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文档简介
专题03多解题型
分类讨论的数学思想是初中数学考察的重点思想,也是考试中一大难点,同
学们需要根据题意考虑不同的情况,进行解题.
模块一:代数相关的分类讨论
例i.(1)倒数等于它本身的数是,平方等于它本身的数是;
(2)在数轴上到原点距离为3的点表示的数是;
(3)绝对值等于2的数是;
5—
(4)"石的平方根是.
【难度】★
【答案】(1)±1,0和1;(2)±3:(3)±-;(4)±2.
5
【解析】根据倒数、平方、绝对值、平方根的含义和性质,结合题意分析即可.
【总结】本题考查了倒数、绝对值、平方根等概念,掌握和理解相关概念是做题的关键.
例2,已知2幺一奴+?是一个完全平方式,贝Ija二.
2
【难度】★★
【答案】±6.
【解析】由题知△="—4ac=a。—36=0,a=±6.
【总结】本题考查了完全平方公式.
2
r-5Y-14
例3.已知分式)》的值为0,则x=______.
%—2
【难度】★★
【答案】7或—2.
r2_5v-]4=O
【解析】由题意得,解得:&=7,X2=-2.
x-2^0
【总结】本题考查了分式值为。的条件,注意分母不能为零.
例4.已知关于工的方程依2+2依+1=/+3X-4有实数根,则立的取值范围为—
【难度】★★
【答案】
12
【解析】原方程可化为优-l)d+(2”3)“十%+1=0,
当%-1=0,即上=1时,x=2;
,13
当A-IwO,A=(21-3)-4伏-1)(3+1)=-12左+1310,解得:k<—Hk^\,
综上可得
12
【总结】本题考查了含字母系数的方程,注意分成一次方程及二次方程讨论.
例5.已知直线y=依与x轴的夹角为30°,则左=.
【难度】★★
【答案】土g
【解析】当直线y=履与X轴的正半轴夹角为30°,可知人=*;
当直线y=丘与x轴的负半轴夹角为30°,可知%=-乎;.•.综上可知”=土#.
【总结】本题考查了正比例函数左与x轴夹角之间的关系.
例6.直线y=-2x+l上到x轴与y轴距离相等的点的坐标是一
【难度】★★
【答案】或(1,-1).
【解析】设点的坐标为(x,-2x+l),
则由题意,得:x=—2x+1或—x=—2x+1,解得:x=,或x=l,
3
.••点的坐标为或(1,-1).
【总结】本题考查了点的坐标的特点,注意坐标与距离的转化.
例7.己知二次函数y=/-6x+c的图像顶点到x轴的距离为5,则。=—.
【难度】★★
【答案】14或4.
【解析】二次函数顶点坐标为(3,-9+c),••.卜9+d=5,解得:q=14,C2=4.
【总结】本题考查了二次函数顶点坐标公式,及坐标与距离的关系.
模块二:图形表述的不确定性引发的讨论
例1.已知等腰三角形的两边长分别为3和5,那么这个三角形的周长为.
【难度】★
【答案】11或13.
【解析】当3为腰、5为底时,周长为11;当5为腰、3为底时,周长为13.
【总结】本题考查了等腰三角形的分类讨论,注意要考虑三角形的存在性问题.
例2.已知等腰三角形中一个内角为40°,那么这个三角形的底角为.
【难度】★
【答案】40。或70。.
【解析】当40。为底角时,三角形的底角为40。;当40。为顶角时,三角形的底角为70。.
【总结】本题考查了等腰三角形的分类讨论.
例3.两边长为6和8的直角三角形的斜边上的中线的长是.
【难度】★★
【答案】5或4.
【解析】当6和8为直角三角形的直角边时,边为10,.•.斜边上的中线的长是5;
当8为直角三角形的斜边时,斜边上的中线的长是4.
【总结】本题考查了勾股定理及直角三角形的性质,注意分类讨论.
例4.已知MBC中,NA=40。,AB、4。边上的高所在的直线交于点H,则NBHC=
【难度】★★
【答案】140°或40°.
【解析】如图1,当A48c为锐角三角形时,由题意可知:ZBHE=ZA=40°,
:.ZBHC=180°-ZBHE=180°-40°=140°;
如图2,当A4BC为钝角三角形时,山题意可知:N8"C=NA=40。,
NB”C=140°或40°.
