2021年中考数学压轴题讲次03多解题型（教师版）

专题03多解题型

分类讨论的数学思想是初中数学考察的重点思想，也是考试中一大难点，同

学们需要根据题意考虑不同的情况，进行解题.

模块一：代数相关的分类讨论

例i.(1)倒数等于它本身的数是,平方等于它本身的数是；

(2)在数轴上到原点距离为3的点表示的数是；

(3)绝对值等于2的数是；

5—

(4)"石的平方根是.

【难度】★

【答案】(1)±1,0和1;(2)±3：(3)±-；(4)±2.

5

【解析】根据倒数、平方、绝对值、平方根的含义和性质，结合题意分析即可.

【总结】本题考查了倒数、绝对值、平方根等概念，掌握和理解相关概念是做题的关键.

例2,已知2幺一奴+?是一个完全平方式，贝Ija二.

2

【难度】★★

【答案】±6.

【解析】由题知△="—4ac=a。—36=0,a=±6.

【总结】本题考查了完全平方公式.

2

r-5Y-14

例3.已知分式）》的值为0,则x=______.

%—2

【难度】★★

【答案】7或—2.

r2_5v-]4=O

【解析】由题意得，解得：&=7,X2=-2.

x-2^0

【总结】本题考查了分式值为。的条件，注意分母不能为零.

例4.已知关于工的方程依2+2依+1=/+3X-4有实数根，则立的取值范围为—

【难度】★★

【答案】

12

【解析】原方程可化为优-l）d+（2”3）“十％+1=0,

当％-1=0,即上=1时,x=2;

,13

当A-IwO,A=（21-3）-4伏-1）（3+1）=-12左+1310,解得：k<—Hk^\,

综上可得

12

【总结】本题考查了含字母系数的方程，注意分成一次方程及二次方程讨论.

例5.已知直线y=依与x轴的夹角为30°,则左=.

【难度】★★

【答案】土g

【解析】当直线y=履与X轴的正半轴夹角为30°,可知人=*；

当直线y=丘与x轴的负半轴夹角为30°,可知％=-乎；.•.综上可知”=土#.

【总结】本题考查了正比例函数左与x轴夹角之间的关系.

例6.直线y=-2x+l上到x轴与y轴距离相等的点的坐标是一

【难度】★★

【答案】或(1,-1).

【解析】设点的坐标为(x,-2x+l),

则由题意，得：x=—2x+1或—x=—2x+1,解得：x=,或x=l,

3

.••点的坐标为或(1,-1).

【总结】本题考查了点的坐标的特点，注意坐标与距离的转化.

例7.己知二次函数y=/-6x+c的图像顶点到x轴的距离为5,则。=—.

【难度】★★

【答案】14或4.

【解析】二次函数顶点坐标为(3,-9+c),••.卜9+d=5,解得：q=14,C2=4.

【总结】本题考查了二次函数顶点坐标公式，及坐标与距离的关系.

模块二：图形表述的不确定性引发的讨论

例1.已知等腰三角形的两边长分别为3和5,那么这个三角形的周长为.

【难度】★

【答案】11或13.

【解析】当3为腰、5为底时，周长为11；当5为腰、3为底时，周长为13.

【总结】本题考查了等腰三角形的分类讨论，注意要考虑三角形的存在性问题.

例2.已知等腰三角形中一个内角为40°,那么这个三角形的底角为.

【难度】★

【答案】40。或70。.

【解析】当40。为底角时，三角形的底角为40。；当40。为顶角时，三角形的底角为70。.

【总结】本题考查了等腰三角形的分类讨论.

例3.两边长为6和8的直角三角形的斜边上的中线的长是.

【难度】★★

【答案】5或4.

【解析】当6和8为直角三角形的直角边时，边为10,.•.斜边上的中线的长是5；

当8为直角三角形的斜边时，斜边上的中线的长是4.

【总结】本题考查了勾股定理及直角三角形的性质，注意分类讨论.

例4.已知MBC中，NA=40。，AB、4。边上的高所在的直线交于点H,则NBHC=

【难度】★★

【答案】140°或40°.

【解析】如图1,当A48c为锐角三角形时，由题意可知：ZBHE=ZA=40°,

：.ZBHC=180°-ZBHE=180°-40°=140°；

如图2,当A4BC为钝角三角形时，山题意可知：N8"C=NA=40。，

NB”C=140°或40°.

