2021年中考数学真题分类汇编：34函数与几何综合问题

2021年中考数学真题分类汇编：专题34函数与几何综合问题

一、解答题

3

1.(2021.浙江中考真题)在平面直角坐标系中，点A的坐标为(一夜5,0),点8在直线/:y=上，过点

8

8作A8的垂线，过原点。作直线/的垂线，两垂线相交于点C.

(1)如图，点8,C分别在第三、二象限内，BC与AO相交于点。.

①若BA=BO,求证：CD=CO.

②若NC8O=45°,求四边形ABOC的面积.

(2)是否存在点8,使得以A,5,C为顶点的三角形与ABCO相似？若存在，求08的长；若不存在，请

说明理由.

2.(2021•浙江中考真题)如图，在平面直角坐标系中，0M经过原点。，分别交x轴、y轴于4(2,0),3(0,8),

连结A8.直线CM分别交0M于点。，E(点。在左侧)，交》轴于点。(17,0),连结AE.

(1)求的半径和直线CM的函数表达式.

(2)求点。，E的坐标.

(3)点P在线段AC上，连结PE.当N4EP与AOBD的一个内角相等时，求所有满足条件的OP的长.

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4

3.(2021•黑龙江中考真题)如图，一次函数y=丘+匕的图象与丁轴的正半轴交于点A,与反比例函数丁=一

的图像交于P,。两点.以AD为边作正方形ABCD，点3落在X轴的负半轴上，已知乙台。。的面积与

△AO8的面积之比为1:4.

(1)求一次函数y=&-+6的表达式：

(2)求点P的坐标及△CPD外接圆半径的长.

4.(2021•江苏中考真题)已知四边形ABC。是边长为1的正方形，点E是射线3。上的动点，以AE为直

角边在直线8C的上方作等腰直角三角形AEE，尸=90。，设BE=m.

（图1）(备用图)

(1)如图1,若点E在线段上运动，EF交CD于点P,A尸交CO于点。，连结CE,

①当机=g时，求线段CF的长；

②在VPQEC中，设边QE上的高为"，请用含胆的代数式表示/?,并求人的最大值；

(2)设过BC的中点且垂直于3C的直线被等腰直角三角形AEF截得的线段长为y,请直接写出y与，”的

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关系式.

5.（2021.江苏中考真题）在平面直角坐标系宜刀中，对于A、4两点,若在），轴上存在点7,使得NAm'=90°，

且7X=Z4'，则称A、两点互相关联，把其中一个点叫做另一个点的关联点.已知点M（—2,0）、N（—1,0）,

点。（加,〃）在一次函数y=-2x+l的图像上.

⑴①如图，在点3（2,0）、C（0,-1）、。（一2,-2）中，点M的关联点是（填“8”、成“D”）；

②若在线段MN上存在点P（U）的关联点P',则点P'的坐标是；

（2）若在线段MN上存在点。的关联点Q',求实数，然的取值范围；

（3）分别以点石（4,2）、。为圆心，1为半径作OE、QQ.若对G）E上的任意一点G,在。。上总存在

点、G',使得G、G'两点互相关联，请直接写出点Q的坐标.

（备用图）

6.（2021.广东中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线/：y=gx+4分别与x轴，y轴相交于A、

8两点，点P（x,y）为直线/在第二象限的点

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(1)求A、B两点的坐标；

(2)设ABAO的面积为S,求S关于x的函数解析式：并写出x的取值范围；

(3)作APAO的外接圆。C,延长尸C交。C于点Q,当△POQ的面积最小时，求OC的半径.

7.(2021.广西梧州市.中考真题)如图,在平面直角坐标系中，抛物线y=/+点+c经过点4(-1,0),8(0,

3),顶点为C.平移此抛物线，得到一条新的抛物线，且新抛物线上的点。(3,-1)为原抛物线上点A

的对应点，新抛物线顶点为E,它与y轴交于点G,连接CG,EG,CE.

(1)求原抛物线对应的函数表达式；

(2)在原抛物线或新抛物线上找一点儿使以点C,E,F,G为顶点的四边形是平行四边形，并求出点尸

的坐标；

(3)若点K是)，轴上的一个动点，且在点2的上方，过点K作CE的平行线，分别交两条抛物线于点M,

N,且点M,N分别在y轴的两侧，当MN=CE时，请直接写出点K的坐标.