AA
图1图2
【总结】本题考查了直角三角形的性质,注意有关高的题型要分内高和外高之分.
例5.在44BC中,AB=5,AC=8,NC=30。,则A4BC的面积为
【难度】★★
【答案】86-6或8百+6.
【解析】如图1,山题意可得AH=4,CH=4y/3,BH=3,
S
,MBC=^CBAW=^x(4>/3-3)x4=8>/3-6:
如图2,AH=4,CH=4>/3,BH=3,
:.S"BC=g-C8.A〃=gx1百+3b4=8百+6.
综上,AABC的面积为84-6或86+6.
【总结】本题考查了三角形的面积公式及宜角三角形的性质.
例6.平行四边形的一角的角平分线分一边长为3cm和4cm两部分,则这个平行四边形的周
长为.
【难度】★★
【答案】20cm或22cm.
【解析】如图,易得A4BE是等腰三角形,
当AE=3,£>E=4时,
平行四边形周长为(3+3+4)x2=20;
当隹=4,OE=3时,
平行四边形周长为(4+4+3)x2=22,
,平行四边形的周长为20cm或22cm.
【总结】本题考查了平行四边形及等腰三角形之间的性质.
例7.如果直角梯形的一条底边长为7厘米,两腰长分别为8厘米和10厘米,那么这个梯形
的面积是_____平方厘米.
【难度】★★
【答案】80或32.
【解析】如图1,由题意可知HC=6,8C=13,
/.SAKI)=1(AT>+BC)£>W=1x(7+13)x8=8O:
如图2,由题意可知”C=6,二BC=1,
•••S叩=;(仞+8C)C"=;"(7+1)X8=32,
综上,梯形面积为80或32平方厘米.
【总结】本题考查了勾股定理及梯形面积的计算.
图1
图2
例8.已知点46的坐标分别为(2,2),(5,1),点C在x轴上,若AA8C为等腰三角形,
则点,的坐标为.
【难度】★★★
【答案】(2+々,0)或(2-遍,0)或(2,0)或(8,0)或(3,0).
【解析】设C点坐标为(“,0),
由题意得48=JT5,AC=2—4/%+8,BC-《后-10m+26,
当A8=A。时,即加=,62一4加+8,解得:町=2+通,加2=2—灰;
BA-BClb]',HPy/10=nr—10/??+26>解得:zn,=2>砥=8:
当CA=CB时,即V/M2-4/H+8=V/n2-10/n+26,解得:叫=3,
.,.点「的坐标为(2+n,0)或(2-6,0)或(2,0)或(8,0)或(3,0).
【总结】本题考查了等腰上角形的分类讨论,主要利用两点间的距离公式.
例9..(2020崇明区一模)如图,在RfAABC中,ZC=90°,A3=10,AC=8,点。
是AC的中点,点E在边A3上,将"OE沿。E翻折,使得点4落在点A处,当
A'E1AB时,那么4A的长为.
【答案】-V2或1&
【分析】分两种情形分别求解,作DFJ_AB于F,连接AAJ想办法求出AE,利用等腰直
角三角形的性质求出AA,即可.
【详解】如图,作DFLAB于F,连接AA—
D
在RtZXACB中,BC=7AB2-AC2=6,
VZDAF=ZBAC,ZAFD=ZC=90°,
.•.△AFDs^ACB,
.DFADAF
,BC-AB-AC
.DF_4_AF
••—―,
6108
1216
,DF=—,AF=—,
55
:A,E_LAB,
.•.NAEA,=90。,
由翻折不变性可知:/AED=45。,
12
EF=DF=—,
5
121628
..AE=A'E=----1=—,
555
28rr
AAA^—V2,
161244I—
如图,作DF_LAB于F,当EA,_LAB时,同法可得AE=《彳=二,AA,=J]AE=.
故答案为告庭或*J5.
【点睛】本题考查翻折变换,相似三角形的判定和性质,解直角三角形等知识,解题的关键
是学会添加常用辅助线,构造直角三角形解决问题,属于中考填空题中的压轴题.