AA

图1图2

【总结】本题考查了直角三角形的性质，注意有关高的题型要分内高和外高之分.

例5.在44BC中，AB=5,AC=8,NC=30。，则A4BC的面积为

【难度】★★

【答案】86-6或8百+6.

【解析】如图1,山题意可得AH=4,CH=4y/3,BH=3,

S

，MBC=^CBAW=^x（4>/3-3）x4=8>/3-6：

如图2,AH=4,CH=4>/3,BH=3,

：.S"BC=g-C8.A〃=gx1百+3b4=8百+6.

综上，AABC的面积为84-6或86+6.

【总结】本题考查了三角形的面积公式及宜角三角形的性质.

例6.平行四边形的一角的角平分线分一边长为3cm和4cm两部分，则这个平行四边形的周

长为.

【难度】★★

【答案】20cm或22cm.

【解析】如图，易得A4BE是等腰三角形，

当AE=3,£>E=4时，

平行四边形周长为(3+3+4)x2=20；

当隹=4,OE=3时，

平行四边形周长为(4+4+3)x2=22,

，平行四边形的周长为20cm或22cm.

【总结】本题考查了平行四边形及等腰三角形之间的性质.

例7.如果直角梯形的一条底边长为7厘米，两腰长分别为8厘米和10厘米，那么这个梯形

的面积是_____平方厘米.

【难度】★★

【答案】80或32.

【解析】如图1,由题意可知HC=6,8C=13,

/.SAKI)=1(AT>+BC)£>W=1x(7+13)x8=8O:

如图2,由题意可知”C=6,二BC=1,

•••S叩=；（仞+8C）C"=；"（7+1）X8=32,

综上，梯形面积为80或32平方厘米.

【总结】本题考查了勾股定理及梯形面积的计算.

图1

图2

例8.已知点46的坐标分别为（2,2）,（5,1）,点C在x轴上，若AA8C为等腰三角形,

则点，的坐标为.

【难度】★★★

【答案】（2+々,0）或（2-遍,0）或（2,0）或（8,0）或（3,0）.

【解析】设C点坐标为（“，0）,

由题意得48=JT5，AC=2—4/%+8，BC-《后-10m+26,

当A8=A。时，即加=，62一4加+8,解得：町=2+通，加2=2—灰；

BA-BClb]',HPy/10=nr—10/??+26>解得：zn,=2>砥=8：

当CA=CB时，即V/M2-4/H+8=V/n2-10/n+26,解得：叫=3,

.,.点「的坐标为（2+n，0）或（2-6，0）或（2,0）或（8,0）或（3,0）.

【总结】本题考查了等腰上角形的分类讨论，主要利用两点间的距离公式.

例9..（2020崇明区一模）如图，在RfAABC中，ZC=90°,A3=10,AC=8,点。

是AC的中点，点E在边A3上，将"OE沿。E翻折，使得点4落在点A处，当

A'E1AB时，那么4A的长为.

【答案】-V2或1&

【分析】分两种情形分别求解，作DFJ_AB于F,连接AAJ想办法求出AE,利用等腰直

角三角形的性质求出AA，即可.

【详解】如图，作DFLAB于F,连接AA—

D

在RtZXACB中，BC=7AB2-AC2=6,

VZDAF=ZBAC,ZAFD=ZC=90°,

.•.△AFDs^ACB,

.DFADAF

,BC-AB-AC

.DF_4_AF

••—―,

6108

1216

，DF=—,AF=—,

55

：A，E_LAB,

.•.NAEA，=90。，

由翻折不变性可知：/AED=45。,

12

EF=DF=—,

5

121628

..AE=A'E=----1=—,

555

28rr

AAA^—V2,

161244I—

如图，作DF_LAB于F,当EA，_LAB时，同法可得AE=《彳=二，AA，=J]AE=.

故答案为告庭或*J5.

【点睛】本题考查翻折变换，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键

是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题.

例10.（2020浦东新区一模）在R/A48c中，NC=90°,AC=2,BC=4，点£＞、E分别

是边BC、A8的中点，耨ABDE绕着点B旋转,点。、E旋转后的对应点分别为点

D\E',当直线。经过点A时，线段C。'的长为

【答案】2小或三亚

【分析】当直线。经过点A时，有两种情况，均用三点共线特征及勾股定理求出AE长

为5或3,采用两边对应成比例且夹角相等证得△CBD'saABE，，利用相似三角形对应边

成比例求解.

