2021学年天津市杨柳青一中高二年级上册学上学期期中考试卷附答案解析

2021学年天津市杨柳青一中高二上学上学期期中考试卷

一、单选题

1.若直线ax+y—a+l=0与直线（a-2）x-3y+a=0垂直，则实数。的值为（）

A.—1或3B.1或一3C.一1或一3D.1或3

22

2.已知椭圆上+二=1（m>0）的左焦点为耳（-4,0）,则机=

25

A.9B.4C.3D.2

3.如图，空间四边形ABC。中，E，尸分别是BC,C。的中点，AB+-BC+^-BD=（）

22

A.ADB.FAC.AFD.EF

4.圆x2+y2+4x-4y+7=0与圆（x—iy+（y—4）2=16的位置关系是（）

A.外切B.内切C.相交D.相离

5.笛卡尔是世界著名的数学家，他因将几何坐标体系公式化而被认为是解析儿何之父.据说在他生病卧床

时，还在反复思考一个问题：通过什么样的方法，才能把“点”和“数”联系起来呢？突然，他看见屋顶

角上有一只蜘蛛正在拉丝织网，受其启发建立了笛卡尔坐标系的雏形.在如图所示的空间直角坐标系中，单

位正方体顶点A关于x轴对称的点的坐标是（）

A.(―1,—(1,1,1)C.(1,—1,1)D.(―1,—1,—1)

6.过点(-3,2),且在x轴上的截距是在y轴上的截距的2倍的直线方程是()

A,尤+2y+l=0B,x+2y+l=0或2x+3y=0

Cx+2y-l=0D.x+2y—1=0或2x+3y=0

7.唐代诗人李顽的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个

有趣的数学问题一一“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回

到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在位置为3(2,4),若将军从点

A(—2,0)处出发，河岸线所在直线方程为x-2y+8=O,则“将军饮马”的最短总路程为()

A.生等B.10C.1072D.4夜

8.已知圆。:(工一1)2+(y一2)2=9上存在四个点到直线/：%一^+。=。的距离等于2,则实数匕范围是

()

A.(-00,1-572)0(1+572,+00)B.(1-572,1+572)

C.(-8,1—u(l++8)D,—5/2,1+V2j

9.已知圆0：V+y2=4与圆M：x2+y2—2x+4y+4=o相交于A8两点，直线/：3x+4)，—10=0,

点P在直线/上，点。在圆M上，则下列说法正确的是

①直线的方程为x—2y—4=0；②线段A3的长为迪；③IPQI的最小值是2；④从尸点向圆M引

5

切线，切线长的最小值是2近

10.已知直线/过点A(0,3),且与直线x+y+l=O平行，则/的方程是()

A.%+y—2=0B.x-y+2=0C.x+y-3=0D.x-y+3=0

11.已知空间向量«=(2+1,22,1),^=(6,2,2/n-l),若Z/万，则实数％+〃?=

12.如图，正方体ABC。-44GA的棱长为2,。是底面A4GA的中心，E是的中点，则向量

I因'I=，点0到直线\E的距离为.

B

2

13.一个圆经过椭圆土+二=1的三个顶点，且圆心在x轴的正半轴上，则该圆的标准方程为

164

14.化学中，将构成粒子(原子、离子或分子)在空间按一定规律呈周期性重复排列构成固体物质称为

晶体.在结构化学中，可将晶体结构截分为一个个包含等同内容的基本单位，这个基本单位叫做晶胞.已知

钙、钛、氧可以形成如图所示的立方体晶胞(其中77原子位于晶胞的中心，口原子均在顶点位置，。原

子位于棱的中点).则图中原子连线BF与BE所成角的余弦值为

15.直线y=A(x-2)+4,则直线/恒过定点—，与曲线y=i+,4-?仅有一个公共点,则实数的人的

取值范围是________.