33

8.(2021.四川中考真题)如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数丫=一*+—的图象与反比例函数

42

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y=；("0)的图象相交于点A(a,3),与x轴相交于点B.

(1)求反比例函数的表达式；

(2)过点A的直线交反比例函数的图象于另一点C,交X轴正半轴于点£>,当△A8O是以BO为底的等

腰三角形时，求直线AO的函数表达式及点C的坐标.

9.(2021•湖南中考真题)如图所示，在平面直角坐标系。孙中，一次函数y=2x的图像/与函数

k

y=、(Z>0,x>0)的图像(记为「)交于点A,过点A作ABLy轴于点5,且AB=1,点。在线段08

上(不含端点)，且。。=1,过点C作直线4//x轴，交/于点。，交图像「于点£.

(1)求k的值，并且用含f的式子表示点。的横坐标;

(2)连接OE、BE、AE，记△OBE、的面积分别为H、邑，设U=S「S2,求U的最大值.

10.(2021•江苏中考真题)如图，在平面直角坐标系中.四边形Q4BC为矩形，点C、A分别在％轴和丁轴

的正半轴上，点。为AB的中点已知实数人。0,一次函数y=-3x+左的图像经过点C、D，反比例函数

k

y=：(x>o)的图像经过点5,求女的值.

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y

11.（2021•山东中考真题）如图，在平面直角坐标系中，矩形。43C的两边OC、OA分别在坐标轴上，且

Q4=2,OC=4,连接08.反比例函数y=&（尤>0）的图象经过线段03的中点。，并与A3、BC

x

分别交于点E、F.一次函数y=&x+b的图象经过E、F两点.

（1）分别求出一次函数和反比例函数的表达式；

（2）点P是x轴上一动点，当PE+P产的值最小时，点P的坐标为.

12.（2021•广西中考真题）如图①，在△MC中，ADLBC于点。，18c=14,A£>=8,BD=6点、E

是A£>上一动点（不与点A,。重合），在AAOC内作矩形点F在。。上，点G,”在AC上，

设£>E=x,连接3E.

（1）当矩形EFGB是正方形时，直接写出EE的长;

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s

（2）设八48£的面积为5,矩形EFG”的面积为邑，令丫=在，求y关于%的函数解析式（不要求写

出自变量X的取值范围）；

（3）如图②，点P（a,»是（2）中得到的函数图象上的任意一点，过点尸的直线/分别与x轴正半轴，丁轴

正半轴交于M，N两点，求AOMN面积的最小值，并说明理由.

13.（2021•江苏中考真题）通过构造恰当的图形，可以对线段长度、图形面积大小等进行比较，直观地得到

一些不等关系或最值，这是“数形结合”思想的典型应用.

（理解）

（1）如图1,AC±BC,CD±AB,垂足分别为C、D,E是AB的中点，连接CE.已知AO=a,

BD-b（O<a<b）.

①分别求线段CE、8的长（用含。、〃的代数式表示）；

②比较大小：CECD（填或">”），并用含。、匕的代数式表示该大小关系.

（应用）

（2）如图2,在平面直角坐标系中，点在反比例函数y=」（x>0）的图像上，横坐标分别为孙

„11「，1

n,设L〃=加+凡4=一+一,记I=—pq.

mn4

①当机=1,〃=2时，I=；当机=3,〃=3时，1=；

②通过归纳猜想，可得/的最小值是.请利用图2构造恰当的图形，并说明你的猜想成立.

14.（2021•四川中考真题）已知反比例函数y=-的图象经过点42,3）.

x

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(2)如图，在反比例函数y='的图象上点A的右侧取点C,作轴于H,过点4作y轴的垂线AG

x

交直线C”于点。.

①过点A,点C分别作x轴，y轴的垂线，交于8,垂足分别为为尸、E,连结08,BD,求证：0,B,D

三点共线；

②若AC=204,求证：』A0D=2/D0H.

15.(2021•内蒙古中考真题)如图，矩形A5CD的两边AB,8c的长分别为3,8,C,。在y轴上，E是AO

k

的中点，反比例函数丁=一住工0)的图象经过点E,与BC交于点F,且CF-BE=1.