【详解】解：在Rt^ACB中，NC=90°,4C=2,BC=4,

由勾股定理得，AB=JAC?+BO?=物+42=2石.

:。、E分别是边BC、A8的中点，

.••DE是4ACB的中位线，BD=2,BE=^5,

；.DE〃AC,DE=-AC=1

2

.,.ZEDB=90°,

由旋转可得，BD=2,D'E'=1,BE'=6,ZBDE=90°,

第一种情况，如图1,

•••点A,D-,E'三点共线,

ZADB=90°,

由勾股定理得AD'=,452-BD〃=42J5)-2~=49

...AE'=AD'+D'E'=5

NABC=ND'BE',

工ZCBD=ZABE；

,,BC_BD_2

.♦.△CBD'SAABE',

CD'_2

,・而—后

CD'2

,丁正

ACD=275

第二种情况，如图2,

如图2D'

•.•点A,D',E'三点共线，

.'.ZAD'B=90°,

由勾股定理得AD'=JAB?-BD"=J(2回-2?=4,

・・・AE'=AD'-D'E'=3

,/ZABC=ZDBE；

ZCBD=ZABE',

BC_BU_2

•标一旅一忑，

.,.△CBD^AABE',

CD'_2

•・而—后

CD'2

飞，

Z.CD=-V5

5

..•CD'长为2石或:火.

6

故答案为：2石或1石.

【点睛】本题考查图形旋转的综合应用，涉及知识点有勾股定理，三点共线，相似三角形的

判定和性质，能正确画出图形很关键.

模块三：点的位置的不确定性引发的讨论

例1.在平面直角坐标系中，力(一1,2),B(a,b),40=B0,且N4OB=90。，则点6

的坐标为.

【难度】★★

【答案】(2,1)或(-2,-1).

【解析】如图，当点B在第一象限时，易得AAOM空AO8|N,8(2,1)；

当点8在第三象限时.，同理可得3（-2,-1）.

【总结】本题考查了一线三角模型，注意分类讨论.

例2.平面上48两点到直线/距离分别是2-6和2+招，且不垂直于直线/,则线段

四中点C到直线/的距离是

【难度】★★

【答案】2或6.

【解析】如图1，当A、3两点在直线/同侧时，得CH=g（AM+8N）=2：

图1

图2

如图2,当A、B两点在直线/异侧时，得CH=BN-；（AM+BN）=6

【总结】本题考查了中位线定理的运用，注意分类讨论.

例3.从高为箱米的楼房面的顶端点〃观察地面/、8两点的俯角分别为30°和60°,则

/、6之间的距离为

【难度】★★

【答案】8或16.

【解析】如图I当A、B两点在CO异侧时，易得BC=4,AC=12，,AB=AC+BC=16；

图1

图2

如图2,当A、B两点在CO同侧时,AB=AC-8c=8.

【总结】本题考查了锐角三角比的应用，注意分类讨论.

例4.已知半径为5的口。中，四是弦，点P是直线46上的一点，PB=3,AB=8,则tanNOPA

的值为

【难度】★★

【答案】3或3.

7

【解析】如图1,当点P在口。内时，易得AH=5H=4,OH=3,：.PH=\,

OH

：.tanZOPA=——=3；

PH

如图2,当点P在口。外时，易得AH=BH=4,OH=3,：,PH=1,

tanZOPA=-=-

PH7

图1图2

【总结】本题考查了垂径定理及勾股定理的综合运用.

例5.已知等腰直角^ABC斜边隙的长为2,KDBC为等边三角形，那么/、〃两点的距离为

【难度】★★

【答案】后+1或6-L

【解析】如图1,当A、。两点在8c的异侧时，连接AD,则4DLBC,

AAH=\,£)/7=73,

AD=AH+DH=y/3+\；

如图2,当4、O两点在8C的同侧时,

同理可得：AH=\,DH=日

AD=DH-AH=^-\.

图2

【总结】本题考查了勾股定理及等腰三角形的性质的运用.

例6.在&4BC中，AB=3,AC4,点。在射线46上，BD=1,过点，做应'〃6c交射

线4c于£,则AE=.

