中考24题图形的证明专项训练题及答案

中考24题图形的证明专项训练一．选择题（共1小题）1．如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点E是BC中点，点F是边CD上的任意一点，当△AEF的周长最小时，则DF的长为（）A．1B．2C．3D．4二．填空题（共2小题）2．如图，设△ABC的面积是1，D是边BC上一点，且，若在边AC上取一点，使四边形ABDE的面积为，则的值为_________．3．如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点E是AD上一个动点，把△BAE沿BE向矩形内部折叠，当点A的对应点A1恰落在∠BCD的平分线上时，则CA1的长为_________．三．解答题（共27小题）考点：沿中点将线段延长一倍.4．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，点E在BC上，AE=BE，且AF⊥AB，连接EF．（1）若EF⊥AF，AF=4，AB=6，求AE的长．（2）若点F是CD的中点，求证：CE=BE﹣AD．5．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，DG⊥BC于G，BH⊥DC于H，CH=DH，点E在AB上，点F在BC上，并且EF∥DC．（1）若AD=3，CG=2，求CD；（2）若CF=AD+BF，求证：EF=CD．6．如图，在△ABC中，AB=AC，D为边BC上一点，以AB，BD为邻边作▱ABDE，连接AD，EC．（1）求证：△ADC≌△ECD；（2）若BD=CD，求证：四边形ADCE是矩形．7．如图，正方形ABCD中，M为AD边上的一点，连接BM，过点C作CN∥BM，交AD的延长线于点N，在CN上截取CE=BC，连接BE交CD于F，（1）若∠AMB=60°，CE=，求DF的长度；（2）求证：BM=DN+CF．8．如图，E为正方形ABCD的CD边上一点，连接BE，过点A作AF∥BE，交CD的延长线于点F，∠ABE的平分线分别交AF、AD于点G、H．（1）若∠CBE=30°，AG=，求DH的长度；（2）证明：BE=AH+DF．9．如图正方形ABCD中，E为AD边上的中点，过A作AF⊥BE，交CD边于F，M是AD边上一点，且有BM=DM+CD．（1）求证：点F是CD边的中点；（2）求证：∠MBC=2∠ABE．10．如图，矩形ABCD中，点E为矩形的边CD上任意一点，点P为线段AE中点，连接BP并延长交边AD于点F，点M为边CD上一点，连接FM，且∠1=∠2．（1）若AD=2，DE=1，求AP的长；（2）求证：PB=PF+FM．11．已知正方形ABCD，点P、Q分别是边AD、BC上的两动点，将四边形ABQP沿PQ翻折得到四边形EFQP，点E在线段CD上，EF交BC于G，连接AE．求证：（1）EA平分∠DEF；（2）EC+EG+GC=2AB．12．已知：如图，在矩形ABCD中，E、F分别是边BC、AB上的点，且EF=ED，EF⊥ED．求证：AE平分∠BAD．13．如图，已知点E是矩形ABCD的边CB延长线上一点，且CE=CA，连接AE，过点C作CF⊥AE，垂足为点F，连接BF、FD．（1）求证：△FBC≌△FAD；（2）连接BD，若cos∠FBD=，且BD=10，求FC的值．考点：以矩形为背景.14．如图，点E为矩形ABCD外一点，DE⊥BD于点D，DE=CE，BD的垂直平分线交AD于点F，交BD于点G．连接EF交BD于点H．（1）若∠CDE=∠DEH=∠HEC，求∠ABG的度数；（2）求证：H是EF的中点．考点：以菱形为背景.15．已知：如图，在菱形ABCD中，F为边BC的中点，DF与对角线AC交于点M，过M作ME⊥CD于点E，∠1=∠2．（1）若CE=1，求BC的长；（2）求证：AM=DF+ME．16．如图1，菱形ABCD中，点E、F分别为AB、AD的中点，连接CE、CF．（1）求证：CE=CF；（2）如图2，若H为AB上一点，连接CH，使∠CHB=2∠ECB，求证：CH=AH+AB．考点:以正方形为背景.17．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠DCB=45°，CD=2，BD⊥CD．过点C作CE⊥AB于E，交对角线BD于F，点G为BC中点，连接EG、AF．（1）求EG的长；（2）求证：CF=AB+AF．18．已知：如图，正方形ABCD中，点E是BA延长线上一点，连接DE，点F在DE上且DF=DC，DG⊥CF于G．DH平分∠ADE交CF于点H，连接BH．（1）若DG=2，求DH的长；（2）求证：BH+DH=CH．19．如图，正方形ABCD中，P在对角线BD上，E在CB的延长线上，且PE=PC，过点P作PF⊥AE于F，直线PF分别交AB、CD于G、H，（1）求证：DH=AG+BE；（2）若BE=1，AB=3，求PE的长．20．在正方形ABCD中，O是对角线AC的中点，P是对角线AC上的一动点，过点P作PF⊥CD于点F，如图（1），当点P与点O重合时，显然有DF=CF．如图（2），若点P在线段AO上（不与点A、O重合），PE⊥PB且PE交CD于点E，（1）求证：DF=EF；（2）求证：．21．如图，已知正方形ABCD，点E是BC上一点，点F是CD延长线上一点，连接EF，若BE=DF，点P是EF的中点．（1）求证：DP平分∠ADC；（2）若∠AEB=75°，AB=2，求△DFP的面积．22．如图，正方形ABCD中，E是AD的中点，F是AB边上的一点，连接FE并延长与CD的延长线相交于点G，作EH⊥FG交BC的延长线于点H．（1）若BC=8，BF=5，求线段FG的长；（2）求证：EH=2EG．23．已知点E是正方形ABCD中的CD的中点，F是边AD上一点，连接FE并延长交BC延长线于点G，AB=6．（1）求证：CG=DF；（2）连接BF，若BF＞GF，试求AF的范围．24．如图，在菱形ABCD中，E是BC延长线上一点，连接AE，使得∠E=∠B，过D作DH⊥AE于H．（1）若AB=10，DH=6，求HE的长；（2）求证：AH=CE+EH．25．如图，点E是正方形ABCD的边BC上的一点，∠DAE的平分线AF交BC的延长线于点F，交CD于点G（1）若AB=8，BF=16，求CE的长；（2）求证：AE=BE+DG．26．如图，E是正方形ABCD的边DC上的一点，过A作AF⊥AE，交CB延长线于点F．AE的延长线交BC的延长线于点G．（1）求证：AE=AF．（2）若AF=7，DE=2，求EG的长．27．已知正方形ABCD如图所示，连接其对角线AC，∠BCA的平分线CF交AB于点F，过点B作BM⊥CF于点N，交AC于点M，过点C作CP⊥CF，交AD延长线于点P．（1）若正方形ABCD的边长为4，求△ACP的面积；（2）求证：CP=BM+2FN．28．如图，△AGB中，以边AG、AB为边分别作正方形AEFG、正方形ABCD，线段EB和GD相交于点H，tan∠AGB=，点G、A、C在同一条直线上．（1）求证：EB⊥GD；（2）若∠ABE=15°，AG=，求BE的长．29．如图，正方形ABCD的对角线交于点O，点E是线段0D上一点，连接EC，作BF⊥CE于点F，交0C于点G．（1）求证：BG=CE；（2）若AB=4，BF是∠DBC的角平分线，求OG的长．30．如图，AC为正方形ABCD的一条对角线，点E为DA边延长线上的一点，连接BE，在BE上取一点F，使BF=BC，过点B作BK⊥BE于B，交AC于点K，连接CF，交AB于点H，交BK于点G．（1）求证：BH=BG；（2）求证：BE=BG+AE．

