立体几何训练及答案

空间几何体的结构及其三视图和直观图一、选择题1.下列命题中正确的个数是（）由五个面围成的多面体只能是四棱锥；②用一个平面去截棱锥便可得到棱台；③仅有一组对面平行的五面体是棱台；④有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥.B.1个AB.1个C.2个DC.2个【解析】对于①，五个面围成的多面体也可以是三棱柱或三棱台，故①错;对于②，当平面与棱锥底面不平行时，截得的几何体不是棱台，故②错；对于③，仅有一组对面平行的五面体也可能是三棱柱，故③错；对于④，当三角形面没有一个公共顶点时，也不是棱锥，故④错.【答案】A2.（2013•青岛质检）将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图7-1-11所示，则该几何体的侧视图为（A所示，则该几何体的侧视图为（A【解析】如图所示，点Q的投影为q,点D的投影为C,点A的投影为GBiCB左视图GBiCB左视图【答案】D3.如图7-1-12所示正三棱柱ABC~A1B1C1的主视图（又称正视图）是边长为4的正方形，则此正三棱柱的侧视图（又称左视图）的面积为（）a2bmtB主视图图7-1-12A.16 B.2腰C.4© D.8展【解析】由主视图知，正三棱柱底面边长为4,侧棱长为4,则正三棱柱的侧视图是高为4,底边长为2项3的矩形，从而侧视图的面积为5^=4X273=侧」8、B【答案】D4.（2013-武汉模拟）如图7-1-13是一正方体被过棱的中点M、N和顶点A、d、q的两个截面截去两个角后所得的几何体，则该几何体的正视图为（）图7-1-13【解析】由几何体知，边界线AM可视，DC】不可视，且点M在正方体后侧面上的射影是边的中点，故选B.【答案】B5.（2013-郑州模拟）已知正三棱锥V-ABC的主视图、俯视图如图7-1-14所示，其中VA=4,AC=2<3，则该三棱锥的左视图的面积为（）2J3主视图 俯视图图7-1-14A.9 B.6C.3、舟Da.''39【解析】由主视图和俯视图知，正三棱锥的底面边长为2\&侧棱长为4,由俯视图知，正三棱锥的左视图是以BC为底边的等腰三角形，其高为正三棱锥的高，因为正三棱锥的高h=2胰，故左视图的面积S左=|x^,''3X^1'，3=6.【答案】B6.对于长和宽分别相等的两个矩形，给出下列三个命题：①存在三棱柱，其正（主）视图、俯视图如图7-1-15所示；②存在四棱柱，其正（主）视图、俯视图如图7-1-15所示;③存在圆柱，其正（主）视图、俯视图如图7-1-15所示.其中真命题的个数是（）正（主）视图俯视图图7-1-15A.3 B.2C.1 D.0【解析】只要把底面为等腰直角三角形的直三棱柱的一个侧面放在水平面上，就可以使得这个三棱柱的正视图和俯视图符合要求，故命题①是真命题；把一个正四棱柱的一个侧面放置在水平面上，即可使得这个四棱柱的正视图和俯视图符合要求，命题②是真命题；只要把圆柱侧面的一条母线放置在水平面即符合要求，命题③也是真命题.【答案】A

二、填空题7.如图7—1—16,在正方体ABCD—A1B1C1D1中，点P是上底面A1B1C1D1内一动点，则三棱锥P—ABC的主视图与左视图的面积的比值为.图7图7—1—16【解析】三棱锥P—ABC的主视图与左视图为底边和高均相等的三角形，故它们的面积相等，面积比值为1.【答案】18.已知AABC是边长为a的等边三角形，则其直观图△△'B'C的面积【解析】如图所示，设△■'B'C'为、ABC的直观图，O'为A'B'的中点.由直观图的画法知A由直观图的画法知A'B'=a,OC=空=匝OC22 4，•.•SaA'B'C，=*'B'・(O'C'・sin45°)1/我"圭、还2=2•时4X2)=16a2.即边长为a的等边三角形的直观图的面积为*6^.【答案】率9.(2013・长春模拟)已知一几何体的三视图如图7—1—17所示，正视图和侧视图都是矩形，俯视图为正方形，在该几何体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何形体的 4个顶点，这些几何形体是（写出所有正确结论的编号）.