【难度】★★

【答案】1或3.

33

【解析】如图1，当。、E两点分别在A3、AC上时，

ADAE2AE〃〃劣口38

——=—,即一=—，解得：AE=~；

ABAC343

如图2,当。、E两点分别在AB、AC延长上时，

—=—,即9=整，解得：AE=—.

ABAC343

【总结】本题考查了平行线分线段成比例的运用，注意分类讨论.

例7.已知平行四边形/腼中，点£是灰的中点，在直线为上截取跖=2/凡EF交BD于

点C,则也=______.

GD

【难度】★★

【答案】2或2.

35

【解析】如图1,当尸点在B4延长线上时，AD与EF交于点H,-=—=-,

BEFB2

.GB_BE_2

"GD~liD~3：

图1

.GBBE2

如图2,当尸点在班边上时，-=—=-

BEFB2'"GD~HD~5

【总结】本题考查了平行线分线段成比例，注意分类讨论.

例8.在矩形加力中，4〃=4,C£>=2,边助绕点力旋转使得点。落在射线〃上的点？处,

那么NDPC的度数为.

【难度】★★

【答案】75。或15。.

【解析】如图1,当P点在BC上时，VAP=AD=4,AB=CD=2,：.ZAPB=30°,

ZDPC=ZADP=：（180。-30。）=75°；

如图2,当P点在C8延长线上时，•；AP=AD=4,AB=CD=2,

：.ZAPB=30°,ZDPC=ZADP=-ZAPB=15°.

2

【总结】本题考查了等腰三角形及直角三角形的性质.

例9.已知菱形/及力的边长是6,点后在直线4〃上，DE=3,连接跖与对角线芯相交于点

M,则蛇:AM=

【难度】★★

【答案】2:1或2:3.

【解析】如图L当点E在线段仞上时，器嚏号

如图2,当点E在线段4。延长线上时，-=—=

AMAE3

【总结】本题考查了菱形的性质及相似三角形的性质的综合运用.

例10.已知在R/A4BC中，斜边48=5,%=3,以点力为旋转中心，旋转这个三角形至

的位置，那么当点C落在直线上时，BB'=.

【难度】★★★

【答案】痴或3函.

【解析】如图1,当点C'在边上时,BC'=AB-AC'=1,B'C'=3,

BB'=^B'C'2+BC-=VlO；

如图2,当点C在54延长线上时，BC'=AB+AC'=9,B'C=3,

‘BB'=4B'C'2+BC'1=3>/10.

【总结】本题考查了旋转及勾股定理的综合运用.

例11.在A48c中，AB=AC=5,若将&4BC沿直线即翻折，使点。落在直线4C上的点C

处，AC'=3,则方=.

【难度】★★★

【答案】或2师.

【解析】如图1，当点C'在CA延长线上时，DC=4,4)=1,

BD=4AB^-AEr=2n,：.BC=《BD?+CD2=2710；

如图1,当点C，在CA边上时，0c=1,A£>=4,ABD=4AB2-AD2=3,

/.BC=4BD1+CD1=VlO.

【总结】本题考查了图形的翻折及勾股定理的应用.

例12.在平面直角坐标系中，点力（4,0）,B（0,3）,C（0,一2）,点〃是坐标平面上的一

个点，当/、B、a〃为顶点的四边形为平行四边形时，则点，的坐标为.

【难度】★★★

【答案】（4,5）或（4,一5）或（-1,1）.

【解析】如图，通过平移法易得点。的坐标分别为（4,5）或（4,-5）或（T,l）

【总结】本题考查了平行四边形的存在性问题.

模块四：相似三角形引发的讨论

例1.如图，AABC与中，NABC=NA£»B=90。，AC5cm,AB=4cm,如果图中的

两个直角三角形相似，力〃的长为

【难度】★★★

【答案】3cm或空cm.

55

【解析】当ND4B=NB4C时，—,即丝=a,解得：AD=--.

ABAC455

当ND48=NC时，—,即竺=±,解得：AD=—.

BCAC355

【总结】本题考查了相似三角形的性质，当对应角不确定时，注意分类讨论.

例2.在平面直角坐标系中，已知点1(一2,0),6(0,-2),<7(0,-4),点。在x轴上,

若以4、B、。为顶点的三角形和A/18C相似，则点〃的坐标为.