中考24题图形的证明专项训练参考答案与试题解析一．选择题（共1小题）1．（2011•阜新）如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点E是BC中点，点F是边CD上的任意一点，当△AEF的周长最小时，则DF的长为（）A．1B．2C．3D．4考点：轴对称-最短路线问题；矩形的性质．专题：压轴题；探究型．分析：作点E关于直线CD的对称点E′，连接AE′交CD于点F，再根据△CEF∽△BEA即可求出CF的长，进而得出DF的长．解答：解：作点E关于直线CD的对称点E′，连接AE′交CD于点F，∵在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点E是BC中点，∴BE=CE=CE′=4，∵AB⊥BC，CD⊥BC，∴=，即=，解得CF=2，∴DF=CD﹣CF=6﹣2=4．故选D．点评：本题考查的是轴对称﹣最短路线问题及相似三角形的判定与性质，根据题意作出E点关于直线CD的对称点，再根据轴对称的性质求出CE′的长，利用相似三角形的对应边成比例即可得出结论．二．填空题（共2小题）2．如图，设△ABC的面积是1，D是边BC上一点，且，若在边AC上取一点，使四边形ABDE的面积为，则的值为．考点：三角形的面积；三角形的角平分线、中线和高．专题：计算题．分析：首先连接AD，利用三角形的面积公式和边上的高相同，分别求出△ABD△ACD△ADE△CDE的面积，利用同高的三角形的面积比等于边之比即可求出答案．解答：解：连接AD，设△ABD△ACD△ADE△CDE的面积分别为s1s2s3s4，∵△ABD的边BD上和△ACD的边CD上的高相同，=，由面积公式得：==，∵△ABC的面积是1，∴s1=，s2=，∵四边形ABDE的面积为，即s3+s1=，∴s3=，∴s4=s2﹣s3=，∵△AED的边AE上和△ECD的边CE上的高相同，由面积公式得：===．故答案为：．点评：本题主要考查了对三角形的面积公式的灵活运用和掌握，特别是对三角形等高时面积之比等于边之比的巧妙运用．3．（2014•鄞州区模拟）如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点E是AD上一个动点，把△BAE沿BE向矩形内部折叠，当点A的对应点A1恰落在∠BCD的平分线上时，则CA1的长为2±1．考点：矩形的性质；翻折变换（折叠问题）．分析：如图，过点A1作A1M⊥BC于点M．设CM=A1M=x，则BM=4﹣x．在直角△A1MB中，由勾股定理得到：A1M2=A1B2﹣BM2=9﹣（4﹣x）2．由此求得x的值；然后在等腰Rt△A1CM中，CA1=A1M．解答：解：如图，过点A1作A1M⊥BC于点M．∵点A的对应点A1恰落在∠BCD的平分线上，∴设CM=A1M=x，则BM=4﹣x．又由折叠的性质知AB=A1B=3．∴在直角△A1MB中，由勾股定理得到：A1M2=A1B2﹣BM2=9﹣（4﹣x）2．∴9﹣（4﹣x）2=x2，∴x=A1M=2±，∴在等腰Rt△A1CM中，CA1=A1M=2±1．故答案是：2±1．点评：本题考查了矩形的性质，翻折变换（折叠问题）．解题的关键是作出辅助线，构建直角三角形△A1MB和等腰直角△A1CM，利用勾股定理将所求的线段与已知线段的数量关系联系起来．三．解答题（共27小题）4．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，点E在BC上，AE=BE，且AF⊥AB，连接EF．（1）若EF⊥AF，AF=4，AB=6，求AE的长．（2）若点F是CD的中点，求证：CE=BE﹣AD．考点：梯形；全等三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的判定与性质．专题：证明题；压轴题．分析：（1）作辅助线EM⊥AB，交AB于点M．由已知条件“AE=BE，EM⊥AB”知，EM是等腰三角形AEB底边AB上的高线，所以AM=3，然后根据矩形的判定定理判定四边形AMEF是矩形，再由勾股定理在Rt△AFE中求得AE=5；（2）延长AF、BC交于点N．根据△ADF≌△NCF（AAS）的对应边相等知AD=CN；又∠B+∠N=90°，∠BAE+∠AEN=90°，AE=BE，∠B=∠BAE，所以AE=EN，所以知BE=EN=EC+CN=EC+AD，即CE=BE﹣AD．解答：解：（1）作EM⊥AB，交AB于点M．∵AE=BE，EM⊥AB，∴AM=BM=×6=3；∵EF⊥AF，∴∠AME=∠MAF=∠AFE=90°，∴四边形AMEF是矩形，∴EF=AM=3；在Rt△AFE中，AE==5；（2）延长AF、BC交于点N．∵AD∥EN，∴∠DAF=∠N；∵F是CD的中点，∴DF=FC，∵∠AFD=∠NFC，∴△ADF≌△NCF（AAS），∴AD=CN；∵∠B+∠N=90°，∠BAE+∠EAN=90°，又AE=BE，∠B=∠BAE，∴∠N=∠EAN，AE=EN，∴BE=EN=EC+CN=EC+AD，∴CE=BE﹣AD．点评：本题综合考查了梯形、全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质及勾股定理．本题主要是通过作辅助线来构建矩形与全等三角形的．5．（2014•南充模拟）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，DG⊥BC于G，BH⊥DC于H，CH=DH，点E在AB上，点F在BC上，并且EF∥DC．（1）若AD=3，CG=2，求CD；（2）若CF=AD+BF，求证：EF=CD．考点：直角梯形；勾股定理；矩形的性质；相似三角形的判定与性质．专题：几何综合题；压轴题．