例10.(2020浦东新区一模)在R/A48c中,NC=90°,AC=2,BC=4,点£>、E分别
是边BC、A8的中点,耨ABDE绕着点B旋转,点。、E旋转后的对应点分别为点
D\E',当直线。经过点A时,线段C。'的长为
【答案】2小或三亚
【分析】当直线。经过点A时,有两种情况,均用三点共线特征及勾股定理求出AE长
为5或3,采用两边对应成比例且夹角相等证得△CBD'saABE,,利用相似三角形对应边
成比例求解.
【详解】解:在Rt^ACB中,NC=90°,4C=2,BC=4,
由勾股定理得,AB=JAC?+BO?=物+42=2石.
:。、E分别是边BC、A8的中点,
.••DE是4ACB的中位线,BD=2,BE=^5,
;.DE〃AC,DE=-AC=1
2
.,.ZEDB=90°,
由旋转可得,BD=2,D'E'=1,BE'=6,ZBDE=90°,
第一种情况,如图1,
•••点A,D-,E'三点共线,
ZADB=90°,
由勾股定理得AD'=,452-BD〃=42J5)-2~=49
...AE'=AD'+D'E'=5
NABC=ND'BE',
工ZCBD=ZABE;
,,BC_BD_2
.♦.△CBD'SAABE',
CD'_2
,・而—后
CD'2
,丁正
ACD=275
第二种情况,如图2,
如图2D'
•.•点A,D',E'三点共线,
.'.ZAD'B=90°,
由勾股定理得AD'=JAB?-BD"=J(2回-2?=4,
・・・AE'=AD'-D'E'=3
,/ZABC=ZDBE;
ZCBD=ZABE',
BC_BU_2
•标一旅一忑,
.,.△CBD^AABE',
CD'_2
•・而—后
CD'2
飞,
Z.CD=-V5
5
..•CD'长为2石或:火.
6
故答案为:2石或1石.
【点睛】本题考查图形旋转的综合应用,涉及知识点有勾股定理,三点共线,相似三角形的
判定和性质,能正确画出图形很关键.
模块三:点的位置的不确定性引发的讨论
例1.在平面直角坐标系中,力(一1,2),B(a,b),40=B0,且N4OB=90。,则点6
的坐标为.
【难度】★★
【答案】(2,1)或(-2,-1).
【解析】如图,当点B在第一象限时,易得AAOM空AO8|N,8(2,1);
当点8在第三象限时.,同理可得3(-2,-1).
【总结】本题考查了一线三角模型,注意分类讨论.
例2.平面上48两点到直线/距离分别是2-6和2+招,且不垂直于直线/,则线段
四中点C到直线/的距离是
【难度】★★
【答案】2或6.
【解析】如图1,当A、3两点在直线/同侧时,得CH=g(AM+8N)=2:
图1
图2
如图2,当A、B两点在直线/异侧时,得CH=BN-;(AM+BN)=6
【总结】本题考查了中位线定理的运用,注意分类讨论.
例3.从高为箱米的楼房面的顶端点〃观察地面/、8两点的俯角分别为30°和60°,则
/、6之间的距离为
【难度】★★
【答案】8或16.
【解析】如图I当A、B两点在CO异侧时,易得BC=4,AC=12,,AB=AC+BC=16;
图1
图2
如图2,当A、B两点在CO同侧时,AB=AC-8c=8.
【总结】本题考查了锐角三角比的应用,注意分类讨论.
例4.已知半径为5的口。中,四是弦,点P是直线46上的一点,PB=3,AB=8,则tanNOPA
的值为
【难度】★★
【答案】3或3.
7
【解析】如图1,当点P在口。内时,易得AH=5H=4,OH=3,:.PH=\,
OH
:.tanZOPA=——=3;
PH
如图2,当点P在口。外时,易得AH=BH=4,OH=3,:,PH=1,
tanZOPA=-=-
PH7
图1图2
【总结】本题考查了垂径定理及勾股定理的综合运用.
例5.已知等腰直角^ABC斜边隙的长为2,KDBC为等边三角形,那么/、〃两点的距离为
【难度】★★
【答案】后+1或6-L
【解析】如图1,当A、。两点在8c的异侧时,连接AD,则4DLBC,
AAH=\,£)/7=73,
AD=AH+DH=y/3+\;
如图2,当4、O两点在8C的同侧时,
同理可得:AH=\,DH=日
AD=DH-AH=^-\.
图2
【总结】本题考查了勾股定理及等腰三角形的性质的运用.