【难度】★★★

【答案】(-4,0)或(-6,0).

【解析】设£>(x,0)，,/OA=OB,：.^OAB=ZOBA=45°,AZABC=ZBAD=\35°,

.•.点。在点A左侧,

当~时，徐能即各帚

解得：AD=4,A£>(-6,0)；

当N4OB=NBG4时，—=—,即莘=3,

ABAD2V2AD

解得：AD=2,A£>(-4,0).

【总结】本题考查了相似三角形的存在性问题.

例3.在A4BC和ADIE/中，NA=/D,AB=4,BC=5,AC=6,EF=10,如果A4BC与

ADEb相似，那么比,=.

【难度】★★★

【答案】8或12.

【解析】当NB=N£时，—=即/一=9，解得：DE=8；

DEEFDE10

当NB=NF时，—=—,即9=9,解得：DE=12；

DEEFDE10

【总结】本题考查了相似三角形的性质.

例4.已知Rf&ABC中，ZACB=90°,=6,BC=8,点〃是四的中点，点后是直线4c

上一点，若以C、D、后为顶点的三角形与AABC相似，则的长度为—

【难度】★★★

【答案】3或Z.

3

（解析】VRtAABC中，ZACB=90。，点〃是AB的中点,

CD=DAf：.ZDCA=ZBAC,

如图1,当NCED=90。时，易得A£=」AC=3；

2

如图2,当NC£>E=90。时，—,即*=2,

ACAB610

757

解得：CE=—,：.AE=-.

33

【总结】本题考查了相似三角形的性质.

例5.如图，正方形】叫力的边长是2,BE=CE,W=l,线段，眦的两端在切、4〃上滑动.当

DM=时，A4比与以〃、机儿为顶点的三角形相似.

【难度】★★★

【答案】李或苧.

、|，DMMNn1<DM1岳〃俎ca,

[iintJrJa------=------,即----=-^,解•得：DM=——；

BEAE1V55

力DMMNDM1屹俎..26

i-----=------,即m----=—f=,解得：DnM=------.

ABAE2非5

【总结】本题考查了相似三角形的性质.

例6.在A48c中，AB=AC=5,BC=6,点E、尸分别在48、BC边上,将ABEF沿直线£F

翻折后，点6落在对边4。的点为3'，若AB/C与A4BC相似，那么如二—

【难度】★★★

【答案】里或3.

11

【解析】设BF=x,由题意得B'F=x,FC=6-x,

当N3NC=NABC时，—=即二=殳三，解得：x=—；

ABBC5611

当NBNC=NA时，B'F=FC,即x=6-x,解得：x=3.

【总结】本题考查了翻折及相似三角形的性质.

例7.（2020浦东二模）在RtZ\A6C中，NA8C=9O°,48=8,BC=6,点。、E分

AnDE

别在边A3、ACh.如果。为AB中点，且——=——，那么AE的长度为__________.

ABBC

【答案】5或1.4

【分析】根据已知比例式先求出DE的长，再分两种情况：①E为BC的中点，可直接得出

AE的长；②点E在靠近点A的位置，过点D作DFLAC于点F,证明△ADFs/\ACB,得

Annp

fl1,—=——，从而可得出DF的长，再分别根据勾股定理得出AF,EF的长，从而可得出

ACBC

结果.

?

【详解】解：•••在RtZ\A8C中，根据勾股定理得，AC=5/AF+BC=10'

又D是AB的中点，.,.AD=yAB=4,

ADDE

ABBC

1DE

：.-=——，/.DE=3.

26

分以下两种情况：

①当点E在如图①所示的位置时，即点E为AC的中点时，DE=：BC=3,

故此时AE='AC=5：

2

图①“

□点E在如图②所示的位置时，DE=3,过点D作DFJ_AC于点F,

图②

VZAFD=ZB=90°,ZA=ZA,

••.△ADF^AACB,

.,.在RtzIXADF中，AF=JA£)2_0歹2=3.2，

在RtADEF中，EF=£)£2_f)p2=1.8，

.*.AE=AF-EF=1.4.

综上所述，AE的长为5或1.4.

故答案为：5或1.4.

【点睛】本题考查的是相似三角形的判定与性质，中位线的性质以及勾股定理等知识，掌握

基本性质并运用分类讨论思想是解题的关键.