分析：（1）由AD∥BC，∠ABC=90°，DG⊥BC得到四边形ABGD为矩形，利用矩形的性质有AD=BG=3，AB=DG，而BH⊥DC，CH=DH，根据等腰三角形的判定得到△BDC为等腰三角形，即有BD=BG+GC=3+2=5，先在Rt△ABD中求出AB，然后在Rt△DGC中求出DC；（2）由CF=AD+BF，AD=BG，经过线段代换易得GC=2BF，再由EF∥DC得到∠BFE=∠GCD，根据三角形相似的判定易得Rt△BEF∽Rt△GDC，利用相似比即可得到结论．解答：（1）解：连BD，如图，∵在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，DG⊥BC，∴四边形ABGD为矩形，∴AD=BG=3，AB=DG，又∵BH⊥DC，CH=DH，∴△BDC为等腰三角形，∴BD=BG+GC=3+2=5，在Rt△ABD中，AB===4，∴DG=4，在Rt△DGC中，∴DC===2．（2）证明：∵CF=AD+BF，∴CF=BG+BF，∴FG+GC=BF+FG+BF，即GC=2BF，∵EF∥DC，∴∠BFE=∠GCD，∴Rt△BEF∽Rt△GDC，∴EF：DC=BF：GC=1：2，∴EF=DC．点评：本题考查了直角梯形的性质：有一组对边平行，另一组对边不平行，且有一个直角．也考查了矩形的性质、勾股定理、等腰三角形的判定以及相似三角形的判定与性质．6．（2012•吉林）如图，在△ABC中，AB=AC，D为边BC上一点，以AB，BD为邻边作▱ABDE，连接AD，EC．（1）求证：△ADC≌△ECD；（2）若BD=CD，求证：四边形ADCE是矩形．考点：矩形的判定；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；平行四边形的性质．专题：证明题；压轴题．分析：（1）根据平行四边形的性质、等腰三角形的性质，利用全等三角形的判定定理SAS可以证得△ADC≌△ECD；（2）利用等腰三角形的“三合一”性质推知AD⊥BC，即∠ADC=90°；由平行四边形的判定定理（对边平行且相等是四边形是平行四边形）证得四边形ADCE是平行四边形，所以有一个角是直角的平行四边形是矩形．解答：证明：（1）∵四边形ABDE是平行四边形（已知），∴AB∥DE，AB=DE（平行四边形的对边平行且相等）；∴∠B=∠EDC（两直线平行，同位角相等）；又∵AB=AC（已知），∴AC=DE（等量代换），∠B=∠ACB（等边对等角），∴∠EDC=∠ACD（等量代换）；∵在△ADC和△ECD中，，∴△ADC≌△ECD（SAS）；（2）∵四边形ABDE是平行四边形（已知），∴BD∥AE，BD=AE（平行四边形的对边平行且相等），∴AE∥CD；又∵BD=CD，∴AE=CD（等量代换），∴四边形ADCE是平行四边形（对边平行且相等的四边形是平行四边形）；在△ABC中，AB=AC，BD=CD，∴AD⊥BC（等腰三角形的“三合一”性质），∴∠ADC=90°，∴▱ADCE是矩形．点评：本题综合考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定以及矩形的判定．注意：矩形的判定定理是“有一个角是直角的‘平行四边形’是矩形”，而不是“有一个角是直角的‘四边形’是矩形”．7．如图，正方形ABCD中，M为AD边上的一点，连接BM，过点C作CN∥BM，交AD的延长线于点N，在CN上截取CE=BC，连接BE交CD于F，（1）若∠AMB=60°，CE=，求DF的长度；（2）求证：BM=DN+CF．考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质．分析：（1）由正方形的性质可以得出AD∥BC，再由CN∥BM就可以得出四边形BCNM是平行四边形，就可以得出∠MBC=60°，就有∠BCN=120°，由BC=EC就可以得出∠FBC=30°，勾股定理就可以求出CF的值，从而可以得出结论；（2）过点C作CG⊥BE交AD于点H，可以得出△BCF≌△CDH，根据全等三角形的性质及直角三角形的性质就可以得出∠CHN=∠ECG，由四边形MBCN为平行四边形就可以得出结论．解答：解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴∠A=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°，AB=BC=CD=DA，AD∥BC．∵CN∥BM，∴四边形BCNM是平行四边形，∴BM=CN，∠AMB=∠MBC．∵∠AMB=60°，∴∠MBC=60°，∴∠BCN=120°．∵BC=CE，∴∠1=∠2=30°，∴BF=2CF．在Rt△BCF中，BC=2，由勾股定理，得CF=2．∵CD=2，∴DF=2﹣2．答：DF=2﹣2；（2）过点C作CG⊥BE交AD于点H，∴∠BGC=∠FGC=90°．∴∠1=∠4．在△BCF和△CDH中，∴△BCF≌△CDH（ASA），∴CF=HD．∵∠CHN=90°﹣∠4，∠ECG=90°﹣∠2=90°﹣∠1=90°﹣∠4∴∠CHN=∠ECG，∴CN=HN∵四边形MBCN为平行四边形，∴BM=CN，∴BM=CN=HN=DN+HD=DN+CF．点评：本题考查了正方形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，平行四边形的判定及性质的运用，勾股定理的运用，解答时证明三角形全等是关键．8．如图，E为正方形ABCD的CD边上一点，连接BE，过点A作AF∥BE，交CD的延长线于点F，∠ABE的平分线分别交AF、AD于点G、H．（1）若∠CBE=30°，AG=，求DH的长度；（2）证明：BE=AH+DF．考点：四边形综合题．分析：（1）利用正方形的性质以及已知得出∠ABG=∠GBE=30°，∠AGB=∠GBE，求出AB=BG的长，进而得出AH的长，即可得出DH的长；（2）首先证明△ADF≌△BCE，进而得出∠GBC=∠MBE，再得出BE=EM=AH+DF，即可得出答案．解答：（1）解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°，∵∠CBE=30°且BG平分∠ABE，∴∠ABG=∠GBE=30°，∴∠AGB=∠GBE，∴∠ABG=∠AGB，∴AB=AG=，又∵在Rt△ABH中，∠ABG=30°，∴AH=AB=1，又∵ABCD是正方形，∴AD=AB，∴DH=﹣1；（2）证明：将△ABH绕着点B顺时针旋转90°得到△BCM，∵ABCD是正方形，∴AD=BC，∠ADC=∠C=90°，∴∠ADF=∠C，∵AF∥BE，∴∠F=∠BEC，在△ADF和△BCE中∴△ADF≌△BCE（AAS），∴DF=CE，又由旋转可知：AH=CM，∠AHB=∠M，∠BAH=∠BCM=90°，∵∠BCD=90°，∴∠BCD+∠BCM=180°，∴点E、C、M在同一直线．