(1)求反比例函数的解析式；

2

(2)在y轴上找一点P,使得S.CEP=-S矩形A8C0，求此时点P的坐标.

16.(2021•湖南中考真题)如图，抛物线广加+桁+2经过A(—1,0),3(4,0)两点，与V轴交于点C,

连接BC.

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图I图2图3

（1）求该抛物线的函数表达式；

（2）如图2,直线/：y=Ax+3经过点A,点p为直线/上的一个动点，且位于x轴的上方，点。为抛物

线上的一个动点，当轴时，作交抛物线于点〃（点M在点。的右侧），以P。，QM

为邻边构造矩形PQMN,求该矩形周长的最小值；

（3）如图3,设抛物线的顶点为。，在（2）的条件下，当矩形PQMN的周长取最小值时，抛物线上是否

存在点F，使得NCM=NOQM?若存在，请求出点尸的坐标；若不存在，请说明理由.

17.（2021.湖北中考真题）抛物线y=交x轴于A,B两点、（A在3的左边）.

（1）oACDE的顶点C在丁轴的正半轴上，顶点E在丁轴右侧的抛物线上.

①如图（1）,若点。的坐标是（0,3）,点E的横坐标是5,直接写出点A,。的坐标；

②如图（2）,若点。在抛物线上，且oACDE的面积是12,求点E的坐标；

（2）如图（3）,F是原点。关于抛物线顶点的对称点，不平行y轴的直线/分别交线段AF，BF（不含

端点）于G,H两点，若直线/与抛物线只有一个公共点，求证RG+F"的值是定值.

18.（2021・湖南中考真题）已知二次函数y="2+Zzr+c（a>0）.

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（1）若。=,，b=c=—2,求方程ox?+fex+c=O的根的判别式的值；

2

（2）如图所示，该二次函数的图像与x轴交于点4（石,0）、B（x,,0）,且西＜0＜々，与y轴的负半轴交

b

于点C,点D在线段0C上，连接AC、BD,满足ZACO=ZABD,一一+c=X].

a

①求证：AAOC*DOB；

②连接BC,过点D作。ELBC于点E,点/（0,王一马）在y轴的负半轴上，连接AF,且

ZACO=ZCAF+ZCBD,求£的值.

再

19.（2021•内蒙古中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-f+4%经过坐标原点，与x轴正半

轴交于点A,点M（九〃）是抛物线上一动点.

（1）如图1,当初＞0,〃＞0,且〃=3加时，

①求点M的坐标：

②若点在该抛物线上，连接。M,BM,C是线段上一动点（点C与点M,B不重合），过点

C作CD//MO,交x轴于点。，线段0力与MC是否相等？请说明理由；

（2）如图2,该抛物线的对称轴交x轴于点K,点在对称轴上，当机＞2,〃＞0,且直线EM交

x轴的负半轴于点F时，过点A作x轴的垂线,交直线EM于点、N,G为y轴上一点，点G的坐标为（0,巧],

连接GF.若EF+NF=2MF,求证：射线FE平分NAFG.

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图1图2

20.（湖南省永州市2021年中考真题数学试卷）已知关于x的二次函数月=x2+H+C（实数6c为常数）.

（1）若二次函数的图象经过点（0,4）,对称轴为％=1,求此二次函数的表达式；

（2）若/-c=o，当匕一3WXWZ?时，二次函数的最小值为21,求6的值；

（3）记关于x的二次函数%=2/+%+帆，若在（1）的条件下，当04x41时，总有必之凹，求实数

m的最小值.

21.（2021•四川中考真题）如图，抛物线y=ar2+云+C（QHO）与x轴交于A、8两点，与y轴交于C点，

AC=V10，OB=OC=3OA.

（2）在第二象限内的抛物线上确定一点P,使四边形PBAC的面积最大.求出点P的坐标

（3）在（2）的结论下，点M为x轴上一动点，抛物线上是否存在一点Q.使点尸、B、M、。为顶点的四

边形是平行四边形，若存在.请直接写出。点的坐标；若不存在，请说明理由.

22.（四川省资阳市2021年中考数学试卷）抛物线y=--+云+。与x轴交于4、8两点，与y轴交于点C,

且3（T0）,C（0,3）.