图7-1-17矩形；不是矩形的平行四边形；有三个面为直角三角形，有一个面为等腰三角形的四面体；每个面都是等腰三角形的四面体；每个面都是直角三角形的四面体.【解析】由该几何体的三视图可知该几何体为底面边长为。，高为b的长方体，这四个顶点的几何形体若是平行四边形，则一定是矩形，故②不正确.【答案】①③④⑤三、解答题已知：图①是截去一个角的长方体，试按图示的方向画出其三视图；图②是某几何体的三视图，试说明该几何体的构成.俯视图①②图7-1-18【解】图①几何体的三视图为：

图②所示的几何体是上面为正六棱柱，下面为倒立的正六棱锥的组合体.如下的三个图中，上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图，它的正视图和侧视图在下面画出(单位：cm).正视图 侧视图图7-1-19在正视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图;按照给出的尺寸，求该多面体的体积；【解】(1)如图.⑵所求多面体的体积1 1 284一k=V长方体—V正"锥=4X4X6—3X(2X2X2)X2=-^(cm3).如图7-1-20是一个几何体的正视图和俯视图.俯视图图7-1-20(1)试判断该几何体是什么几何体；⑵画出其侧视图，并求该平面图形(侧视图)的面积.

【解】（1）由该几何体的正视图和俯视图可知该几何体是一个正六棱锥.⑵该几何体的侧视图，如图.BDCBDC其中AB=AC,ADVBC,且BC的长是俯视图正六边形对边间的距离，即BC=、：&,AD是正棱锥的高，则AD=•.』&,所以该平面图形（侧视图）的面积为1一一3-S=2X3aX-J3a=^a2.课后作业（四十一）空间几何体的表面积与体积一、选择题1.（2012•课标全国卷）如图7-2-11，网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（）图7图7-2-11A.A.6B.C.12D.18【解析】由题意知，此几何体是三棱锥，C.12D.18【解析】由题意知，此几何体是三棱锥，其高h=3,相应底面面积为S1=2X6X3=91 1V=3Sh=§X9X3=9.【答案】2.长方体的三个相邻面的面积分别为2,3,6，这个长方体的顶点都在同一个球面上，则这个球的面积为（）A.2nB.A.2nC.14nDC.14nab=2【解析】设长方体的过同一顶点的三条棱长分别为a,b,c，则|bc=3,^ac=6（一a=2得＜b=1,'c=3令球的半径为R,^寸（2火）2=22+12+32=14,7.顼2=2,.指球=4洲2=14兀【答案】C如图7-2-12所示，已知三棱柱ABC—A1B1C1的所有棱长均为1,且TOC\o"1-5"\h\zAA1±底面ABC,则三棱锥B1—ABC1的体积为（ ）图7-2-12A查 B吏a.]2 B.4C通 D如c.]2 D.4【解析】在△ABC中，BC边长的高为W3,即棱锥A—BB1C1上的高为勇3,又SABB1C1=|,•••VB1—ABC1=KA—BB1C1=1^23x1=君.【答案】A（2013-西安八校联考）若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图7-2-13所小，其顶点都在一个球面上，则球的表面积为（）图7图7-2-134a.3兀C.19nTD.C.19nTD.19n12【解析】如图所示，F、H是正三棱柱上下底面的中心，则球心O是FH的中点，由三视图知AB=2,FH=1,则AE=指，2志 1AF=~3-,OF=2・・O.A・・O.A=1912・球的表面积S球=4nOA2=~3~.【答案】C5.（2013-潍坊模拟）如图7-2-14为某个几何体的三视图，则该几何体的侧面积为（）俯视图图俯视图图7-2-14B.B.12+4nD.12+8nA.16+4兀C.16+8n【解析】易知该几何体是一个半圆柱和一个三棱柱的组合体，其侧面积为4n+6+10=16+4n.