∴AH+DF=EC+CM=EM，又∵BG平分∠ABE，∴∠ABG=∠GBE，又∵∠ABH=∠CBM，∴∠GBE=∠CBM，∴∠GBE+∠CBE=∠CBM+∠CBE，即∠GBC=∠MBE，又∵正方形ABCD中，AD∥BC，∴∠AHB=∠GBC，∴∠GBC=∠M，∴∠M=∠MBE，∴BE=EM=AH+DF，∴BE=AH+DF．点评：此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及正方形的性质以及等角对等边等知识，根据旋转的性质得出AH+DF=EC+CM=EM是解题关键．9．如图正方形ABCD中，E为AD边上的中点，过A作AF⊥BE，交CD边于F，M是AD边上一点，且有BM=DM+CD．（1）求证：点F是CD边的中点；（2）求证：∠MBC=2∠ABE．考点：正方形的性质；三角形的外角性质；全等三角形的判定与性质．专题：证明题；压轴题．分析：（1）由正方形得到AD=DC=AB=BC，∠C=∠D=∠BAD=90°，AB∥CD，根据AF⊥BE，求出∠AEB=∠AFD，推出△BAE≌△ADF，即可证出点F是CD边的中点；（2）延长AD到G使BM=MG，得到DG=BC=DC，证△FDG≌△FCB，求出B，F，G共线，再证△ABE≌△CBF，得到∠ABE=∠CBF，根据三角形的外角性质即可求出结论．解答：（1）证明：∵正方形ABCD，∴AD=DC=AB=BC，∠C=∠D=∠BAD=90°，AB∥CD，∵AF⊥BE，∴∠AOE=90°，∴∠EAF+∠AEB=90°，∠EAF+∠BAF=90°，∴∠AEB=∠BAF，∵AB∥CD，∴∠BAF=∠AFD，∴∠AEB=∠AFD，∵∠BAD=∠D，AB=AD，∴△BAE≌△ADF，∴AE=DF，∵E为AD边上的中点，∴点F是CD边的中点；（2）证明：延长AD到G．使MG=MB．连接FG，FB，∵BM=DM+CD，∴DG=DC=BC，∵∠GDF=∠C=90°，DF=CF，∴△FDG≌△FCB（SAS），∴∠DFG=∠CFB，∴B，F，G共线，∵E为AD边上的中点，点F是CD边的中点，AD=CD∴AE=CF，∵AB=BC，∠C=∠BAD=90°，AE=CF，∴△ABE≌△CBF，∴∠ABE=∠CBF，∵AG∥BC，∴∠AGB=∠CBF=∠ABE，∴∠MBC=∠AMB=2∠AGB=2∠GBC=2∠ABE，∴∠MBC=2∠ABE．点评：本题主要考查了全等三角形的性质和判定，三角形的外角性质，正方形的性质等知识点，综合运用性质进行证明是解此题的关键，此题是一个拔高的题目，有一定的难度．10．如图，矩形ABCD中，点E为矩形的边CD上任意一点，点P为线段AE中点，连接BP并延长交边AD于点F，点M为边CD上一点，连接FM，且∠1=∠2．（1）若AD=2，DE=1，求AP的长；（2）求证：PB=PF+FM．考点：矩形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理．专题：压轴题．分析：（1）由矩形的性质可知△ADE是直角三角形，利用勾股定理即可求出AP的长；（2）延长BF交CD的延长线于点N，首先证明△APB和△EPN全等，得到PB=PN，再根据已知条件证明FN=FM即可．解答：解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADE=90°，∵AD=2，DE=1，∴AE==，∵点P为线段AE中点，∴AP=AE=；（2）延长BF交CD的延长线于点N，∵点P为线段AE中点，∴AP=PE，∵AB∥CD，∴∠PEN=∠PAB，∠2=∠N，∵在△APB和△EPN中，，∴△APB≌△EPN（AAS），∴PB=PN，∵∠1=∠2，∠2=∠N，∴∠1=∠N，∴FN=FM，∴PB=PN=PF+FN=PF+FM，∴PB=PF+FM．点评：本题考查了矩形的性质、勾股定理的运用、全等三角形的判定和性质以及等腰三角形的判定和性质．11．已知正方形ABCD，点P、Q分别是边AD、BC上的两动点，将四边形ABQP沿PQ翻折得到四边形EFQP，点E在线段CD上，EF交BC于G，连接AE．求证：（1）EA平分∠DEF；（2）EC+EG+GC=2AB．考点：翻折变换（折叠问题）；全等三角形的判定与性质；正方形的性质．专题：证明题．分析：（1）根据正方形的性质得出DC∥AB，∠BAD=90°，进而得出∠PEF﹣∠3=∠PAB﹣∠2，即可得出∠DEA=∠4，问题得证；（2）首先证明Rt△AHG≌Rt△ABG（HL）即可得出EC+EG+GC=EC+DE+BG+GC=DC+BC=2AB．解答：证明：（1）∵四边形ABCD是正方形∴DC∥AB，∠BAD=90°，∴∠DEA=∠1，又由折叠知，PA=PE，∠PEF=∠PAB=90°∴∠2=∠3，则∠PEF﹣∠3=∠PAB﹣∠2，即∠1=∠4∴∠DEA=∠4，即EA平分∠DEF；（2）在EG上截取EH，使得EH=ED，连接AH、AG则△ADE≌△AHE（SAS）∴AD=AH，∠D=∠5∵四边形ABCD是正方形∴∠D=∠B=90°，AB=BC=CD=DA∴AH=AB，且∠5=∠B=90°，则∠6=90°∵在Rt△AHG和Rt△ABG中∴Rt△AHG≌Rt△ABG（HL）∴HG=BG，∴EG=EH+HG=DE+BG，∴EC+EG+GC=EC+DE+BG+GC=DC+BC=2AB．点评：此题主要考查了翻折变换的性质以及全等三角形的证明，利用折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等得出是解题关键．12．（2008•常州）已知：如图，在矩形ABCD中，E、F分别是边BC、AB上的点，且EF=ED，EF⊥ED．求证：AE平分∠BAD．考点：矩形的性质；全等三角形的判定与性质．专题：证明题．分析：要证AE平分∠BAD，可转化为△ABE为等腰直角三角形，得AB=BE，又AB=CD，再将它们分别转化为两全等三角形的两对应边，根据全等三角形的判定，和矩形的性质，可确定ASA．即求证．解答：证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=∠C=∠BAD=90°，AB=CD，∴∠BEF+∠BFE=90°．∵EF⊥ED，∴∠BEF+∠CED=90°．∴∠BFE=∠CED．∴∠BEF=∠EDC．在△EBF与△DCE中，，∴△EBF≌△DCE（ASA）．∴BE=CD．∴BE=AB．∴∠BAE=∠BEA=45°．∴∠EAD=45°．∴∠BAE=∠EAD．∴AE平分∠BAD．点评：三角形全等的判定是中考的热点．求证的结果可一步步转化为全等三角形的对应边、对应角相等．13．如图，已知点E是矩形ABCD的边CB延长线上一点，且CE=CA，连接AE，过点C作CF⊥AE，垂足为点F，连接BF、FD．