四、解答题

16.已知直线4：2x-y-l=0和4：x-y+2=0的交点为尸，求：

(1)过点P且与直线4：3x+y-2=0垂直的直线/的方程；

12

(2)以点尸为圆心，且与直线3x+4y+l=0相交所得弦长为二的圆的方程；

(3)从下面①②两个问题中选一个作答，

9

①若直线/过点(1,2),且与两坐标轴的正半轴所围成的三角形面积为一，求直线/的方程.

2

②求圆心在直线3x-y=0上，与x轴相切，被直线x-y=O截得的弦长2近的圆的方程.

注：如果选择两个问题分别作答，按第一个计分.

17.如图，三棱柱ABC—中，分别是与G上点，且8M=2AM,C|N=28|N.设

AB=a>AC=b>AA]-c.

3

（1）试用a<b>c表K向量MN!

（2）^ZBAC=90°,ZBA41=ZC441=60°,=AC=A4t=1,求M/V的长.

（3）在（2）的条件下，求MN与AB所成角的余弦值.

18.在如图所示的几何体中，四边形ABC。为矩形，直线AF_L平面ABCD,EF//AB,4）=2,

AB=AF=2EF=l，点。在棱。？上.

（1）求证：AD1BF；

（2）若P是DF中点，求异面直线8£与。尸所成角的余弦值；

（3）若F「=LF力,求二面角。一AP-C的余弦值.

3

19.古希腊数学家阿波罗尼斯发现：平面上到两定点A,8距离之比4（4>0,丸。1）是常数点的轨迹是

一个圆心在直线AB上的圆，该圆简称为阿氏圆.根据以上信息，解决下面的问题：在棱长为2的正方体

中，点。是正方体的表面AOAA（包括边界）上的动点，若动点P满足Q4=2P。，

则点P所形成的阿氏圆的半径为；若E是CO的中点，且正方体的表面AOAA（包括边界）

上的动点F满足条件ZAPB=ZEPD,则三棱锥F-ACD体积的最大值是.

阿波罗伯斯

4

5

杨柳青一中2021-2022学年第一学期高二期中考试数学试卷解析版

一、单选题

1.若直线以+了一。+1=0与直线(a-2)x-3y+a=0垂直，则实数”的值为()

A.—1或3B.1或一3C.-1或一3D.1或3

【答案】A

【解析】

【分析】利用两线垂直的判定有。(。-2)-3=0,求解即可得。的值.

【详解】由题设，a(a-2)+lx(-3)=0,即/一24-3=0,解得。=—1或a=3.

当。=一1时，直线分别为％-＞一2=0、3x+3y+l=0,符合题设；

当a=3时，直线分别为3x+y-2=O、x—3y+3=0,符合题设.

故选：A

2.已知椭圆上+==1(机＞0)的左焦点为耳(-4,0),则〃?=

25m~

A9B.4C.3D.2

【答案】C

【解析】

【详解】试题分析：根据焦点坐标可知焦点在笳轴，所以谢与=黎，第=瞰产，/=：1雄，又因为

啾产=患=：3产一£产=卯，解得瓯I=S，故选C.

考点：椭圆的基本性质

3.如图，空间四边形ABCD中，E，产分别是BC,CO的中点，AB+^-BC+-BD^()

22

A.ADB.FAC-AFD.EF

6

【答案】C

【解析】

【分析】根据向量加法的平行四边形法则即可得出.

【详解】解：连接Ab，E，尸分别是BC,的中点,

贝ij通+g配+3丽=通+3闹+丽）=丽+丽=犷

故选：C.

【点睛】本题考查了向量加法的平行四边形法则，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.

4.圆/+;/+4x-4y+7=0与圆（X-1）?+（y-4）2=16的位置关系是（）

A.外切B.内切C.相交D.相离

【答案】C

【解析】

【分析】由题意可得两个圆的圆心和半径，求出圆心距，根据圆与圆的位置关系分析即可得出结果.