例6.在&4BC中,AB=3,AC4,点。在射线46上,BD=1,过点,做应'〃6c交射
线4c于£,则AE=.
【难度】★★
【答案】1或3.
33
【解析】如图1,当。、E两点分别在A3、AC上时,
ADAE2AE〃〃劣口38
——=—,即一=—,解得:AE=~;
ABAC343
如图2,当。、E两点分别在AB、AC延长上时,
—=—,即9=整,解得:AE=—.
ABAC343
【总结】本题考查了平行线分线段成比例的运用,注意分类讨论.
例7.已知平行四边形/腼中,点£是灰的中点,在直线为上截取跖=2/凡EF交BD于
点C,则也=______.
GD
【难度】★★
【答案】2或2.
35
【解析】如图1,当尸点在B4延长线上时,AD与EF交于点H,-=—=-,
BEFB2
.GB_BE_2
"GD~liD~3:
图1
.GBBE2
如图2,当尸点在班边上时,-=—=-
BEFB2'"GD~HD~5
【总结】本题考查了平行线分线段成比例,注意分类讨论.
例8.在矩形加力中,4〃=4,C£>=2,边助绕点力旋转使得点。落在射线〃上的点?处,
那么NDPC的度数为.
【难度】★★
【答案】75。或15。.
【解析】如图1,当P点在BC上时,VAP=AD=4,AB=CD=2,:.ZAPB=30°,
ZDPC=ZADP=:(180。-30。)=75°;
如图2,当P点在C8延长线上时,•;AP=AD=4,AB=CD=2,
:.ZAPB=30°,ZDPC=ZADP=-ZAPB=15°.
2
【总结】本题考查了等腰三角形及直角三角形的性质.
例9.已知菱形/及力的边长是6,点后在直线4〃上,DE=3,连接跖与对角线芯相交于点
M,则蛇:AM=
【难度】★★
【答案】2:1或2:3.
【解析】如图L当点E在线段仞上时,器嚏号
如图2,当点E在线段4。延长线上时,-=—=
AMAE3
【总结】本题考查了菱形的性质及相似三角形的性质的综合运用.
例10.已知在R/A4BC中,斜边48=5,%=3,以点力为旋转中心,旋转这个三角形至
的位置,那么当点C落在直线上时,BB'=.
【难度】★★★
【答案】痴或3函.
【解析】如图1,当点C'在边上时,BC'=AB-AC'=1,B'C'=3,
BB'=^B'C'2+BC-=VlO;
如图2,当点C在54延长线上时,BC'=AB+AC'=9,B'C=3,
‘BB'=4B'C'2+BC'1=3>/10.
【总结】本题考查了旋转及勾股定理的综合运用.
例11.在A48c中,AB=AC=5,若将&4BC沿直线即翻折,使点。落在直线4C上的点C
处,AC'=3,则方=.
【难度】★★★
【答案】或2师.
【解析】如图1,当点C'在CA延长线上时,DC=4,4)=1,
BD=4AB^-AEr=2n,:.BC=《BD?+CD2=2710;
如图1,当点C,在CA边上时,0c=1,A£>=4,ABD=4AB2-AD2=3,
/.BC=4BD1+CD1=VlO.
【总结】本题考查了图形的翻折及勾股定理的应用.
例12.在平面直角坐标系中,点力(4,0),B(0,3),C(0,一2),点〃是坐标平面上的一
个点,当/、B、a〃为顶点的四边形为平行四边形时,则点,的坐标为.
【难度】★★★
【答案】(4,5)或(4,一5)或(-1,1).
【解析】如图,通过平移法易得点。的坐标分别为(4,5)或(4,-5)或(T,l)
【总结】本题考查了平行四边形的存在性问题.
模块四:相似三角形引发的讨论
例1.如图,AABC与中,NABC=NA£»B=90。,AC5cm,AB=4cm,如果图中的
两个直角三角形相似,力〃的长为
【难度】★★★
【答案】3cm或空cm.
55
【解析】当ND4B=NB4C时,—,即丝=a,解得:AD=--.
ABAC455
当ND48=NC时,—,即竺=±,解得:AD=—.
BCAC355
【总结】本题考查了相似三角形的性质,当对应角不确定时,注意分类讨论.
例2.在平面直角坐标系中,已知点1(一2,0),6(0,-2),<7(0,-4),点。在x轴上,
若以4、B、。为顶点的三角形和A/18C相似,则点〃的坐标为.