（1）求证：△FBC≌△FAD；（2）连接BD，若cos∠FBD=，且BD=10，求FC的值．考点：矩形的性质；全等三角形的判定与性质；解直角三角形．专题：证明题．分析：（1）根据等腰三角形三线合一的性质可得AF=EF，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得BF=AF，然后利用等边对等角的性质得到∠FBA=∠FAB，从而推出∠FAD=∠FBC，再根据矩形的对边相等可得AD=BC，然后利用“边角边”即可证明；（2）根据（1），利用全等三角形对应边相等可得FC=FD，全等三角形对应角相等可得∠BFC=∠AFD，然后证明∠BFD=90°，再根据余弦=求出FB的长度，然后利用勾股定理列式计算即可求出FD，从而得解．解答：（1）证明：∵CE=AC，CF⊥AE，∴AF=EF，∴在Rt△ABE中，BF=AF，∴∠FBA=∠FAB，∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC，∠ABC=∠BAD=90°，∴∠FBA+∠ABC=∠FAB+∠BAD，即∠FAD=∠FBC，在△FBC和△FAD中，∵，∴△FBC≌△FAD（SAS）；（2）解：∵△FBC≌△FAD，∴FC=FD，∠BFC=∠AFD，∴∠BFD=∠BFC+∠CFD=∠AFD+∠CFD=90°，∵cos∠FBD==，BD=10，∴FB=×10=6，∴FD===8，∴FC=8．点评：本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定，等腰三角形三线合一的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，以及锐角三角函数，综合性较强，但难度不大，求出∠FAD=∠FBC是证明三角形全等的关键，也是本题的难点．14．如图，点E为矩形ABCD外一点，DE⊥BD于点D，DE=CE，BD的垂直平分线交AD于点F，交BD于点G．连接EF交BD于点H．（1）若∠CDE=∠DEH=∠HEC，求∠ABG的度数；（2）求证：H是EF的中点．考点：矩形的性质；全等三角形的判定与性质．专题：压轴题．分析：（1）设∠CDE=x°，则∠CDE=∠DCE=x°，∠DEH=x°，∠HEC=2x°，根据∠CDE+∠DEC+∠DCE=180°得出5x=180°，求出x即可；（2）连接AC，GE，求出GD=GC，得出在CD的垂直平分线上，E在CD的垂直平分线上，推出GE为CD的垂直平分线，求出DM=CM，求出FD∥GE，FG∥DE，求出四边形FDEG是平行四边形，根据平行四边形性质推出即可．解答：（1）解：设∠CDE=x°，∵DE=CE，∴∠CDE=∠DCE=x°，∵∠CDE=∠DEH=∠HEC，∴∠deh=x°，∠HEC=2x°，∵∠CDE+∠DEC+∠DCE=180°，∴5x=180°，x=36°，∵DE⊥BD，∴∠EDB=90°，∴∠BDC=90°﹣36°=54°，∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴∠ABG=∠BDC=54°；（2）证明：连接AC，GE，∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD，AG=GC，BG=GD，∴GD=GC，∴G在CD的垂直平分线上，∵DE=CE，∴E在CD的垂直平分线上，∴GE为CD的垂直平分线，∴DM=CM，∵BG=DG，∴GM∥BC，∴∠DGE=∠DBC，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠DBC=∠FDG，∴∠DGE=∠FDG，∴FD∥GE，∵FG⊥BD，DE⊥BD，∴FG∥DE，∴四边形FDEG是平行四边形，∴H为EF的中点．点评：本题考查了矩形的性质，等腰三角形的性质，平行四边形的性质和判定，线段垂直平分线性质的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理的能力．15．（2012•重庆）已知：如图，在菱形ABCD中，F为边BC的中点，DF与对角线AC交于点M，过M作ME⊥CD于点E，∠1=∠2．（1）若CE=1，求BC的长；（2）求证：AM=DF+ME．考点：菱形的性质；全等三角形的判定与性质．专题：综合题；压轴题．分析：（1）根据菱形的对边平行可得AB∥CD，再根据两直线平行，内错角相等可得∠1=∠ACD，所以∠ACD=∠2，根据等角对等边的性质可得CM=DM，再根据等腰三角形三线合一的性质可得CE=DE，然后求出CD的长度，即为菱形的边长BC的长度；（2）先利用“边角边”证明△CEM和△CFM全等，根据全等三角形对应边相等可得ME=MF，延长AB交DF于点G，然后证明∠1=∠G，根据等角对等边的性质可得AM=GM，再利用“角角边”证明△CDF和△BGF全等，根据全等三角形对应边相等可得GF=DF，最后结合图形GM=GF+MF即可得证．解答：（1）解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD，∴∠1=∠ACD，∵∠1=∠2，∴∠ACD=∠2，∴MC=MD，∵ME⊥CD，∴CD=2CE，∵CE=1，∴CD=2，∴BC=CD=2；（2）证明：如图，∵F为边BC的中点，∴BF=CF=BC，∴CF=CE，在菱形ABCD中，AC平分∠BCD，∴∠ACB=∠ACD，在△CEM和△CFM中，∵，∴△CEM≌△CFM（SAS），∴ME=MF，延长AB交DF的延长线于点G，∵AB∥CD，∴∠G=∠2，∵∠1=∠2，∴∠1=∠G，∴AM=MG，在△CDF和△BGF中，∵，∴△CDF≌△BGF（AAS），∴GF=DF，由图形可知，GM=GF+MF，∴AM=DF+ME．点评：本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，等角对等边的性质，作出辅助线构造出全等三角形是解题的关键．16．如图1，菱形ABCD中，点E、F分别为AB、AD的中点，连接CE、CF．（1）求证：CE=CF；（2）如图2，若H为AB上一点，连接CH，使∠CHB=2∠ECB，求证：CH=AH+AB．考点：菱形的性质；全等三角形的判定与性质．专题：证明题；压轴题．分析：（1）由菱形ABCD中，点E、F分别为AB、AD的中点，易证得△BCE≌△DCF（SAS），则可得CE=CF；（2）由平行线的性质，可得AG=AB，∠G=∠FCD，由全等三角形的对应角相等，可得∠BCE=∠DCF，然后由∠CHB=2∠ECB，易证得∠G=∠HCG，则可得CH=GH，则可证的结果．