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图1图2

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图1,点P是抛物线上位于直线4。上方的一点，BP与AC相交于点E,当PE:BE=1:2时，

求点P的坐标；

（3）如图2,点。是抛物线的顶点，将抛物线沿CO方向平移，使点。落在点。，处，且OO'=2CD,点

M是平移后所得抛物线上位于左侧的一点，出//丁轴交直线。。'于点凶连结CN.当屿D'N+CN

5

的值最小时，求M/V的长.

23.（2021・黑龙江中考真题）如图，抛物线y=62+以+c与％轴交于除原点。和点A,且其顶点8关于工

轴的对称点坐标为（2,1）.

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）抛物线的对称轴上存在定点尸，使得抛物线丁=以2+区+。上的任意一点G到定点厂的距离与点G

到直线y=-2的距离总相等.

①证明上述结论并求出点F的坐标；

②过点尸的直线/与抛物线y=oc2+加+。交于M,N两点.证明：当直线/绕点/旋转时，」一+」一是

MFNF

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定值，并求出该定值；

(3)点C(3,〃。是该抛物线上的一点，在X轴，y轴上分别找点P,Q,使四边形PQBC周长最小，直接

写出P,Q的坐标.

24.(2021.湖北中考真题)在平面直角坐标系中，抛物线乂=-(x+4)(x—〃)与x轴交于点A和点

5(/1,0)(/1>-4),顶点坐标记为(九温).抛物线为=—(X+2〃)2-/+2”+9的顶点坐标记为他,3・

YA

----------------O-----------------

(1)写出A点坐标；

(2)求占，内的值(用含〃的代数式表示)；

(3)当时，探究尢与网的大小关系；

(4)经过点M(2〃+9,—5川)和点N(2〃,9—5/2)的直线与抛物线y=-(x+4)(x-〃)，

%=—(x+2“)2—/+2〃+9的公共点恰好为3个不同点时，求”的值.

1,

25.(2021•山西中考真题)如图，抛物线丁=万厂+2x-6与x轴交于A,B两点(点A在点3的左侧),

与丁轴交于点C,连接AC,BC.

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(1)求A,B,C三点的坐标并直接写出直线AC,8c的函数表达式；

(2)点P是直线AC下方抛物线上的一个动点，过点尸作8C的平行线/,交线段AC于点。.

①试探究：在直线/上是否存在点E，使得以点。，C,B,E为顶点的四边形为菱形，若存在，求出点E

的坐标；若不存在，请说明理由；

②设抛物线的对称轴与直线/交于点M，与直线AC交于点N.当S&DMN=Som时，请直接写出DM的

长.

26.(2021.湖南中考真题)在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标相等，则称该点为“雁点例

如(1,1),(2021,2021)……都是“雁点”.

4

(1)求函数y=一图象上的“雁点”坐标；

x

(2)若抛物线丫=。12+5尤+。上有且只有一个“雁点”4该抛物线与x轴交于M、N两点(点M在点N

的左侧).当4>1时.

①求C,的取值范围；

②求NEMN的度数；

(3)如图,抛物线y=f：2+2x+3与x轴交于A、B两点(点A在点8的左侧),P是抛物线丁=一/+2彳+3

上一点，连接6P，以点P为直角顶点,构造等腰次△3PC,是否存在点P,使点C恰好为“雁点”？若存

在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

27.(2021・湖南中考真题)如图，在平面直角坐标系xOy中，平行四边形ABCO的AB边与y轴交于E点,

尸是AD的中点，B、C、。的坐标分别为(一2,0),(8,0),03,10).

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(2)试判断抛物线的顶点是否在直线瓦■上；

(3)设过厂与AB平行的直线交y轴于Q，M是线段EQ之间的动点，射线8M与抛物线交于另一点P，

当△PBQ的面积最大时，求P的坐标.

28.(2021•湖南中考真题)如图所示，抛物线与x轴交于A、8两点，与y轴交于点C,且。4=2,03=4,

OC=8,抛物线的对称轴与直线BC交于点M,与x轴交于点N.

(1)求抛物线的解析式；

(2)若点尸是对称轴上的一个动点，是否存在以P、C、M为顶点的三角形与AMVB相似？若存在，求出

点P的坐标，若不存在，请说明理由.