【难度】★★★
【答案】(-4,0)或(-6,0).
【解析】设£>(x,0),,/OA=OB,:.^OAB=ZOBA=45°,AZABC=ZBAD=\35°,
.•.点。在点A左侧,
当~时,徐能即各帚
解得:AD=4,A£>(-6,0);
当N4OB=NBG4时,—=—,即莘=3,
ABAD2V2AD
解得:AD=2,A£>(-4,0).
【总结】本题考查了相似三角形的存在性问题.
例3.在A4BC和ADIE/中,NA=/D,AB=4,BC=5,AC=6,EF=10,如果A4BC与
ADEb相似,那么比,=.
【难度】★★★
【答案】8或12.
【解析】当NB=N£时,—=即/一=9,解得:DE=8;
DEEFDE10
当NB=NF时,—=—,即9=9,解得:DE=12;
DEEFDE10
【总结】本题考查了相似三角形的性质.
例4.已知Rf&ABC中,ZACB=90°,=6,BC=8,点〃是四的中点,点后是直线4c
上一点,若以C、D、后为顶点的三角形与AABC相似,则的长度为—
【难度】★★★
【答案】3或Z.
3
(解析】VRtAABC中,ZACB=90。,点〃是AB的中点,
CD=DAf:.ZDCA=ZBAC,
如图1,当NCED=90。时,易得A£=」AC=3;
2
如图2,当NC£>E=90。时,—,即*=2,
ACAB610
757
解得:CE=—,:.AE=-.
33
【总结】本题考查了相似三角形的性质.
例5.如图,正方形】叫力的边长是2,BE=CE,W=l,线段,眦的两端在切、4〃上滑动.当
DM=时,A4比与以〃、机儿为顶点的三角形相似.
【难度】★★★
【答案】李或苧.
、|,DMMNn1<DM1岳〃俎ca,
[iintJrJa------=------,即----=-^,解•得:DM=——;
BEAE1V55
力DMMNDM1屹俎..26
i-----=------,即m----=—f=,解得:DnM=------.
ABAE2非5
【总结】本题考查了相似三角形的性质.
例6.在A48c中,AB=AC=5,BC=6,点E、尸分别在48、BC边上,将ABEF沿直线£F
翻折后,点6落在对边4。的点为3',若AB/C与A4BC相似,那么如二—
【难度】★★★
【答案】里或3.
11
【解析】设BF=x,由题意得B'F=x,FC=6-x,
当N3NC=NABC时,—=即二=殳三,解得:x=—;
ABBC5611
当NBNC=NA时,B'F=FC,即x=6-x,解得:x=3.
【总结】本题考查了翻折及相似三角形的性质.
例7.(2020浦东二模)在RtZ\A6C中,NA8C=9O°,48=8,BC=6,点。、E分
AnDE
别在边A3、ACh.如果。为AB中点,且——=——,那么AE的长度为__________.
ABBC
【答案】5或1.4
【分析】根据已知比例式先求出DE的长,再分两种情况:①E为BC的中点,可直接得出
AE的长;②点E在靠近点A的位置,过点D作DFLAC于点F,证明△ADFs/\ACB,得
Annp
fl1,—=——,从而可得出DF的长,再分别根据勾股定理得出AF,EF的长,从而可得出
ACBC
结果.
?
【详解】解:•••在RtZ\A8C中,根据勾股定理得,AC=5/AF+BC=10'
又D是AB的中点,.,.AD=yAB=4,
ADDE
ABBC
1DE
:.-=——,/.DE=3.
26
分以下两种情况:
①当点E在如图①所示的位置时,即点E为AC的中点时,DE=:BC=3,
故此时AE='AC=5:
2
图①“
□点E在如图②所示的位置时,DE=3,过点D作DFJ_AC于点F,
图②
VZAFD=ZB=90°,ZA=ZA,
••.△ADF^AACB,
.,.在RtzIXADF中,AF=JA£)2_0歹2=3.2,
在RtADEF中,EF=£)£2_f)p2=1.8,
.*.AE=AF-EF=1.4.
综上所述,AE的长为5或1.4.
故答案为:5或1.4.
【点睛】本题考查的是相似三角形的判定与性质,中位线的性质以及勾股定理等知识,掌握
基本性质并运用分类讨论思想是解题的关键.