模块五：圆中的相关讨论

例1.平面内一点产到口。的最长距离为10,最短距离为2,则口O的半径是.

【难度】★★

【答案】6或4.

【解析】当点P在口。内时，口。的半径厂="拦=6;

2

in_o

当点尸在口。外时，口。的半径r=----=4.

2

【总结】本题考查了点与圆的位置关系.

例2.已知口。的半径是6厘米，。是直线1上一点，且OP=6cm,那么直线/与口。的位

置关系是______.

【难度】★★

【答案】相切或相交.

【解析】当相切时，切点到圆心的距离为6cm,当相交时，直线与圆的交点到圆心的距离为

6cm.

【总结】本题考查了直线与圆的位置关系，注意圆心到直线的距离与直线上一点到圆心的距

离的区别.

例3.如图，在12x6的网格图中（每个小正方形的边长均为1个单位），口A的半径为1,口8

的半径为2,要使口A与静止的口8内切，那么口A由图示位置需向右平移个单位.

\

6、7B

\)

/

【难度】★★

【答案】4或6.

【解析】两圆内切时，d=Ru—RA=\,

□4由图示位置需向右平移4或6个单位.

【总结】本题考查了圆与圆的位置关系.

例4.半径分别为4cm,5cm的两圆相交，它们的公共弦长为6cm,则这两圆的圆心距是

【难度】★★

【答案】（4+77）cm或（4-77）cm.

【解析】如图1.当两圆圆心在公共弦两侧时，

由勾股定理得=4,O2C=y/l,

：.。02=*+0£=4+g；

如图1,当两圆圆心在公共弦同侧时，

OQ[=O\C-O2c=4-用.

【总结】本题考查了相交两圆的位置关系及勾股定理的应用.

例5.已知口。的半径为5cm,弦AB//CD,AB=6cm,CD=8cm,贝ij45和切的距离是—

【难度】★★

【答案】7cm或1cm.

【解析】如图1，易得。尸=4,0E=3,

：.EF=OF-OE=\cm-,

如图2,易得。尸=4,0E=3,

/.EF=OF+OE=7cm.

【总结】本题考查了垂径定理及勾股定理的综合运用.

图1图2

例6.在口。中，若弦46是圆内接正四边形的边，弦是圆内接正六边形的边，则NBAC=

【难度】★★

【答案】15。或105。.

【解析】由题意可得NO4B=45。，NOAC=60。，

如图1,ABAC=ZOAC-ZOAB=\50；

如图2,ZBAC=ZOAC+ZOAB=.

【总结】本题考查了圆内接正多边形的性质.

例7.在A48C中，AB=AC=5,cosB=-.如果圆。的半径为且经过点跟C,那么

5

线段/。的长等于.

【难度】★★

【答案】3或5.

【解析】作AO_L8C,•.•AB=AC,BD=CD.AD经过圆心，

VcosB=|./.AD=4,OD=4OB--BDr=V10-9=1.

当点4与点。位于〃点同侧时，AO=AO-OO=3；

当点力与点。位于〃点两侧时，AO=AD+OD=5.

【总结】本题考查了垂径定理及三角比的应用，注意分类讨论.

例8.己知有两个相切的圆，圆心距d=4,其中一个圆的半径的取值范围是146<5,则另

一个圆的半径用的取值范围是.

【难度】★★

【答案】0<??,<3^5</?2<9.

【解析】当外切时，d=R,+R2,0</?2<3；

当内切时，〃=国-&|,5</?2<9.

【总结】本题考查了相切两圆圆心距与半径的关系.

例9.已知口。的半径为r,直径儿?平分长度为其的弦CD,则点/到弦切的距离是—

【难度】★★

【答案】二或名.

22

【解析】由题意得o”=1,

2

如图1,AH=AO+OH=—；

2

如图2,AH=AO-OH=-.

2

【总结】本题考查了垂径定理的运用,注意力点的位置不确定.

AB

BA

图1图2

例10.在矩形力及力中，四=5,6c=12,如果分别以4、C为圆心的两圆相切，点〃在圆C

内，点8在圆。外，那么圆4的半径r的取值范围是_____.

【难度】★★

【答案】l<r<8或18<r<25.

【解析】由题意得AC=13,5<分<12,

当两圆外切时，G+分=13,二1<r<8；当两圆内切时，以-d=13,18<r<25.