解答：（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴∠B=∠D，AB=BC=CD=AD，∵点E、F分别为AB、AD的中点，∴BE=AB，DF=AD，∴BE=DF，在△BCE和△DCF中，，∴△BCE≌△DCF（SAS），∴CE=CF；（2）证明：延长BA与CF，交于点G，∵四边形ABCD是菱形，∴∠B=∠D，AB=BC=CD=AD，AF∥BC，AB∥CD，∴∠G=∠FCD，∵点F分别为AD的中点，且AG∥CD，∴AG=AB，∵△BCE≌△DCF，∴∠ECB=∠DCF，∵∠CHB=2∠ECB，∴∠CHB=2∠G，∵∠CHB=∠G+∠HCG，∴∠G=∠HCG，∴GH=CH，∴CH=AH+AG=AH+AB．点评：此题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质以及平行线的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．17．（2011•重庆）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠DCB=45°，CD=2，BD⊥CD．过点C作CE⊥AB于E，交对角线BD于F，点G为BC中点，连接EG、AF．（1）求EG的长；（2）求证：CF=AB+AF．考点：梯形；全等三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线；勾股定理．专题：几何综合题；压轴题．分析：（1）根据BD⊥CD，∠DCB=45°，得到∠DBC=∠DCB，求出BD=CD=2，根据勾股定理求出BC=2，根据CE⊥BE，点G为BC的中点即可求出EG；（2）在线段CF上截取CH=BA，连接DH，根据BD⊥CD，BE⊥CD，推出∠EBF=∠DCF，证出△ABD≌△HCD，得到CD=BD，∠ADB=∠HDC，根据AD∥BC，得到∠ADB=∠DBC=45°，推出∠ADB=∠HDB，证出△ADF≌△HDF，即可得到答案．解答：（1）解：∵BD⊥CD，∠DCB=45°，∴∠DBC=45°=∠DCB，∴BD=CD=2，在Rt△BDC中BC==2，∵CE⊥BE，∠BEC=90°，∵点G为BC的中点，∴EG=BC=（直角三角形斜边上中线的性质）．答：EG的长是．（2）证明：在线段CF上截取CH=BA，连接DH，∵BD⊥CD，BE⊥CE，∴∠EBF+∠EFB=90°，∠DFC+∠DCF=90°，∵∠EFB=∠DFC，∴∠EBF=∠DCF，∵DB=CD，BA=CH，∴△ABD≌△HCD，∴AD=DH，∠ADF=∠HDC，∵AD∥BC，∴∠ADF=∠DBC=45°，∴∠HDC=45°，∴∠HDF=∠BDC﹣∠HDC=45°，∴∠ADF=∠HDF，∵AD=HD，DF=DF，∴△ADF≌△HDF，∴AF=HF，∴CF=CH+HF=AB+AF，∴CF=AB+AF．（解法二）证明：延长BA与CD延长线交于M，∵△BFE和△CFD中，∠BEF=∠CDF=90°，∠BFE=∠CFD，∴∠MBD=∠FCD，∵在△BCD中，∠DCB=45°，BD⊥CD，∴∠BDC=90°，∴∠DBC=45°=∠DCB，∴BD=CD，△BMD和△CFD中，∵BD=CD，∠BDM=∠CDF=90°，∠MBD=∠FCD，∴△BMD≌△CFD，∴CF=BM=AB+AM，DM=DF，∵AD∥BC，∠ADF=∠DBC=45°，∠BDM=90°，∴∠ADM=∠ADF=45°，在△AFD和△AMD中∵，∴△AFD≌△AMD，∴AM=AF，∴CF=BM=AB+AM=AB+AF，即CF=AB+AF．点评：本题主要考查对梯形，全等三角形的性质和判定，平行线的性质，直角三角形斜边上的中线，勾股定理等知识点的理解和掌握，综合运用性质进行推理是解此题的关键．18．已知：如图，正方形ABCD中，点E是BA延长线上一点，连接DE，点F在DE上且DF=DC，DG⊥CF于G．DH平分∠ADE交CF于点H，连接BH．（1）若DG=2，求DH的长；（2）求证：BH+DH=CH．考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质．分析：（1）通过证明△DGH是等腰直角三角形，得到DH=DG=2；（2）如图，过点C作CM⊥CH，交HD延长线于点M．构建等腰直角△HCM和全等三角形△MCD≌△HCB，所以根据等腰直角三角形的性质和全等三角形的性质推知MH=CH，DM=BH．则BH+DH=MH=CH．解答：（1）解：∵如图，DF=DC，DG⊥CF，∴∠FDG=∠FDC．∵DH平分∠ADE，∴∠FDH=∠ADF，∴∠HDG=∠FDG﹣∠FDH=（∠FDC﹣∠ADF）=∠ADC=45°．∴△DGH是等腰直角三角形，∵DG=2，∴DH=2；（2）证明：如图，过点C作CM⊥CH，交HD延长线于点M．∵∠DCB=90°，∴∠1=∠2（同角的余角相等）．又∵△DGH是等腰直角三角形，∴△MCH是等腰直角三角形，∴MC=CH．∴MH=CH．∵在△MCD与△HCB中，，∴△MCD≌△HCB）SAS），∴DM=BH．∴BH+DH=DM+DH=MH=CH．即BH+DH=CH．点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质．在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．19．如图，正方形ABCD中，P在对角线BD上，E在CB的延长线上，且PE=PC，过点P作PF⊥AE于F，直线PF分别交AB、CD于G、H，（1）求证：DH=AG+BE；（2）若BE=1，AB=3，求PE的长．考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理．专题：压轴题．分析：（1）在DC上截取DM=BE，连接AM，证△ABE≌△ADM，推出∠1=∠2，推出AM⊥AE，推出AM∥FH，AB∥CD，得出四边形AGHM是平行四边形，推出AG=MH即可；（2）连接AP．根据四边形ABCD是正方形的性质得出AB=BC，∠ABP=∠CBP=45°，证△ABP≌△CBP，推出PA=PC，∠3=∠4，求出∠3=∠5，得出△APE是等腰直角三角形，求出AE，即可求出PE．解答：（1）证明：在DC上截取DM=BE，连接AM，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABE=∠ADM=90°，AB=AD，∵在△ABE和△ADM中，∴△ABE≌ADM，∴∠1=∠2，∴∠1+∠BAM=∠2+∠BAM=90°，即AM⊥AE．又∵PF⊥AE于F，∴AM∥FH，又∵AB∥CD，∴四边形AGHM是平行四边形，∴AG=MH，∵DH=DM+MH，∴DH=AG+BE．