2024届一轮复习命题方向精讲系列：10 指数与指数函数（原卷附答案）

第第页获取更多资料，关注微信公众号：Hi数学派考向10指数与指数函数1.指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，但应注意：(1)必须同底数幂相乘，指数才能相加；(2)运算的先后顺序.2.当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数.3.运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数.4.有关指数函数图象问题的解题思路(1)已知函数解析式判断其图象，一般是取特殊点，判断选项中的图象是否过这些点，若不满足则排除．(2)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．(3)有关指数方程、不等式问题的求解，往往是利用相应的指数型函数图象，数形结合求解．(4)根据指数函数图象判断底数大小的问题，可以通过直线x＝1与图象的交点进行判断．5.利用指数函数的性质比较幂值的大小，先看能否化成同底数，能化成同底数的先化成同底数幂，再利用函数单调性比较大小，不能化成同底数的，一般引入“1”等中间量比较大小；6.利用指数函数的性质解简单的指数方程或不等式，先利用幂的运算性质化为同底数幂，再利用函数单调性转化为一般不等式求解；7.解答指数函数性质的综合应用，首先判断指数型函数的性质，再利用其性质求解。1.画指数函数，且的图象，应抓住三个关键点:2.在第一象限内，指数函数且的图象越高，底数越大.3.有关指数型函数的性质(1)求复合函数的定义域与值域形如的函数的定义域就是的定义域.求形如的函数的值域，应先求出的值域，再由单调性求出的值域.若的范围不确定，则需对进行讨论.求形如的函数的值域，要先求出的值域，再结合的性质确定出的值域.(2)判断复合函数的单调性令，如果复合的两个函数与的单调性相同，那么复合后的函数在上是增函数；如果两者的单调性相异(即一增一减)，那么复合函数在上是减函数.(3)研究函数的奇偶性一是定义法，即首先是定义域关于原点对称，然后分析式子与的关系，最后确定函数的奇偶性.二是图象法，作出函数的图象或从已知函数图象观察，若图象关于坐标原点或轴对称，则函数具有奇偶性.1.指数及指数运算(1)根式的定义：一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，，记为，称为根指数，称为根底数．(2)根式的性质：当为奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数.当为偶数时，正数的次方根有两个，它们互为相反数.(3)指数的概念：指数是幂运算中的一个参数，为底数，为指数，指数位于底数的右上角，幂运算表示指数个底数相乘.(4)有理数指数幂的分类①正整数指数幂；②零指数幂；③负整数指数幂，；④的正分数指数幂等于，的负分数指数幂没有意义．(5)有理数指数幂的性质①，，；②，，；③，，；④，，．2.指数函数图象性质①定义域，值域②，即时，，图象都经过点③，即时，等于底数④在定义域上是单调减函数在定义域上是单调增函数⑤时，；时，时，；时，⑥既不是奇函数，也不是偶函数1．（2022·甘肃·高台县第一中学模拟预测（文））设，且，则=（

）A．4 B．5 C．6 D．72．（2022·青海·大通回族土族自治县教学研究室三模（文））已知，，，则正数，，的大小关系为（

）A． B． C． D．3．（2022·上海交大附中模拟预测）设实数且，已知函数，则__________．4．（2022·全国·模拟预测（理））已知函数为偶函数，则______．5．（2022·上海市七宝中学模拟预测）已知集合，，则_______.6．（2022·湖北·黄冈中学三模）已知函数，则________.1．（2022·河南·通许县第一高级中学模拟预测（文））定义：设函数的定义域为，如果，使得在上的值域为，则称函数在上为“等域函数”，若定义域为的函数（，）在定义域的某个闭区间上为“等域函数”，则的取值范围为（

）A． B． C． D．2．（2022·全国·郑州一中模拟预测（理））在科学研究中，常用高德纳箭头来表示很大的数.对正整数a，b，c，把记作，并规定，，则的数量级为（

）（参考数据：）A． B． C． D．3．（2022·山东师范大学附中模拟预测）已知某电子产品电池充满时的电量为3000毫安时，且在待机状态下有两种不同的耗电模式可供选择.模式A：电量呈线性衰减，每小时耗电300毫安时；模式B：电量呈指数衰减，即：从当前时刻算起，t小时后的电量为当前电量的倍.现使该电子产品处于满电量待机状态时开启A模式，并在x小时后，切换为B模式，若使其在待机10小时后有超过5％的电量，则x的取值范围是（

