新教材适用2023-2024学年高中数学第1章集合与常用逻辑用语1.4充分条件与必要条件1.4.1充分条件与必要条件素养作业新人教A版必修第一册

第一章1.41.4.1A组·基础自测一、选择题1．(多选题)下列是“集合P是集合Q的子集”的必要条件的是(AC)A．P∩Q＝P B．P∩Q＝∅C．P∪Q＝Q D．P∪Q＝P[解析]由“集合P是集合Q的子集”可推出P∩Q＝P，P∪Q＝Q，推不出P∩Q＝∅，P∪Q＝P.2．条件p：(a＋b)·(a－b)＝0，条件q：a＝b，则p是q的(B)A．充分条件B．必要条件C．既是充分条件也是必要条件D．既不是充分条件也不是必要条件[解析]由(a＋b)·(a－b)＝0知，a＝b或a＝－b，所以pq，q⇒p，所以p是q的必要条件．3．使不等式0＜x＜2成立的一个充分条件是(A)A．0＜x＜1 B．－eq\f(1,3)＜x＜1C．－1＜x＜2 D．0＜x＜3[解析]设p所对应的集合为A，q所对应的集合为B，则p成立的充分条件是q，转化为B⊆A，所以不等式0＜x＜2成立的充分条件对应的集合是集合{x|0＜x＜2}的子集，根据选项，只有A符合要求．4．钱大姐常说“好货不便宜”，她这句话的意思是“好货”是“不便宜”的(A)A．充分条件B．必要条件C．无法判断D．既不充分也不必要条件[解析]由题意可知，好货⇒不便宜，故选A．5．“x，y∈Q”是“xy∈Q”的(A)A．充分条件B．必要条件C．既是充分条件也是必要条件D．既不充分也不必要条件[解析]两个有理数的乘积仍为有理数，故“x，y∈Q”⇒“xy∈Q”，反之，当x＝y＝eq\r(2)，xy＝2∈Q，但x∉Q，y∉Q.故“xy∈Q”“x，y∈Q”．所以“x，y∈Q”是“xy∈Q”的充分条件．二、填空题6．已知命题p：整数a的末位是0，q：a能被5整除．则p是q的_充分_条件；q是p的_必要_条件．(用“充分”“必要”填空)[解析]因为p⇒q，所以p是q的充分条件，q是p的必要条件．7．下列说法正确的是_①③_.(只填序号)①“x>5”是“x>4”的充分条件；②“xy＝0”是“x＝0且y＝0”的充分条件；③“－2<x<2”是“x<2”的充分条件．[解析]②中由xy＝0不能推出x＝0且y＝0，则②错误；①③正确．8．已知A＝{x|1≤x≤2}，B＝{x|x<a}，如果B的充分条件是A，则实数a的取值范围是_{a|a>2}_.[解析]“B的充分条件是A”，即A是B的充分条件，得A⇒B，即A⊆B，得a>2.三、解答题9．下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？哪些命题中的p是q的必要条件？(1)p：数a能被6整除，q：数a能被3整除；(2)p：x>1，q：x2>1；(3)p：△ABC有两个角相等，q：△ABC是正三角形；(4)p：A∩B＝A，q：∁UB⊆∁UA．[解析](1)数a能被6整除，则一定能被3整除，反之不一定成立．即p⇒q，qp，所以p是q的充分条件，但p不是q的必要条件．(2)因为x2>1⇒x>1或x<－1，所以p⇒q，且qp.所以p是q的充分条件，但p不是q的必要条件．(3)△ABC中，有两个角相等时为等腰三角形，不一定为正三角形，即pq，且q⇒p，所以p不是q的充分条件，但p是q的必要条件．(4)画出Venn图(如图)可得．结合图形可知，A∩B＝A⇒A⊆B⇒∁UB⊆∁UA，反之也成立．所以p是q的充分条件，且p是q的必要条件．10．(1)是否存在实数m，使2x＋m<0是x＜－1或x>3的充分条件？(2)是否存在实数m，使2x＋m<0是x＜－1或x>3的必要条件？[解析](1)欲使2x＋m<0是x＜－1或x>3的充分条件，则只要eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x<－\f(m,2)))))⊆{x|x<－1，或x>3}，即只需－eq\f(m,2)≤－1，所以m≥2.故存在实数m≥2，使2x＋m<0是x＜－1或x>3的充分条件．(2)欲使2x＋m<0是x＜－1或x>3的必要条件，则只要{x|x<－1，或x>3}⊆eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x<－\f(m,2)))))，这是不可能的．故不存在实数m，使2x＋m<0是x＜－1或x>3的必要条件．B组·能力提升一、选择题1．设x，y是两个实数，命题：“x，y中至少有一个数大于1”的充分条件是(B)A．x＋y＝2 B．x＋y＞2C．x2＋y2＞2 D．xy＞1[解析]对于选项A，当x＝1，y＝1时，满足x＋y＝2，但命题不成立；对于选项C，D，当x＝－2，y＝－3时，满足x2＋y2＞2，xy＞1，但命题不成立，也不符合题意．2．已知集合A＝{x∈R|－1<x<3}，B＝{x∈R|－1<x<m＋1}，若x∈B成立的一个充分条件是x∈A，则实数m的取值范围是(A)A．{m|m≥2} B．{m|m≤2}C．{m|m>2} D．{m|－2<m<2}[解析]因为x∈B成立的一个充分条件是x∈A，所以A⊆B，所以3≤m＋1，即m≥2.3．(多选题)有以下说法，其中正确的为(ACD)A．“m是有理数”是“m是实数”的充分条件B．“x∈(A∩B)”是“x∈A”必要条件C．“x2－2x－3＝0”是“x＝3”的必要条件D．“x>3”是“x2>4”的充分条件[解析]x∈Ax∈(A∩B)，故B错，A、C、D都正确，故选ACD.二、填空题4．给出下列四个条件：①a>0，b>0；②a<0，b<0；③a＝3，b＝－2；④a>0，b<0且|a|>|b|，其中_①③④_是a＋b>0的充分条件．(填序号)5．条件p：1－x<0，条件q：x>a，若p是q的充分条件，则a的取值范围_{a|a≤1}_.三、解答题6．是否存在实数p，使4x＋p<0是x>2或x<－1的充分条件？如果存在，求出p的取值范围；否则，说明理由．[解析]令A＝{x|x>2或x<－1}．由4x＋p<0，得B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x<－\f(p,4))).当B⊆A时，即－eq\f(p,4)≤－1，即p≥4，此时x<－eq\f(p,4)≤－1⇒x>2或x<－1，∴当p≥4时，4x＋p<0是x>2或x<－1的充分条件．C组·创新拓展设全集U＝R，集合A＝{x|1≤x≤5}，集合B＝{x|2－a≤x≤1＋2a}，其中a∈R.(1)若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，求a的取值范围；(2)若“x∈A”是“x∈B”的必要条件，求a的取值范围．[解析](1)由题意得到A＝[1,5]，由“x∈A”是“x∈B”的充分条件可得A⊆B，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2－a≤1，,1＋2a≥5，))解得a≥2，故实数a的取值范围是[2，＋∞)．(2)由“x∈A”是“x∈B”的必要条