【答案】A6.（2013-广州模拟）如图7-2-15，某几何体的正视图（主视图），侧视图（左视图）和俯视图分别是等边三角形，等腰三角形和菱形，则该几何体体积为（）侧视图侧视图图7-2-15B.4AB.4D.2C.D.2【解析】 由三视图知，该几何体为四棱锥，如图所示.依题意AB=2、.]3,菱形BCDE中BE=EC=2.•••BO=顼22-12=展，则AO=^AB2-BO2=3,, 1 1 2X2、朽 l因此VA-BCDE=3AOS四边形DE=3X3 =2"【答案】C二、填空题7.（2012•辽宁高考）一个几何体的三视图如图7-2-16所示，则该几何体的表面积为.

图7-2-16【解析】 根据三视图可知几何体是一个长方体挖去一个圆柱，所以S=2X(4+3+12)+2n—2n=38.【答案】388.圆锥的全面积为15ncm2,侧面展开图的圆心角为60°,则该圆锥的体积为cm3.【解析】设底面圆的半径为r,母线长为s【解析】设底面圆的半径为r,母线长为s则侧面积为2X(2nr)a=nra.'nra+nr2=15n由题意得1 1nra=Tna26r2=解得1、a2=T36X157，故圆锥的高h=\.'a2-r2=5\j3,所以体积为V=3^r2h=%X号X5”..《3=-^^-n(cm3).【答案】【答案】一个几何体的三视图如图7-2-17，该几何体的表面积为正住）视图 侧佐）视图正住）视图 侧佐）视图图7-2-17【解析】该几何体的直观图如图所示，将小长方体的上底面补到大长方体被遮住的部分，则所求的表面积为小长方体的侧面积加上大长方体的表面积，•.•S=S侧+S表=6X8X2+2X8X2+(2X8+2X10+8X10)X2=360.【答案】360三、解答题若一个底面边长为学，侧棱长为'.涵的正六棱柱的所有顶点都在一个球面上，求该球的体积和表面积.【解】在底面正六边形ABCDEF中，连接BE、AD交于0,连接BE,则BE=20E=2DE,「.BE=崩，TOC\o"1-5"\h\zFi EiZ Di'd''r,/|B C在Rt△BEE1中，BE1=\jBE2+EE=2捐,...2R=2-.../3，贝寸R=3,.•.球的体积V=^nR3=4-展兀，球的表面积S=4nR2=12n.

球3 球如图7-2-18，已知某几何体的三视图如下(单位：cm).俯视图俯视图图7-2-18⑴画出这个几何体的直观图(不要求写画法);(2)求这个几何体的表面积及体积.【解】(1)这个几何体的直观图如图所示.(2)这个几何体可看成是正方体AC1及直三棱柱B1C1Q—A1D1P的组合体.由PA1=PD1=^2,A1D1=AD=2，可得P41±PD1，故所求几何体的表面积S=5X22+2X2X点+2X^X(很)2=(22+4\/2)(cm2),所求几何体的体积V=23+§X(、J2)2X2=10(cm3).12.如图7-2-19，已知平行四边形ABCD中，BC=2,BD±CD，四边形ADEF为正方形，平面ADEF1平面ABCD,G,H分别是DF,BE的中点.记CD=x,k(x)表示四棱锥F—ABCD的体积.图7图7-2-19⑴求k(x)的表达式；(2)求V(x)的最大值.【解】(1)P平面ADEFL平面ABCD,交线为AD且FA1AD,AFA1平

面ABCD.•.•BD4CD,BC=2,CD=x,•••FA=2,BD=J4-x2(0〈x<2),二SmcD=CDBD=x.J’4-x2,oABCDV(x)=^1SABC^D-FA=2司4-x2(0<x<2).(2)V(x)=|x^'4-x2=*-x4+4x2=京-(x2-2)2+4....0<x<2,...0<x2<4, 当x2=2,即x=/2时，V(x)取得最大值，且V(x)max43.课后作业（四十二）空间点、直线、平面之课后作业（四十二）空间点、直线、平面之间的位置关系一、选择题阿1.（2013•台州模拟）以下四个命题中不共面的四点中，其中任意三点不共线；若点A、B、C、D共面，点A、B、C、E共面，则点A、B、C、D、E共面；若直线a、b共面，直线a、c共面，则直线b、c共面；依次首尾相接的四条线段必共面.