(3)。为CO的中点，一个动点G从。点出发，先到达x轴上的点E,再走到抛物线对称轴上的点F,最

后返回到点C.要使动点G走过的路程最短，请找出点E、尸的位置，写出坐标，并求出最短路程.

(4)点。是抛物线上位于x轴上方的一点，点R在x轴上,是否存在以点Q为直角顶点的等腰心△CQR?

若存在，求出点。的坐标，若不存在，请说明理由.

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29.（2021•甘肃中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=//+法+。与坐标轴交于

A（0,—2）,B（4,0）两点，直线BC:y=-2x+8交y轴于点C.点。为直线下方抛物线上一动点，过

点。作x轴的垂线，垂足为G,DG分别交直线BC,A8于点E,F.

1,

（1）求抛物线丁=]r+法+。的表达式；

（2）当GF=L,连接BD，求△3。厂的面积；

2

（3）①，是y轴上一点，当四边形BE”尸是矩形时，求点”的坐标；

②在①的条件下，第一象限有一动点P，满足PH=PC+2,求△尸切5周长的最小值.

30.（2021・湖南中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线C：尸/+法+《"0）经过点（1,1）和（4,1）.

（1）求抛物线C的对称轴.

（2）当。=-1时，将抛物线C向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得到抛物线

①求抛物线G的解析式.

②设抛物线G与无轴交于A,B两点（点A在点3的右侧），与y轴交于点C,连接BC.点。为第一象

限内抛物线G上一动点，过点。作。£_L于点E.设点D的横坐标为机.是否存在点。，使得以点。，

D,E为顶点的三角形与ABOC相似，若存在，求出加的值；若不存在，请说明理由.

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31.(2021•江苏中考真题)如图，二次函数y=d-(加+l)x+”?(加是实数，且一1＜加＜0)的图像与x

轴交于A、B两点(点A在点8的左侧)，其对称轴与x轴交于点。，已知点。位于第一象限，且在对称

轴上，ODJ.BO,点七在％轴的正半轴上，OC=EC.连接ED并延长交了轴于点尸，连接Ab.

(1)求A、B、。三点的坐标(用数字或含加的式子表示)；

12

(2)已知点。在抛物线的对称轴上，当△AEQ的周长的最小值等于不，求加的值.

32.(2021・贵州中考真题)如图，抛物线产公2_2%+《0。0)与x轴交于A、B(3,0)两点，与丁轴交

于点C(0,—3),抛物线的顶点为。.

(I)求抛物线的解析式；

(2)点P在抛物线的对称轴上，点。在％轴上，若以点P、Q、B、C为顶点，8C为边的四边形为平行四

边形，请直接写出点P、。的坐标；

(3)己知点M是x轴上的动点，过点M作x的垂线交抛物线于点G,是否存在这样的点使得以点A、

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M、G为顶点的三角形与△BCD相似，若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.

33.（山东省淄博市2021年中考数学试题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线

丁=一3/+一以+5（川〉0）与x轴交于A（-l,0）,3（租,0）两点，与丁轴交于点C，连接BC.

（1）若OC=2Q4,求抛物线对应的函数表达式：

（2）在（1）的条件下，点P位于直线上方的抛物线上，当APBC面积最大时，求点P的坐标；

（3）设直线y=；x+b与抛物线交于B,G两点，问是否存在点石（在抛物线上）.点尸（在抛物线的对称

轴上），使得以B,G,旦尸为顶点的四边形成为矩形？若存在，求出点E,尸的坐标；若不存在，说明理由.

34.（2021.四川中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=-〃J+左与x轴相交于O,A

两点，顶点P的坐标为（2,-1）.点8为抛物线上一动点，连接ARAB,过点B的直线与抛物线交于另一

点C.

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(1)求抛物线的函数表达式；

(2)若点B的横坐标与纵坐标相等，ZABC=ZOAP,且点C位于x轴上方，求点C的坐标；

(3)若点B的横坐标为，，ZABC=90°,请用含/的代数式表示点C的横坐标，并求出当，<0时，点C

的横坐标的取值范围.

35.(2021•湖北中考真题)如图1,己知NRPQ=45。，△A3C中NAC5=90°,动点尸从点4出发，以

2J5cm/s的速度在线段AC上向点C运动，分别与射线AB交于E,尸两点，且庄_L