）A． B． C． D．4．（2022·江西·上饶市第一中学模拟预测（理））已知，若，则n的最大值为（

）A．9 B．10 C．11 D．125．（2022·江西·临川一中模拟预测（理））已知函数，设为实数，且．下列结论正确的是（

）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则6．（2022·安徽·肥东县第二中学模拟预测（文））若，，，，则，，这三个数的大小关系为（

）A． B．C． D．7．（2022·安徽·合肥一中模拟预测（理））设函数（），若，则x的取值范围是（

）A． B． C． D．8．（2022·上海交大附中模拟预测）设实数且，已知函数，则__________．9．（2022·四川·成都市锦江区嘉祥外国语高级中学模拟预测（理））已知函数，，记与图像的交点横，纵坐标之和分别为与，则的值为________.10．（2022·河南·模拟预测（文））函数在的值域为______．11．（2022·新疆阿勒泰·三模（理））函数图象过定点，点在直线上，则最小值为___________.12．（2022·山西·二模（理））已知函数给出下列结论：①是偶函数；②在上是增函数；③若，则点与原点连线的斜率恒为正．其中正确结论的序号为______．13．（2022·江苏南通·模拟预测）若，则的最小值为_________．14．（2022·北京·一模）若函数的值域为，则实数的一个取值可以为___________.15．（2022·河北邯郸·一模）不等式的解集为___________.16．（2022··模拟预测（理））已知函数，则不等式的解集为___________.17．（2022·辽宁实验中学模拟预测）偶函数的值域为______．18．（2022·福建龙岩·一模）已知函数，若方程有解，则实数的取值范围是_________．19．（2022·山东临沂·一模）已知函数，则不等式的解集是______.20．（2022·上海市七宝中学模拟预测）已知不等式，对于恒成立，则实数的取值范围是_________．1．（2022·北京·高考真题）己知函数，则对任意实数x，有（

）A． B．C． D．2．（2022·全国·高考真题（文））已知，则（

）A． B． C． D．3．（2020·全国·高考真题（理））若，则（

）A． B． C． D．4．（2020·全国·高考真题（文））设，则（

）A． B． C． D．5．（2016·全国·高考真题（理））已知，，，则A． B．C． D．6．（2014·江西·高考真题（文））已知函数f(x)=(a∈R)，若，则a=（