（2）解：连接AP．∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠ABP=∠CBP=45°，∵在△ABP和△CBP中∴△ABP≌△CBP，∴PA=PC，∠3=∠4，∵PE=PC，∴PA=PE，∵PE=PC，∴∠4=∠5，∴∠3=∠5，又∵∠ANP=∠ENB，∴∠3+∠ANP=∠5+∠ENB=90°，∴AP⊥PE，即△APE是等腰直角三角形，∵BE=1，AB=3，∴AE==，∴PE===．点评：本题考查了正方形的性质和判定，勾股定理，等腰三角形性质，等腰直角三角形性质，全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理的能力．20．在正方形ABCD中，O是对角线AC的中点，P是对角线AC上的一动点，过点P作PF⊥CD于点F，如图（1），当点P与点O重合时，显然有DF=CF．如图（2），若点P在线段AO上（不与点A、O重合），PE⊥PB且PE交CD于点E，（1）求证：DF=EF；（2）求证：．考点：正方形的性质．专题：证明题．分析：（1）要证明DF=EF，连接PD，证明PD=PE，利用等腰三角形的性质，底边上三线合一，可以得出结论．（2）由CE=CF﹣EF，又有PC和CF的关系、PA和EF的关系，结合到一起可以求解．解答：证明：如图①连接PD，∵四边形ABCD是正方形，AC平分∠BCD，CB=CD，△BCP≌△DCP∴∠PBC=∠PDC，PB=PD∵PB⊥PE，∠BCD=90°，∴∠PBC+∠PEC=360°﹣∠BPE﹣∠BCE=180°∵∠PEC+∠PED=180°，∴∠PBC=∠PED，∴∠PED=∠PBC=∠PDC，∴PD=PE，∵PF⊥CD，∴DF=EF．（2）如图②，过点P作PH⊥AD于点H，由（1）知：PA=PH=DF=EFPC=CF∴PC﹣PA=（CF﹣EF），即PC﹣PA=CE．点评：本题考查了正方形的性质，合理的作出辅助线，利用各边之间的关系，通过转换的思想求证．21．（2013•北碚区模拟）如图，已知正方形ABCD，点E是BC上一点，点F是CD延长线上一点，连接EF，若BE=DF，点P是EF的中点．（1）求证：DP平分∠ADC；（2）若∠AEB=75°，AB=2，求△DFP的面积．考点：正方形的性质；三角形的面积；全等三角形的判定与性质；勾股定理．专题：压轴题．分析：（1）连接PC．根据直角三角形的性质可得PC=EF=PA．运用“SSS”证明△APD≌△CPD，得∠ADP=∠CDP；（2）作PH⊥CF于H点．分别求DF和PH的长，再计算面积．设DF=x，在Rt△EFC中，∠CEF=60°，运用勾股定理可求DF；根据三角形中位线定理求PH．解答：（1）证明：连接PC．∵ABCD是正方形，∴∠ABE=∠ADF=90°，AB=AD．∵BE=DF，∴△ABE≌△ADF（SAS），∴∠BAE=∠DAF，AE=AF．∴∠EAF=∠BAD=90°．∵P是EF的中点，∴PA=EF，PC=EF，∴PA=PC．又∵AD=CD，PD=PD（公共边），∴△PAD≌△PCD，（SSS）∴∠ADP=∠CDP，即DP平分∠ADC；（2）作PH⊥CF于H点．∵P是EF的中点，∴PH=EC．设EC=x．由（1）知△EAF是等腰直角三角形，∴∠AEF=45°，∴∠FEC=180°﹣45°﹣75°=60°，∴EF=2x，FC=x，BE=2﹣x．在Rt△ABE中，22+（2﹣x）2=（x）2，即x2+4x﹣8=0，解得x1=﹣2﹣2（舍去），x2=﹣2+2．∴PH=﹣1+，FD=（﹣2+2）﹣2=﹣2+4．∴S△DPF=（﹣2+4）×=3﹣5．点评：此题考查正方形、特殊直角三角形的性质及全等三角形的判定与性质等知识点，综合性强，难度较大．22．如图，正方形ABCD中，E是AD的中点，F是AB边上的一点，连接FE并延长与CD的延长线相交于点G，作EH⊥FG交BC的延长线于点H．（1）若BC=8，BF=5，求线段FG的长；（2）求证：EH=2EG．考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理．分析：（1）求出AF，根据勾股定理求出EF，证△AFE≌△DGE，推出EF=EG，即可求出答案；（2）过E作EM⊥BH于M，过G作GN⊥BA交BA的延长线于点N，证△NFG≌△MHE，推出EH=FG=2EG即可．解答：（1）解：∵BC=8，BF=5∴AF=3∵E是AD的中点，∴AE=4在△AFE中：，∵四边形ABCD是正方形，∴∠A=∠EDG=90°，∵E为AD中点，∴AE=ED，在△AFE和△DGE中∴△AFE≌△DGE（ASA），∴EF=EG，∴FG=2EF=10；（2）证明：过E作EM⊥BH于M，过G作GN⊥BA交BA的延长线于点N，∵EH⊥FG，∴∠HEG=90°，∴∠H=∠FEM，∵四边形ABCD是正方形，∴∠DCB=90°，∵EM⊥BC，∴EM∥CD，∴∠EGC=∠FEM，∴∠H=∠EGC，∵AB∥CD，∴∠EGC=∠NFG∴∠H=∠NFG，在△NFG与△MHE中，∴△NFG≌△MHE（AAS），∴EH=FG=2EG．点评：本题考查了正方形，全等三角形的性质和判定，平行线性质的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理的能力．23．（2013•海陵区模拟）已知点E是正方形ABCD中的CD的中点，F是边AD上一点，连接FE并延长交BC延长线于点G，AB=6．（1）求证：CG=DF；（2）连接BF，若BF＞GF，试求AF的范围．考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质．分析：（1）根据中点定义可得DE=CE，根据正方形的四个角都是直角可得∠BCD=∠D=90°，然后利用“角边角”证明△DEF和△CEG全等，根据全等三角形对应边相等可得CG=DF；（2）过点F作FH⊥BC于H，可得GH=2DF，设AF=x，表示出DF，再表示出GH，然后根据BF＞GF得到AF＞GH，列出方程求出x的取值范围，再根据点F在AD上可知AF＜AD，从而得解．解答：（1）证明：∵E是CD的中点，∴DE=CE，在正方形ABCD中，∠BCD=∠D=90°，在△DEF和△CEG中，，∴△DEF≌△CEG（ASA），∴CG=DF；（2）解：过点F作FH⊥BC于H，则四边形ABHF和四边形CDFH都是矩形，∴DF=HC，AF=BH，∴GH=2DF，设AF=x，则DF=6﹣x，GH=2（6﹣x），∵BF＞GF，∴AF＞GH，∴x＞2（6﹣x），解得x＞4，又∵点F在AD上，∴x＜6，∴4＜x＜6．