【详解】由题意知，x2+y2+4x-4y+7=0=＞（x+2）2+（y-2）2=l,圆心为（一2,2）,半径为1；

（x—I,+（y—4）2=16,圆心为（1，4）,半径为4,

两圆的圆心距为：79+4=＞/13,又两圆半径之和为5,两圆半径之差为3,

因为3＜旧＜5,所以两圆相交.

故选：C

5.笛卡尔是世界著名的数学家，他因将几何坐标体系公式化而被认为是解析几何之父.据说在他生病卧床

时，还在反复思考一个问题：通过什么样的方法，才能把“点”和“数”联系起来呢？突然，他看见屋顶

角上有一只蜘蛛正在拉丝织网，受其启发建立了笛卡尔坐标系的雏形.在如图所示的空间直角坐标系中，单

位正方体顶点A关于％轴对称的点的坐标是（）

7

A.(―1,—(1,1,1)C.(1,-1,1)D.(—1,—1,—1)

【答案】B

【解析】

【分析】由图写出点A的坐标，然后再利用关于X轴对称的点的性质写出对称点的坐标.

【详解】由图可知，点所以点A关于8轴对称的点的坐标为(LL1).

故选：B.

6.过点(-3,2),且在x轴上截距是在y轴上的截距的2倍的直线方程是()

A,x+2y+l=0B.x+2y+l=0或2x+3y=0

C.x+2y-l=0D.x+2y-l=0或2x+3y=0

【答案】D

【解析】

【分析】根据直线是否过原点进行分类讨论，结合截距式求得直线方程.

2

【详解】当直线过原点时，直线方程为y=-一无，即2x+3y=0.

当直线不过原点时，设直线方程为二+』=1,代入(一3,2)得二+—=1=＞。=一，

2aa2aa2

所以直线方程为x+2y—l=0.

故选：D

7.唐代诗人李顽的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个

有趣的数学问题一一“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回

到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在位置为8(2,4),若将军从点

A(—2,0)处出发，河岸线所在直线方程为x-2y+8=0,则“将军饮马”的最短总路程为()

8

A.警B.10c.10V2D.4A/2

【答案】A

【解析】

【分析】求出点A关于直线的对称点为A',则可得|AB|即为“将军饮马”的最短总路程，求出A'的坐标,

即可求出.

【详解】如图，点A关于直线的对称点为A',则|4川即为“将军饮马”的最短总路程,

a-2八八

--------2x-A+80=0

则《22“22.24

bT,55

------x—=-l

Q+22

22

则2+羽+ly24-44A/65

5

故“将军饮马”的最短总路程为生画

5

故选：A

8.已知圆。:（%—1）2+（丁一2）2=9上存在四个点到直线/：%一丁+人=。的距离等于2,则实数。范围是

()

)衣)

A.(-00,1-5V2D(1+5+00

)

C.(—00,1--\/2)u(1+,\/2,+8D.—V2,1+5/2j

9

【答案】D

【解析】

【分析】根据题意可知，圆心到直线的距离小于1,即求.

【详解】由C:(x—l『+(y—2『=9知圆心C(l,2),半径3,

若圆C:(x—l)?+(y—2『=9上存在四个点到直线/：1-丁+。=0的距离等于2，

则点C到直线=O的距离d<l,

.匕2+耳_-

**,1—yfl<Z?<14-V2-

故选：D.

9.已知圆O：M+y2=4与圆12+,2一2工+4>+4=0相交于48两点，直线/：3x+4y—10=0,

点P在直线/上，点。在圆M上，则下列说法正确的是

①直线AB的方程为x-2y—4=0；②线段A3的长为汉2；③IPQI的最小值是2；④从尸点向圆M引

5

切线，切线长的最小值是2夜

【答案】①③④

【解析】

【分析】对于①，将两圆方程相减，即可得到直线AB的方程，进而判断①是否正确；对于②，根据圆心

到直线的距离公式，利用勾股定理，即可求出结果，进而判断②是否正确；对于③，利用圆心到直线的距

离减半径最小，即可求出结果，进而判断③是否正确；对于④，由勾股定理，可知当PM最小时，切线PN

长的最小值，结合点到直线的距离公式，即可求出结果，进而判断④是否正确.