正确命题的个数是（）A.0 B.1C.2 D.3【解析】①中显然是正确的；②中若A、B、C三点共线则A、B、C、D、E五点不一定共面.③构造长方体或正方体，如图显然b、c异面故不正确.④中空间四边形中四条线段不共面，故只有①正确.【答案】B2.已知异面直线a,b分别在平面a,B内，且aO[=c,那么直线c一定（与a,b都相交只能与a,b中的一条相交至少与a,b中的一条相交。.与a,b都平行【解析】若c与a,b都不相交，则c与a,b都平行，则aHb与a,b异面相矛盾.【答案】C3.如图7-3-8所示，ABC。一A^C]?是长方体，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M,则下列结论正确的是（ ）B图7-3-8A,M,O三点共线A,M,O,A1不共面A,M,C,O不共面B,B1,O,M共面【解析】 连接A1C1,AC,则A1C1IIAC,..•A],C1,A,C四点共面，二A1C平面ACC]A],•/M6A1C,AM6平面ACC1A1，又ME平面AB1D1,•••M在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上，同理O在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上.•A,M,O三点共线.【答案】A4.如图是正方体或四面体，P,Q,R,S分别是所在棱的中点，这四个点不共面的一个图是（）SS【解析】在A图中分别连接PS,QR,易证PSIIQR,.",Q,R,S共面；在C图中分别连接PQ,RS,易证PQIIRS,.",Q,R,S共面.如图，在B图中过P,Q,R,S可作一正六边形，故四点共面;D图中PS与QR为异面直线，四点不共面，故选D.【答案】D5.（2013-青岛质检）如图7-3-9，正三棱柱ABC—A1B1C1的各棱长（包括底面边长）都是2,E,F分别是AB,A1C1的中点，则EF与侧棱C1C所成的角的余弦值是（）图7图7-3-9D.D.2【解析】如图，取AC中点G,连FG、EG,则FGIIC1C,FG=C1C;EG【解析】IIBC,EG=2bC,故ZEFG即为EF与C1C所成的角，在Rt△EFG中，cosZFG22必EFG=fe= 号.【答案】B6.设A,B,C,D是空间四个不同的点，在下列命题中，不正确的最 ）若AC与BD共面，则AD与BC共面若AC与BD是异面直线，则人2与BC是异面直线若AB=AC，DB=DC，贝UAD=BC若AB=AC，DB=DC，贝UAD±BC【解析】由公理1知，命题A正确.对于B,假设AD与BC共面，由A正确得AC与BD共面，这与题设矛盾，故假设不成立，从而结论正确.对于C,如图，当AB=AC,DB=DC,使二面角A—BC—D的大小变化时，AD与BC不一定相等，故不正确.对于D,如图，取BC的中点E,连接AE,DE,则由题设得BC1AE,BCIDE.才艮据线面垂直的判定定理得BC1平面ADE,从而AD1BC.故D正确.【答案】C二、填空题7.（2013-合肥质检）如图7-3-10是正四面体的平面展开图，G、H、M、N分别为DE、BE、EF、EC的中点，在这个正四面体中，BHENC图7-3-10GH^EF平行；BD与MN为异面直线；GH^MN成60°角；DE与MN垂直.以上四个命题中，正确命题的序号是 .【解析】还原成正四面体知GH与EF为异面直线，BD与MN为异面直线，GH与MN成60°角，DE1MN.【答案】②③④（2013-杭州模拟）设a，b,c是空间中的三条直线，下面给出五个命题：若a〃b,b〃c,则allc；若aXb,bXc,则a〃c；若a与b相交，b与c相交，则a与c相交；若aU平面a，bU平面"，则a，b一定是异面直线；若a，b与c成等角，则a〃b.上述命题中正确的命题是 （只填序号）.【解析】由公理4知①正确；当alb,blc时，a与c可以相交、平行，也可以异面，故②不正确；当a与b相交，b与c相交时，a与c可以相交、平行，也可以异面，故③不正确；aUa，bUg，并不能说明a与b“不同在任何一个平面内"，故④不正确；当a，b与c成等角时，a与b可以相交、平行，也可以异面，故⑤不正确.【答案】①如图7-3-11所示，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，D是AC的中点，AA1:AB=V2:1，则异面直线AB1与BD所成的角为.A图7-3-11