【总结】本题考查了点与圆的位置关系及圆与圆的位置关系.

例11.在平面直角坐标系中，口P的圆心是尸(a,2)(a>0),半径为2.直线y=x被

截得的弦长为2g,则a的值是..

【难度】★★★

【答案】2+0或2-夜.

【解析】如图，由题意得A8=AO=2,PH=^PN2-HN2=1,

：APB”为等腰直角三角形，:.PB=4i，:.PA=AB+PB=2+&；

当点尸在点3左侧时，同理可得PA=43-尸8=2—应，

a的值是2+夜或2-应.

【总结】本题考查了垂径定理及等腰三角形的性质的综合运用.

例12.一根横截面为圆形的下水管道的直径为1米，管内有少量的污水（如图）,此时的水

面宽46=0.6米.当水位上升到水面宽为0.8米时，水面上升的高度是______.

【难度】★★★

【答案】0.1米或0.7米.

【解析】如图1，由题意得。尸=0.4,OE=0.3,

EF=OF-OE=0.1米，即水面上升0.1米；

如图2,由题意得OF=0.4,OE=0.3,

AEF=OF+OE=0.7^z,即水面上升0.7米.

【总结】本题考查了垂径定理的运用.

例13.已知直线/的解析式为y=』x-3,并且与x轴、y轴分别相交于点4B.

一个半径

4

为1的圆心在坐标原点的圆，以每秒0.4个单位的速度向X轴正方向运动，当运动S

时，该圆与直线/相切.

【难度】★★★

【答案】吏或笠.

66

【解析】由题意得：OA=4,0B=3.

•・•圆P与直线/相切，・・.P"=1,・・.PA=*.

3

7735

当点P在点A左侧时，OP=OA-AP=-,/.z=--0.4=—：

336

当点P在点A右侧时，OP=OA+AP=—,/.r=—-0.4=—.

336

【总结】本题考查了直线与圆的位置关系，注意两种情况的讨论.

例14.（2020闵行区一模）半径分别为3cm与J万cm的。6与。Ch相交于A、B两点，

如果公共弦AB=40cm,那么圆心距0102的长为cm.

【答案】2或4

【分析】首先连接OQ2、ChA、O2A,令O1O2交AB于点C,根据垂径定理和勾股定理即

可得解.

【详解】连接OQ2、OiA、O2A,令O1O2交AB于点C,如图所示

由已知得OiA=3,O2A=V17,AB=4夜

AC=BC=2叵

二℃="W—AC?（20y=1

22

O2C=ylO2A-AC='（如『一（2&『=3

。［。2=。［。+。2。=1+3=4

或qq=O2C—O}C=3—1=2

©

,答案为2或4.

【点睛】此题主要考查垂径定理以及勾股定理的应用,注意有两种情况，不要遗漏.

1.己知勿为整数，且关于a二次三项式。？+机a+12可以用十字相乘法因式分解,

贝!]m-.

【难度】★★

【答案1±13、±8、±7.

【解析】由题意可知12=1x12=(—1)x(—12)=2x6=(—2)x(—6)=3x4=(—3)x(-4),

m=±13、±8、±7.

【总结】本题考查了十字相乘法的运用.

2.如果将抛物线y=-2d+8向右平移a个单位后，恰好过点(3,6),那么a的值为—

【难度】★★

【答案】2或4.

【解析】设平移后的解析式为尸一2(万一4+8,把(3,6)代入得：6=-2(3-«)2+8.

解得：q=2,4=4.

【总结】本题考查了二次函数的平移.

3.如果等腰三角形腰上的高等于腰的一半，那么这个等腰三角形的顶角等于度.

【难度】★★

【答案】30。或150。.

【解析】如图1，当AABC为钝角三角形时，由题意用得

2

・・・NABH=30°,，ZABC=150°.

如图2,当A45C为锐角三角形时，

由题意可得：AH=-AB,：.ZB=30°.

2

【总结】本题考查了等腰及直角三角形的性质.

图2

4.在M3C中，若然=15,阳边上的高力〃=12,tanZABD=-,则%=

4

【难度】★★

【答案】25或7.

【解析】如图1,由题意得8。=16,DC=9,

：.BC=BD+DC=25

如图2,由题意得B£>=16,QC=