【详解】对于①，将两圆方程相减，可得直线AB的方程为x—2y—4=0,故①正确；

对于②，由于圆O：/+丁=4的圆心坐标为(0,0),半径为，=2,

Ml4

所以圆心(0,0)到直线A3的距离为"=J।=亍,所以

VI2+22V5

10

=拽，故②错误;

\AB\=2，尸->2=2.

对于③，圆M：x2+y2—2x+4y+4=0,即（x—17+（y+2了=1,所以圆M的圆心坐标为（1，-2）,半

径为「'=1，所以圆心到直线/的距离为“'=喀二£1=3,所以|PQ|的最小值是。'―/=3—1=2,故

732+42

③正确;

对于④，从P点向圆〃引切线，设切点为N,则|PN|=,

所以当PM最小时，切线PN长的最小值，所以当直线尸M垂直/时PM最小，即1PMimin=°'=3,所以

\PN\n.n=二i=2V2.故④正确；

故答案为：①③④.

10.已知直线/过点A（O,3）,且与直线x+y+l=O平行，则/的方程是（）

A.x+y-2=0B.x—y+2-0C.x+y-3-0D.x-y+3=O

【答案】C

【分析】可设直线/的方程为x+y+m=O,将点A的坐标代入直线/的方程，求出，"的值，即可得出直

线/的方程.

【详解】因为直线/与直线x+y+l=O,设直线/的方程为x+y+加=0,

将点A的坐标代入直线/的方程，得3+加=0,解得小=一3,

因此，直线/的方程为x+y-3=0.

故选：C.

11.已知空间向量a=（4+1,24,1）,B=（6,2,2加一1）,若£//B，则实数2+m=

【答案】y

【分析】利用平行列方程，化简求得“，〃进而求得4+m

【详解】空间两向量a=（%,y,Z|）与B=（W，%，Z2）平行，

则满足％%一%2乂=。，%理2—％24=0,y,z2-y2zx=0,

因为£//］，所以£/=0，即2(2+1)=122,22(2m-l)=2,

11

所以2=(,m-3>故2+，〃=£.

故答案为：—

12.如图，正方体ABCD-A与GA的棱长为2,。是底面44cA的中心，E是BC的中点，则向量

，点。到直线4E的距离为.

【答案】①.2五②.1

【解析】

【分析】以。为原点，。4。。，。乌分别为羽丁衣轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法即可求出答案.

【详解】如图，以。为原点，分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如下图所示:

则3(2,2,0),C,(O,2,2),所以1阿卜J(0—2『+(2—2『+(2—0『=20；

又4(2,0,2),0(1,1,2),E(l,2,0),

则V?=(-l,l,0)，4E=(-l,2,-2),

/T7)~A~P\\O-\E1+25/2

则3质。型)=画丽=万丽=『

又＜4^,胡＞«0,句，所以sin(而，整)=乎，

12

所以点0到直线A|E的距离为|丽卜缶（40,襦）=&又等=1.

故答案为：1.

22

13.一个圆经过椭圆L+工-=1的三个顶点，且圆心在X轴的正半轴上，则该圆的标准方程为

164

【答案】口一尹+/弓

【解析】

3

【详解】设圆心为（4,0）,则半径为4一。，则（4—4）2="+22,解得故圆的方程为

考点：椭圆的几何性质；圆的标准方程

14.化学中，将构成粒子（原子、离子或分子）在空间按一定规律呈周期性重复排列构成的固体物质称为

晶体.在结构化学中，可将晶体结构截分为一个个包含等同内容的基本单位，这个基本单位叫做晶胞.已知

钙、钛、氧可以形成如图所示的立方体晶胞（其中77原子位于晶胞的中心，Ga原子均在顶点位置，。原

子位于棱的中点）.则图中原子连线B/与瓦E所成角的余弦值为

【答案】:

3

【分析】如图所示，以。为坐标原点，。4,£>。,。2所在的直线分别为乂丁*轴，建立直角坐标系，设立

方体的棱长为。，求出cos<XR，耶〉的值，即可得到答案；

【详解】如图所示，以。为坐标原点，。，4,。。,。9所在的直线分别为乂，*轴，建立直角坐标系，设立

13

方体的棱长为a,则B(a,a,0),F(0,g,a),Bt(a,a,a),E(a,^,a),

/.BF=(-a,--,a),B,E=(0,--,0),

22

a2

•••cos＜瓯庭＞=|4户=：,连线BF与所成角的余弦值为'故答案为：-

333

15.直线丁=左(％-2)+4,则直线/恒过定点一，与曲线y=i+,4-4仅有一个公共点,则实数的人的

取值范围是

②.E，+8)U

【答案】①.(2,4)

【分析】根据直线点斜式方程求出定点，题中曲线为半圆，数形结合判断直线与它的交点个数，进而得到

发的范围.

【详解】解：直线丁=我(工一2)+4恒过点(2,4).

由题知曲线y=l+j4-V即f+(y—l)2=4,表示以(0,1)为圆心，2为半径的半圆，该半圆位于直线

因为直线与曲线只有一个交点,

14

由圆心到直线的距离等于半径得隼芋=2,解得k=9，

,1+二12

4-13

由图，当直线经过点(—2,1)时，直线的斜率为.

2—(—2)4

当直线经过点(2,1)时，直线的斜率不存在，

综上，实数攵的取值范围是女=5二，或左＞3巳，

124

故答案为：(2,4)；(''Tsju｛卷｝

四、解答题

16.已知直线4：2x-y—1=0和《：》一丁+2=0的交点为p,求：

(1)过点尸且与直线4：3x+y-2=0垂直的直线I的方程；

(2)以点P为圆心，且与直线3x+4y+l=0相交所得弦长为蓝的圆的方程；

(3)从下面①②两个问题中选一个作答，

9

①若直线/过点(1,2),且与两坐标轴的正半轴所围成的三角形面积为一，求直线/的方程.

2

②求圆心在直线3x-y=0上，与x轴相切，被直线x-y=0截得的弦长2s的圆的方程.

注：如果选择两个问题分别作答，按第一个计分.

【答案】(1)x-3y+12=0

(2)(x-3)2+(y-5)2=~^-

(3)①x+y-3=0或4x+y-6=0；0(x-l)2+(y-3)2=9^(x+l)2+(y+3)2=9

【解析】

【分析】(1)联立两直线方程求出交点已根据两直线垂直，斜率相乘等于一1得直线斜率，即可根据直线

点斜式方程求得直线方程；

(2)根据垂径定理求圆的弦长，列出方程解答；

(3)①：用截距式方程求解；②：由直线和圆的位置关系和圆的弦长公式求解.

【小问1详解】

15

2x-y-l=0x=3

由，\c八，解得：1fP（3,5）,

x-y+2=0b=5

,11

与4垂直，.•./的斜率上=一1=§,

故过点尸且与直线4：3无+y-2=0垂直的直线/的方程为y—5=gx(x—3),

即x-3y+12=0；

【小问2详解】

19+20+11

P(3,5)到直线3》+4丫+1=0的距离为1==6

>/32+42

12

，半径户=/+(1_)2=62+(；,936

~^5

936

...圆的方程为。-3)2+0-5)2

~25

【小问3详解】

9

①设过点(1,2)且与两坐标轴正半轴围成三角形面积为一的直线的斜率为A,k<0,

2

可得它的方程为y_2=©x-l),即依_y_4+2=0,

k-2

它与两个坐标轴的交点分别为(0,2-A),(——,0),

K

Ib-29

由一・(2—左)《~--=彳可得女=-1或左=—4，

2k2

当人=一1时，它的方程为x+y-3=0；

当左=-4时，4x+y-6=0

综上所述，直线/的方程为：x+y-3=0或4x+y-6=0

②设圆心为(a,3a),与x轴相切则厂=|3aI,

圆心到直线的距离为d=啜，；.(手)2+乎=9".・.4=±1,r=3.1圆心为(1,3)或(T,-3)

.••圆的方程为(x_l)2+(y_3)2=9或(x+l)2+(y+3)2=9.