【解析】取A1C1的中点D1,连接B1D1,因为D是AC的中点，所以B1D1IIBD,所以^AB1D1即为异面直线AB1与BD所成的角.连接AD1,设AB=a,则AA1=.2a,所以AB1=\;3a,B1D1=«a,AD11c34aAD11c34a2+2a2=2a.c3 93a2c3 93a2+4a2-4a2所以cosZAB1D1= 32X“：J3aX^2a12,所以ZAB1D1=60°.【答案】60°三、解答题10.如图7-3-12所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E,AA］的中点，画出平面BED1F与平面ABCD的交线.F分别为Cq,图7图7-3-12延长D1F,设为P,【解】在平面AA1D1D内，•.•DF与DA不平行，•.•DF与DA必相交于一点，则P6D1F,P6DA.又•.•D1FU平面BED1F,ADU平面ABCD,•.•P6平面BED1F,一6平面ABCD.又B为平面ABCD与平面BED1F的公共点，连接PB,•PB即为平面BED1F与平面ABCD的交线.如图所示.11.如图7-3-13所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E,F分别为A1A,C1C的中点，求证：四边形EBFD1是菱形.图7-3-13【证明】如图所示，取B1B的中点G,连接GC1，EG,vGBIIC1F,且GB=C/,四边形C1FBG是平行四边形，FBIC1G，且FB=C1G,•D1C1IEG，且D1C1=EG,四边形D1C1GE为平行四边形.GC1ID1E，且GC1=D1E,FBID1E，且FB=DE，四边形EBFD1为平行四边形.又...FB=FD1，.・.四边形EBFD1是菱形.12.已知正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别为。匕/凸的中点，ACHBD

=P,A1C1^EF=Q.求证：D、B、F、E四点共面；若A1C交平面DBFE于R点，则P、Q、R三点共线.【证明】(1)如图所示，因为EF是^D1B1C1的中位线，所以EFIIB1D1.在正方体AC1中，B1D1IIBD,所以EFIIBD.所以EF,BD确定一个平面，即D、B、F、E四点共面.⑵在正方体AC1中，设平面A^ACC1确定的平面为G,又设平面BDEF为g.因为Q6A1C1，所以Q^a.又QCEF，所以Q".则Q是a与g的公共点，同理，P点也是a与g的公共点.所以a°g=PQ.又A1CAg=R，所以R6A1C,R£a且R「g.则R6PQ,故P、Q、R三点共线.课后作业(四十三)直线、平面平行的判定课后作业(四十三)直线、平面平行的判定及其性质一、选择题(2013-威海模拟)设a、g是两个不同的平面，m、n是平面a内的两条不同直线，«,12是平面g内的两条相交直线，则allg的一个充分而不必要条件是()A.m〃g且/]〃a B.m〃g且nl12C.mlg且n〃g D.m〃/]且nl12【解析】mIIk，且nill2=allg,但aIgD/^mIl1且nI12,“mIl1，且nII12"是“aIg"的一个充分不必要条件.【答案】D在空间四边形ABCD中，E、F分别是AB和BC上的点，若AE:EB=