）A． B． C．1 D．27．（2016·全国·高考真题（文））已知，则A． B．C． D．8．（2015·山东·高考真题（文））设则的大小关系是A． B． C． D．9．（2011·山东·高考真题（理））若点在函数的图象上，则的值为A．0 B． C．1 D．10．（2017·全国·高考真题（理））设函数则满足的x的取值范围是____________.11．（2015·山东·高考真题（理））已知函数的定义域和值域都是，则_____________.12．（2015·福建·高考真题（文））若函数满足，且在单调递增，则实数的最小值等于_______．13．（2013·上海·高考真题（理））方程的实数解为_________.1．【答案】B【解析】由题意，函数，因为，可得，解得，即，所以.故选：B.2．【答案】A【解析】由，得，由，得，因此，，即，由，得，于是得，所以正数，，的大小关系为.故选：A3．【答案】1【解析】，而，则；故答案为：14．【答案】1【解析】函数为偶函数，则有，即恒成立则恒成立即恒成立则，经检验符合题意.故答案为：15．【答案】.【解析】，；，；.故答案为：.6．【答案】【解析】因为，则.故答案为：.1．【答案】C【解析】当时，函数在上为减函数，若在其定义域的某个闭区间上为“等域函数”，则存在，（）使得，所以，消去，得，令，则，当时，，所以在上是单调增函数，所以符合条件的，不存在.当时，函数在上为增函数，若在其定义域的某个闭区间上为“等域函数”，则存在，（）使得，，即方程在上有两个不等实根，即在上有两个不等实根，设函数（），则，当时，；当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，所以在处取得极大值，也是最大值，所以，又，，故，即.故选：C.2．【答案】C【解析】由题意可得，，∴.∵，∴.故选:C.3．【答案】C【解析】由题意得，小时后的电量为毫安，此时转为B模式，可得10小时后的电量为，则由题意可得，化简得，即令，则，由题意得，则，令分别为1，2时，这个不等式左右两边大小相等，由函数和的图象可知，该不等式的解集为，所以，得，故选：C4．【答案】B【解析】因为当时，，所以，又，所以，所以，，，所以若，则n的最大值为10，故选：B.5．【答案】D【解析】，因为，均为增函数，所以为增函数，易求值域为；又，所以是奇函数，图像关于对称.因为，，不妨设；作出简图如下:设点，此时直线的方程为，由图可知，两式相加可得；因为所以，即.故选：D.6．【答案】C【解析】因为，所以取，则，，，所以.故选：C.7．【答案】A【解析】函数，，定义域关于原点对称，且，所以是奇函数，当时，，，则，，所以，即，所以函数单调递增，所以当时，函数单调递增，所以函数当单调递增所以令，，解得，令，则在上单调递增，原不等式可化为，而，所以，解得，则，即解集为．故选：A．8．【答案】1【解析】，而，则；故答案为：19．【答案】.【解析】在和上都单调递减，且关于点成中心对称，在上单调递增，，所以的图像也关于点成中心对称，所以与图像有两个交点且关于点对称，设这两个交点为、，则，，所以，，所以.故答案为：.10．【答案】【解析】解：，设，当时，，所以，所以在的值域为．故答案为：．11．【答案】##4.5【解析】当时，，过定点，又点在直线上，，即，，，，（当且仅当，即，时取等号），的最小值为.故答案为：.12．【答案】①③【解析】函数的定义域为.对于①：因为，所以是偶函数.故①正确；对于②：取特殊值：由，，得到，不符合增函数，可得②错误；对于③：当时，点与原点连线的斜率为.因为，所以，所以，所以.故③正确；所以正确结论的序号为①③．故答案为：①③13．【答案】【解析】依题意，，，则，当且仅当，即时取“=”，此时，，所以，当时，取最小值.故答案为：14．【答案】1【解析】如果，，其值域为，，不符合题意；如果，当时，，就是把函数的部分以x轴为对称轴翻折上去，∴此时的最小值为0，的最小值为-1，值域为，所以，不妨取；故答案为：1.15．【答案】【解析】由，可得.令，因为均为上单调递减函数则在上单调逆减，且，，故不等式的解集为.故答案为：.16．【答案】【解析】函数的定义域为，，所以，函数为偶函数，当时，为增函数，因为，则，所以，，所以，，所以，，因为，故恒成立，由可得，解得.因此，原不等式的解集为.故答案为：.17．【答案】【解析】由题设，，故，所以，当且仅当时等号成立，又，所以的值域为.故答案为：.18．【答案】【解析】由题意得：有解令有解，即有解，显然无意义,当且仅当，即时取等，故答案为：.19．【答案】，【解析】构造函数，那么是单调递增函数，且向左移动一个单位得到，的定义域为，且，所以为奇函数，图象关于原点对称，所以图象关于对称．不等式等价于，等价于结合单调递增可知，所以不等式的解集是，．故答案为：，．20．【答案】，，【解析】设，，则，对于，恒成立，即，对于，恒成立，∴，即，解得或，即或，解得或，综上，的取值范围为，，．故答案为：，，﹒1．【答案】C【解析】，故A错误，C正确；，不是常数，故BD错误；故选：C．2．【答案】A【解析】由可得，而，所以，即，所以．又，所以，即，所以．综上，．故选：A.3．【答案】A【解析】由得：，令，为上的增函数，为上的减函数，为上的增函数，，，，，则A正确，B错误；与的大小不确定，故CD无法确定.故选：A.4．【答案】B【解析】由可得，所以，所以有，故选：B.5．【答案】A【解析】【详解】因为，，，因为幂函数在R上单调递增，所以，因为指数函数在R上单调递增，所以，即b<a<c.故选：A.6．【答案】A【解析】解：由题意得，所以，解得a=.故选：A7．【答案】A【解析】【详解】因为，且幂函数在上单调递增，所以b<a<c.故选A.8．【答案】C【解析】【详解】由在区间是单调减函数可知，，又，故选.考点：1.指数函数的性质；2.函数值