模块五:圆中的相关讨论
例1.平面内一点产到口。的最长距离为10,最短距离为2,则口O的半径是.
【难度】★★
【答案】6或4.
【解析】当点P在口。内时,口。的半径厂="拦=6;
2
in_o
当点尸在口。外时,口。的半径r=----=4.
2
【总结】本题考查了点与圆的位置关系.
例2.已知口。的半径是6厘米,。是直线1上一点,且OP=6cm,那么直线/与口。的位
置关系是______.
【难度】★★
【答案】相切或相交.
【解析】当相切时,切点到圆心的距离为6cm,当相交时,直线与圆的交点到圆心的距离为
6cm.
【总结】本题考查了直线与圆的位置关系,注意圆心到直线的距离与直线上一点到圆心的距
离的区别.
例3.如图,在12x6的网格图中(每个小正方形的边长均为1个单位),口A的半径为1,口8
的半径为2,要使口A与静止的口8内切,那么口A由图示位置需向右平移个单位.
\
6、7B
\)
/
【难度】★★
【答案】4或6.
【解析】两圆内切时,d=Ru—RA=\,
□4由图示位置需向右平移4或6个单位.
【总结】本题考查了圆与圆的位置关系.
例4.半径分别为4cm,5cm的两圆相交,它们的公共弦长为6cm,则这两圆的圆心距是
【难度】★★
【答案】(4+77)cm或(4-77)cm.
【解析】如图1.当两圆圆心在公共弦两侧时,
由勾股定理得=4,O2C=y/l,
:.。02=*+0£=4+g;
如图1,当两圆圆心在公共弦同侧时,
OQ[=O\C-O2c=4-用.
【总结】本题考查了相交两圆的位置关系及勾股定理的应用.
例5.已知口。的半径为5cm,弦AB//CD,AB=6cm,CD=8cm,贝ij45和切的距离是—
【难度】★★
【答案】7cm或1cm.
【解析】如图1,易得。尸=4,0E=3,
:.EF=OF-OE=\cm-,
如图2,易得。尸=4,0E=3,
/.EF=OF+OE=7cm.
【总结】本题考查了垂径定理及勾股定理的综合运用.
图1图2
例6.在口。中,若弦46是圆内接正四边形的边,弦是圆内接正六边形的边,则NBAC=
【难度】★★
【答案】15。或105。.
【解析】由题意可得NO4B=45。,NOAC=60。,
如图1,ABAC=ZOAC-ZOAB=\50;
如图2,ZBAC=ZOAC+ZOAB=.
【总结】本题考查了圆内接正多边形的性质.
例7.在A48C中,AB=AC=5,cosB=-.如果圆。的半径为且经过点跟C,那么
5
线段/。的长等于.
【难度】★★
【答案】3或5.
【解析】作AO_L8C,•.•AB=AC,BD=CD.AD经过圆心,
VcosB=|./.AD=4,OD=4OB--BDr=V10-9=1.
当点4与点。位于〃点同侧时,AO=AO-OO=3;
当点力与点。位于〃点两侧时,AO=AD+OD=5.
【总结】本题考查了垂径定理及三角比的应用,注意分类讨论.
例8.己知有两个相切的圆,圆心距d=4,其中一个圆的半径的取值范围是146<5,则另
一个圆的半径用的取值范围是.
【难度】★★
【答案】0<??,<3^5</?2<9.
【解析】当外切时,d=R,+R2,0</?2<3;
当内切时,〃=国-&|,5</?2<9.
【总结】本题考查了相切两圆圆心距与半径的关系.
例9.已知口。的半径为r,直径儿?平分长度为其的弦CD,则点/到弦切的距离是—
【难度】★★
【答案】二或名.
22
【解析】由题意得o”=1,
2
如图1,AH=AO+OH=—;
2
如图2,AH=AO-OH=-.
2
【总结】本题考查了垂径定理的运用,注意力点的位置不确定.
AB
BA
图1图2
例10.在矩形力及力中,四=5,6c=12,如果分别以4、C为圆心的两圆相切,点〃在圆C
内,点8在圆。外,那么圆4的半径r的取值范围是_____.
【难度】★★
【答案】l<r<8或18<r<25.
【解析】由题意得AC=13,5<分<12,
当两圆外切时,G+分=13,二1<r<8;当两圆内切时,以-d=13,18<r<25.