CF:FB=1:2,则对角线AC和平面DEF的位置关系是（ ）A.平行CA.平行C.在平面内D.不能确定【解析】如图，由EE节得ACIIEF.又因为EFU平面DEF,ACG平面DEF,所以ACI平面DEF.【答案】A3.（2013-西安模拟）设m,n是两条不同的直线，a,.,y是三个不同的平面，给出下列四个命题：若mVa,nila，贝UmXn；若a〃月，月〃Y，mXa，则mX/；若mHa，n〃a，则m〃n；若a±Y，^±Y，则a〃§.其中正确命题的序号是（）A.①和② B.②和③③和④ D.①和④【解析】对于①，由线面平行的性质及线面垂直的定义可知正确；对于②，由aI6,61知aII/，由m.a知mly，故②正确；对于③，m与n可能平行，相交或异面，故③错；对于④，a与6可能相交，故④错.【答案】A4.（2013-石家庄模拟）给出下列关于互不相同的直线l、m、n和平面a、6、Y的三个命题：①若l①若l与m为异面直线，lUa，mU6，贝Ua〃6；若a〃6，lUa，mU6，则l〃m；若aOg=l，6^Y=m，y^a=n，l〃Y，则m〃n.其中真命题的个数为（）

B.2AB.2C.1 D.0【解析】①中当a与&不平行时，也可能存在符合题意的1、m.中1与m也可能异面.11” 、中1U. >niIIm，同理1Hn，则mHn，正确.fiHy=m^【答案】C5.如图7-4-10所示，若Q是长方体ABCD—A1B1C1D1被平面EFGH截去几何体EFGHB1C1后得到的几何体，其中E为线段A1B1上异于B］的点，F为线段BB1上异于B］的点，且EH^A1D1，则下列结论中不正确的是（）图7-4-10EH〃FG四边形EFGH是矩形Q是棱柱Q是棱台【解析】..•EHHA1D1，...EHHB1C1，•••EHI平面BB1C1C.由线面平行性质，EHIIFG.同理EFIIGH.且B1C1±面EB1F.由直棱柱定义知几何体B1EF—C1HG为直三棱柱，四边形EFGH为矩形，Q为五棱柱.故选D.【答案】D6.在三棱锥P—ABC中，点D在PA上，且PD=2dA，过点D作平行于底面ABC的平面，交PB，PC于点E，F，若AABC的面积为9，则^DEF的面积

是（）B.2AB.29TOC\o"1-5"\h\zC.4 D.4【解析】由于平面DEFH底面人8。，因此DEIIAB,DFIIAC,EFIIBC,*,DEDFEF S1所以AB=AC=BC，所以△DEFs4ABC，所以S^DEF=（3）2，而S^B。=9，所以△ABC △Sg=\，故选A.【答案】A二、填空题7.在四面体A—BCD中，M、N分别是△ACD、ABCD的重心，则四面体的四个面中与MN平行的是 .【解析】如图，取CD的中点E.AA贝寸EM：MA=1：2,EN:BN=1:2,所以MNIIAB.所以MNI面ABD,MNI面ABC.【答案】面ABD与面ABC8.如图7-4-11所示，棱柱ABC—A1B1C1的侧面BCC^是菱形，设D是A1C1上的点且A1B〃平面B1CD，则A1D:DQ的值为.BB图7-4-11【解析】设BC1nB1C=O，连接OD,^A1B//平面B1CD且平面A1BC1E平面B1CD=OD,^A1BIIOD,・「四边形BCC1B1是菱形，•••O为BC1的中点，•.•D为A1C1的中点，则A1D:DC1=1.【答案】19.(2013-徐州模拟)如图7-4-12所示，在四面体ABCD中，截面PQMN是正方形，则在下列结论中，错误的为.图7-4-12AC±BD；AC〃截面PQMN；AC=BD；异面直线PM与BD所成的角为45°.【解析】PQMN是正方形,「.MNIPQ，则MNI平面ABC,由线面平行的性质知MNIIAC,则ACII平面PQMN,同理可得MQIBD，又MN1QM，则ACLBD，故(1)(2)正确.又•.•BDIMQ,「.异面直线PM与BD所成的角即为ZPMQ=45°,故(4)正确.【答案】(3)三、解答题10.在多面体ABCDEF中，点O是矩形ABCD的对角线的交点，三角形CDE是等边三角形，棱EF〃BC且EF=2bC.求证：FO〃平面CDE.