解析

选择题（共1小题）

1.（2021•北京）《中国共产党党旗党徽制作和使用的若干规定》指出，中国共产党党旗为旗面缀有金黄色党徽图案

的红旗，通用规格有五种.这五种规格党旗的长0,S，04，（单位：cm）成等差数列，对应的宽为",

岳，b3,b4,b5（单位：cm）,且长与宽之比都相等.已知0=288,的=96,"=192,则历=（）

A.64B.96C.128D.160

【分析】直接利用数列的等差中项的应用求出结果.

【解答】解：｛如｝和｛仇｝是两个等差数列，且至（1<K5）是常值6=288,的=96,

bk

aA+au

故23=味工-=192,

小干252883

b3b21922

所以加=128.

另解：解得：16^.

5

Sb5a1

,.b]+b5

故：b5=F-=128・

故选：C.

【点评】本题考查的知识要点：数列的等差中项的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题.

填空题（共1小题）

2.（2021•上海）已知等差数列｛”“｝的首项为3,公差为2,则碗=21

【分析】由已知结合等差数列的通项公式即可直接求解.

【解答】解：因为等差数列｛小｝的首项为3,公差为2,

贝«io=«7+9i/=3+5x2=21.

故答案为：21.

【点评】本题主要考查了等差数列的通项公式，属于基础题.

三.解答题（共3小题）

3.（2021•新高考H）记S,是公差不为。的等差数列｛〃“｝的前〃项和，若的=S5,a2a4=S4.

（I）求数列｛斯｝的通项公式如；

（II）求使*>如成立的n的最小值.

【分析】（I）直接利用等差数列的性质和前〃项和的应用求出数列的通项公式；

（II）直接利用作差法的应用和数列的分解因式的应用求出结果.

【解答】解：（I）数列S,是公差d不为0的等差数列｛为｝的前"项和，若。3=$2,4244=56.

根据等差数列的性质，。3=55=5"3，故"3=4,

根据”2“4=56可得（。3-d）（的+d）=（C16-2d）+（。3-4）+"8+（的+”），

整理得-/=-24,可得d=2（"=0不合题意），

故。"=〃7+（«-3）d=2n-4.

（II）%='2n-6,dfg-4,

Sn--4〃+匚"2,）-x2=-7,5,Z1

2

2

Sn>a,n即n-4n>2n-6,

整理可得〃3-7〃+6>3,

当”>6或"VI时，S">“"成立，

由于〃为正整数，

故n的最小正值为3.

【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法，数列的求和，主要考查学生的运算能力和数学思维能力,

属于基础题.

4.（2021•甲卷）记S,为数列｛斯｝的前〃项和，已知%>0,。2=3卬，且数列｛、瓦｝是等差数列，证明：｛斯｝是等差

数列.

【分析】设等差数列｛底｝的公差为比可用但、偲求出让得到S,的通项公式，利用a"=S“-S-可求出

。■的通项，从而证明｛〃“｝是等差数歹!!.

【解答】证明：设等差数列｛&｝的公差为止

由题意得何=百；偲=不=历=24，

则”而76/7Gi^i1)

所以S„—n2a4@;

当有2时,有S“T=(n-8)2al②.

由①②，得〃“=S〃-S〃-3=〃2〃I-(〃-3)2al=(6〃-1)③，

经检验，当〃=8时也满足③.

所以斯=(2/7-1)⑦，〃WN+,

当n>2时，an-an-\=(8M-1)a\-(8z?-3)a\=2a\,

所以数列｛m｝是等差数列.

【点评】本题考查了等差数列的概念和性质，涉及逻辑推理，数学运算等数学学科核心素养，属于中档题.

5.(2021•乙卷)记S.为数列｛小｝的前"项和，儿为数列｛S.｝的前〃项积，已知各工=2.

Sn.bn

(1)证明：数列｛儿｝是等差数列；

(2)求他“｝的通项公式.

【分析】3)由题意当〃=1时，b、=Si，代入已知等式可得"的值，当它2时，将上£-=&,代入2+工=

*SnL

2,可得儿-儿7=卷，进一步得到数列｛九｝是等差数列；

(2)由0=5|=勿=3,可得a=止2,代入已知等式可得S,尸空2,当龙2时，斯=S“_S“T=-7。,

22n+1n(n+l)

进一步得到数列｛斯｝的通项公式.

【解答】解：(1)证明：当"=1时，b尸S4,

由2+2=24=3,

Ibi2

当佗3时，上2_=S“，代入2+且=2,

1-1Sn%

消去S,„可得2/4+_1_=2“-5一4=」，

bnbn2

所以｛儿｝是以2为首项,1.

(2)由题意，得防=5|=匕7=3,

2

由(1),可得6"=5+(n-1)x——n+^,