【总结】本题考查了点与圆的位置关系及圆与圆的位置关系.
例11.在平面直角坐标系中,口P的圆心是尸(a,2)(a>0),半径为2.直线y=x被
截得的弦长为2g,则a的值是..
【难度】★★★
【答案】2+0或2-夜.
【解析】如图,由题意得A8=AO=2,PH=^PN2-HN2=1,
:APB”为等腰直角三角形,:.PB=4i,:.PA=AB+PB=2+&;
当点尸在点3左侧时,同理可得PA=43-尸8=2—应,
a的值是2+夜或2-应.
【总结】本题考查了垂径定理及等腰三角形的性质的综合运用.
例12.一根横截面为圆形的下水管道的直径为1米,管内有少量的污水(如图),此时的水
面宽46=0.6米.当水位上升到水面宽为0.8米时,水面上升的高度是______.
【难度】★★★
【答案】0.1米或0.7米.
【解析】如图1,由题意得。尸=0.4,OE=0.3,
EF=OF-OE=0.1米,即水面上升0.1米;
如图2,由题意得OF=0.4,OE=0.3,
AEF=OF+OE=0.7^z,即水面上升0.7米.
【总结】本题考查了垂径定理的运用.
例13.已知直线/的解析式为y=』x-3,并且与x轴、y轴分别相交于点4B.
一个半径
4
为1的圆心在坐标原点的圆,以每秒0.4个单位的速度向X轴正方向运动,当运动S
时,该圆与直线/相切.
【难度】★★★
【答案】吏或笠.
66
【解析】由题意得:OA=4,0B=3.
•・•圆P与直线/相切,・・.P"=1,・・.PA=*.
3
7735
当点P在点A左侧时,OP=OA-AP=-,/.z=--0.4=—:
336
当点P在点A右侧时,OP=OA+AP=—,/.r=—-0.4=—.
336
【总结】本题考查了直线与圆的位置关系,注意两种情况的讨论.
例14.(2020闵行区一模)半径分别为3cm与J万cm的。6与。Ch相交于A、B两点,
如果公共弦AB=40cm,那么圆心距0102的长为cm.
【答案】2或4
【分析】首先连接OQ2、ChA、O2A,令O1O2交AB于点C,根据垂径定理和勾股定理即
可得解.
【详解】连接OQ2、OiA、O2A,令O1O2交AB于点C,如图所示
由已知得OiA=3,O2A=V17,AB=4夜
AC=BC=2叵
二℃="W—AC?(20y=1
22
O2C=ylO2A-AC='(如『一(2&『=3
。[。2=。[。+。2。=1+3=4
或qq=O2C—O}C=3—1=2
©
,答案为2或4.
【点睛】此题主要考查垂径定理以及勾股定理的应用,注意有两种情况,不要遗漏.
1.己知勿为整数,且关于a二次三项式。?+机a+12可以用十字相乘法因式分解,
贝!]m-.
【难度】★★
【答案1±13、±8、±7.
【解析】由题意可知12=1x12=(—1)x(—12)=2x6=(—2)x(—6)=3x4=(—3)x(-4),
m=±13、±8、±7.
【总结】本题考查了十字相乘法的运用.
2.如果将抛物线y=-2d+8向右平移a个单位后,恰好过点(3,6),那么a的值为—
【难度】★★
【答案】2或4.
【解析】设平移后的解析式为尸一2(万一4+8,把(3,6)代入得:6=-2(3-«)2+8.
解得:q=2,4=4.
【总结】本题考查了二次函数的平移.
3.如果等腰三角形腰上的高等于腰的一半,那么这个等腰三角形的顶角等于度.
【难度】★★
【答案】30。或150。.
【解析】如图1,当AABC为钝角三角形时,由题意用得
2
・・・NABH=30°,,ZABC=150°.
如图2,当A45C为锐角三角形时,
由题意可得:AH=-AB,:.ZB=30°.
2
【总结】本题考查了等腰及直角三角形的性质.
图2
4.在M3C中,若然=15,阳边上的高力〃=12,tanZABD=-,则%=
4
【难度】★★
【答案】25或7.
【解析】如图1,由题意得8。=16,DC=9,
:.BC=BD+DC=25
如图2,由题意得B£>=16,QC=
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