图7-4-13【证明】取CD中点M,连接OM,EM,在矩形ABCD中，OMIIBC且OM=t^BC,又EFIIBC且EF=^BC,则EFIIOM且EF=OM.所以四边形EFOM为平行四边形，所以FOIIEM.又因为FOG平面CDE,且EMU平面CDE,所以FOI平面CDE.11.在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB=BC=1,AA1=2,点M是BC的中点，点N是AA］的中点.图7-4-14(1)求证：MN〃平面A1CD；⑵过N,C,D三点的平面把长方体ABCD—A1B1C1D1截成两部分几何体，求所截成的两部分几何体的体积的比值.【解】(1)证明取AD的中点P,A1D的中点归，连接NE、EC.又...》是AA］的中点，.••NE嵌APMMC,四边形NECM为平行四边形，...MNHEC,又•:ECU平面ArCD,MNG平面A1CD,..MNH平面A1CD.(2)取8鸟的中点0连接NQ、CQ、ND,因为点N是AA1的中点，所以NQHAB.因为ABIICD,所以NQHCD,所以过N、C、D三点的平面NQCD把长方体ABCD—A1B1C1D1截成两部分几何体，其中一部分几何体为直三棱柱QBC—NAD,另一部分几何体为直四棱柱BlQCCl—A1NDDl.所以SaQbc=2QBBC=2x1X1=!所以直三棱柱QBC—NAD的体积1*=S^qbc'AB=2.因为长方体ABCD—A1B1C1D1的体积k=1X1X2=2.所以直四棱柱B1QCC1—A1NDD1的体积3L-匕=2,1所弋=3=1.2所以所截成的两部分几何体的体积的比值为3.12.如图7-4-15所示，在四面体ABCD中，截面EFGH平行于对棱AB和CD.图7图7-4-15（1） 判断截面的形状；（2） 试问截面在什么位置时其截面面积最大.【解】（1）・.*8//平面EFGH,平面EFGH与平面ABC和平面ABD分别交于FG、EH.•••ABHFG,ABIIEH,「・FGIIEH,同理可证EFIGH,「.截面EFGH是平行四边形.（2）设AB=a,CD=b,ZFGH=a.又设FG=x,GH=y,xCGyBG则由平面几何知识可尊=BC，b=BC，xy b两式相加得a+b=i，即y=a（a_x）,•.•Sefgh=FG・gh•而ab.bsina absina=x^a*(a—x)・sina=~a~x(a-x)W—4—•••x>0,a-x>0,且x+(a-x)=a为定值...•当且仅当x=a-x,an,xan,x=2时，S口EFGH最大为absina~4~即当截面EFGH的顶点E、F、G、H为棱AD、AC、BC、BD的中点时，截面面积最大.课后作业（四十四）直线、平面垂直的判定课后作业（四十四）直线、平面垂直的判定及其性质一、选择题1.（2013・宝鸡模拟）a、快y为不同的平面，m,n,l为不同的直线，则m±万的一个充分条件是（）A.n^a,n—g,m^a B.aAy=m,a^y,p^yC.a—y,p—y,m—a D.a—p,aAp=l,m—l【解析】由n^a,nip知aHp，又m♦a,「•m1p,但当m.p时，n±a,nip不一定成立，故选A.【答案】A（2013-深圳模拟）设a,b是两条不同的直线，a、p是两个不同的平面，则下列四个命题中正确命题的个数是（）①若a—b,a—a,b'a,^Ub〃a:②若a〃a,a—p，贝Ua—p:③若a—p,a—p，则a〃a或aUa:④若a—b,a—a,b—p，则a—p.TOC\o"1-5"\h\zA.1 B.2C.3 D.4【解析】由空间线面位置关系容易判断①②③④均正确.【答案】D如图7—5—9,B4—正方形人88,下列结论中不正确的是（ ）p图7—5—9A.PB—BC B.PD—CDC.PD—BD D.PA—BD【解析】由CB1BA,CBIPA,PAABA=A，知CB1平面PAB,故CB1PB,即A正确；同理B正确；由条件易知D正确，故选C.【答案】C4.