16

17.如图，三棱柱ABC-中，M,N分别是上的点，且3M=2AM,qN=2与N.设

AB—a>AC=b>AAj=c.

（1）试用a，h>c表示向量MN；

（2）ZBAC=90°,=ZCAA,=60°,AB=AC=AA,=1求MN的长.

（3）在（2）的条件下，求MN与48所成角的余弦值.

【答案】（DMN=-a+-b+-c（2）叵（3）一旦

3333一而

【分析】（1）利用空间向量的线性运算即可求解.

（2）根据空间向量的数量积以及向量模的求法即可求解.

（3）在（2）的条件，利用向量的夹角公式即可求出结果.

【小问1详解】

解：⑴=++QV

1—._2_

--BA{+AC+—CB

=_那+;福+正+|（正码

=-AB+-AA+-AC,

33’3

又AB=a，AC=b（AA|=c>MN=—a+—b+—c.

【小问2详解】

解：•.♦AB=AC=A4）=1,；.W=W=H=1.

•••N84C=90°,二£%=0.=60°,

17

——\2]/—a2+h~+c+2a•/?+2a•c+2力•c)=-,=旦

...网货Q+/?+C)=—

3

【小问3详解】

解：：48=44+g8=5—5

22

•••|布|=加一司2=J<'a+c-2a-c=J1+1—2xg=1

y.MN=—a+—b+—c

333

i-i厂i-1

-a+-b+-c(a-c)

333

cM丽科二箴篇.410.

——xl

3T

18.在如图所示的几何体中，四边形ABC。为矩形，直线AF_L平面ABC。，EF//AB,AQ=2,

AB=AF=2EF=l^点户在棱。产上.

(1)求证：AD±BF；

(2)若一是OF的中点，求异面直线3E与CP所成角的余弦值；

(3)若丽=1而，求二面角。一AP—C的余弦值.

3

【答案】(1)证明见解析；(2)生5；(3)旦.

153

【解析】

【分析】(D先推导出Af_LAr),AD1.AB，从而A£>J_平面他防，即可证明

(2)以4为坐标原点，AB,AD,AE所在直线分别为x,y,z轴建立如图的空间直角坐标系.利用向

量法求解即可；

18

(3)利用向量法求解即可

【详解】(1)平面ABC。，

:.AF1AD，

\AD±AB,AFoAB^A,

.•.49,平面ABEF,

又•；BFu平面4肥产，

：.AD±BF.

(2)-.-AF±AB，AF1AD，AD±AB^

以｛为坐标原点，AB，AD，所在

直线分别为x,y，z轴建立如图的空间直角坐标系.

则6(1,0,0),*，0』［，心,1,；)，C(l，2,0)，

2

设异面直线3E与CP所成的角为。,

\BE-CP\475

/.cos0=-.―.---------

\BE\\CP\15

•••异面直线BE与CP所成角的余弦值为生叵

15

(3)QAB_L平面ADE，二平面A£>/一个法向量为，=(1,0,0).

•.•可=g而，.•.点P为ED的三等分点且此时尸(°，g，|

___/221

在平面APC中，丽=0,-,-,麻?=(1,2,0).

\33)

_2y+2z=0

y=-z

设平面APC的一个法向量为4=(x,y,z),贝叫33，所以《

x=-2yf

x+2y=0

-I网,〃2瓜

令z=-l，则区=(一2,1,-1).，卜05<，,个卜丽一