（2013-银川模拟）如图7—5—10正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,线段B1D1上有两个动点E、尸，且EF=2,则下列结论中错误的是（）fiiD A图7-5-10ACLBEEg〃平面ABCD三棱锥A—BEF的体积为定值AAEF的面积与^8归尸的面积相等【解析】连接BD,则AC1平面BB[D[D,BDIIB1D1，从而A、B、C正确.因为点A、B到直线BR的距离不相等，所以^AEF与^BEF的面积不相等，故选D.【答案】D5.如图7-5-11所示，四边形ABCD中，AD〃BC,AD=AB,/BCD=45°,/BAD=90°.将AADB沿BD折起，使平面ABD1平面BCD,构成三棱锥A—BCD.则在三棱锥A—BCD中，下列命题正确的是（）图7-5-11B.AB±平面BCDC.C.平面BCD±平面ABCD.平面ADC±平面ABC【解析】在四边形ABCD中，ADIIBC,AD=AB,ZBCD=45°,ZBAD=90°,/.BD1CD,又平面ABD1平面BCD,且平面ABDA平面BCD=BD,/.CD1平面ABD,ACD1AB,又ADIAB,故AB上平面ADC,从而平面ABCV平面ADC.【答案】D6.（2013-杭州模拟）如图7-5-12，正三角形PAD所在平面与正方形ABCD所在平面互相垂直，O为正方形ABCD的中心，M为正方形ABCD内一点，且满足MP=MC，则点M的轨迹为（）图7-5-12ABCD【解析】取AD的中点&连接PE,PC,CE.由PEVAD知PEV平面ABCD,从而平面PECV平面ABCD,取PC、AB的中点F、G,连接DF、DG、FG,由PD=DC知DFVPC,由DGVEC知,DG1平面PEC,又PC平面PEC,•.•DGVPC,DFADG=D,APC!平面DFG,又点F是PC的中点，因此线段DG上的点满足MP=MC，故选A.【答案】A二、填空题7.（2012-江苏高考）如图7-5-13,在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=3cm，AA1=2cm，则四棱锥A-BBRD的体积为cm3.图7-5-13【解析】关键是求出四棱锥A-BB1D1D的高.连接AC交BD于0,在长方体中，•.•AB=AD=3,.，.BD=3彖且ACVBD.又,/BB11底面ABCD,.BB1±AC.又DBnBB1=B,.AC!平面BB]D]D,.A0为四棱锥A-BB1D1D的高且A0=?BD=孕.S矩形BB]D]D=BDXBB=3X2=&J2,1re 1l3"巧•••VA-BB1D1D=3S矩形BB]D]D・A0=3X6*2X^-=6（cm3）.【答案】6如图7-5-14所示，在四棱锥P-ABCD中，PAL底面ABCD,且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足时，平面MBDL平面PCD.（只要填写一个你认为是正确的条件即可）.A B图7-5-14【解析】由定理可知，BD1PC..••当DM1PC时，即有PC1平面MBD,而PC平面PCD.平面MBD1平面PCD.【答案】DM±PC（答案不唯一）如图7-5-15所示，PA上圆0所在的平面，AB是圆0的直径，C是圆0上的一点，E、F分别是点A在PB、PC上的正投影，给出下列结论：图7-5-15①AFLPB:②EF±PB；@AF±BC；@AE±平面PBC.其中正确结论的序号是 .【解析】由题意知以上平面ABC,^PA1BC,又AC1BC,PAHAC=A,^BCL平面PAC./.BC1AF.VAF1PC,BC"C=C,/.AF1平面PBC,「.AFLPB,AF1BC.又AE1PB,AEHAF=A,^PB1平面AEF.•••PBLEF.故①②③正确.【答案】①②③三、解答题10.（2012-江苏高考）如图7-5-16，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，A1B1=A