点评：本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，（1）熟记正方形的性质找出三角形全等的条件是解题的关键，（2）作辅助线构造出两个矩形并盘淡出AF＞GH是解题的关键．24．如图，在菱形ABCD中，E是BC延长线上一点，连接AE，使得∠E=∠B，过D作DH⊥AE于H．（1）若AB=10，DH=6，求HE的长；（2）求证：AH=CE+EH．考点：菱形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理．分析：（1）由在菱形ABCD中，AB=10，DH=6，DH⊥AE，利用勾股定理可求得AH的长，又由∠E=∠B，易得AE的长，继而求得HE的长；（2）首先过点D作DF⊥BC的延长线于点F，连接DE，易证得△ADH≌△CDF（AAS），继而可证得Rt△DEH≌Rt△DEF（HL），则可证得AH=CE+EH．解答：解：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AD=AB=10，∵DH⊥AE，∴∠AHD=90°，在Rt△ADH中，AH===8，∵∠E=∠B，∴AE=AB=10，∴HE=AE﹣AH=10﹣8=2；证明：（2）过点D作DF⊥BC的延长线于点F，连接DE，∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD，AD∥BC，AD=CD，∴∠1=∠B，∠2=∠3，∵∠B=∠2，∴∠1=∠3，∵DH⊥AE，DF⊥CF，∴∠4=∠F，在△ADH和△CDF中，，∴△ADH≌△CDF（AAS），∴AH=CF，DH=DF，∴在Rt△DEH和Rt△DEF中，，∴Rt△DEH≌Rt△DEF（HL），∴EH=EF，∵CF=CE+EF，∴AH=CE+EH．点评：此题考查了菱形的性质、勾股定理以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．25．如图，点E是正方形ABCD的边BC上的一点，∠DAE的平分线AF交BC的延长线于点F，交CD于点G（1）若AB=8，BF=16，求CE的长；（2）求证：AE=BE+DG．考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理．分析：（1）求出AE=EF，设CE=x，则BC=8﹣x，EF=AE=8+x，在Rt△ABE中，由勾股定理得出方程82+（8﹣x）2=（8+x）2，求出方程的解即可；（2）根据平行线性质得出∠3=∠2+∠5=∠4，证△ABM≌△ADG，推出∠4=∠∠M，∠1=∠6，求出∠M=∠MAE，推出ME=AE即可．解答：解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=8，∠B=90°，AD∥BC，∴∠DAG=∠F，∵AF平分∠DAE，∴∠DAG=∠EAF，∴∠EAF=∠F，∴AE=EF，设CE=x，则BC=8﹣x，EF=AE=8+x，在Rt△ABE中，由勾股定理得：82+（8﹣x）2=（8+x）2，x=2，解CE=2；（2）证明：延长CB到M，使BM=DG，连接AM，∵四边形ABCD是正方形，∴∠D=∠ABM=90°，AD=AB，AB∥CD，∴∠3=∠2+∠5=∠4，在△ABM和△ADG中∴△ABM≌△ADG，∴∠4=∠∠M，∠1=∠6，∵∠1=∠2（角平分线定义），∴∠2=∠6，∴∠4=∠M=∠3=∠2+∠5=∠6+∠5，即∠M=∠MAE，∴AE=BE，∵BM=DG，∴AE=BE+DG．点评：本题考查了正方形性质，勾股定理，全等三角形的性质和判定，平行线的性质，等腰三角形的性质和判定等知识点的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力，用了方程思想．26．（2013•福田区一模）如图，E是正方形ABCD的边DC上的一点，过A作AF⊥AE，交CB延长线于点F．AE的延长线交BC的延长线于点G．（1）求证：AE=AF．（2）若AF=7，DE=2，求EG的长．考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质．分析：（1）首先利用余角的性质证明∠FAB=∠DAE，然后利用ASA即可证明△ABF≌△ADE，根据全等三角形的对应边相等即可证得；（2）在直角△ABF中利用勾股定理求得AB的长，则EC的长度即可求得，易证△ADE∽△GCE，根据相似三角形的对应边的比相等即可求解．解答：（1）证明：正方形ABCD中，∠BAD=90°，AD=AB，∵AF⊥AE，∴∠FAB+∠BAE=90°∵∠DAE+∠BAE=90°，∴∠FAB=∠DAE，∵在△ABF与△ADE中．，∴△ABF≌△ADE（ASA），∴AE=AF；（2）解：在Rt△ABF中，∵∠FBA=90°，AF=7，BF=DE=2∴AB==3，∴EC=DC﹣DE=3﹣2，∵∠D=∠ECG=90°，∠DEA=∠CEG，∴△ADE∽△GCE，∴=，∴EG=﹣7．点评：本题考查全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质，勾股定理，正确证明△ABF≌△ADE是关键．27．已知正方形ABCD如图所示，连接其对角线AC，∠BCA的平分线CF交AB于点F，过点B作BM⊥CF于点N，交AC于点M，过点C作CP⊥CF，交AD延长线于点P．（1）若正方形ABCD的边长为4，求△ACP的面积；（2）求证：CP=BM+2FN．考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质．专题：压轴题．分析：（1）根据等角对等边易证AP=AC，根据勾股定理求得AC的长，然后根据三角形的面积公式即可求解；（2）易证△PDC≌△FBC则CP=CF，在CN上截取NH=FN，连接BH，则可以证明△AMB≌BHC，得到CH=BM，即可证得．解答：解：∵四边形ABCD是正方形，AC是对角线，∴∠1=∠2=22.5°，又∵CP⊥CF，∴∠3+∠FCD=∠1+∠FCD=90°∴∠3=∠1=22.5°∴∠P=67.5°又四边形ABCD为正方形，∴∠ACP=45+22.5=67.5°∴∠P=∠ACP∴AP=AC又AC=AB=4∴AP=4，∴S△APC=AP•CD=4×4=8；（2）∵在△PDC和△FBC中，∴△PDC≌△FBC∴CP=CF在CN上截取NH=FN，连接BH∵FN=NH，且BN⊥FH∴BH=BF∴∠4=∠5∴∠4=∠1=∠5=22.5°又∠4+∠BFC=∠1+∠BFC=90°∴∠HBC=∠BAM=45°在△AMB和△BHC中，，∴△AMB≌△BHC，∴CH=BM∴CF=BM+2FN∴CP=BM+2FN．点评：本题是正方形的性质，全等三角形的判定与性质以及勾股定理的综合应用，正确作出辅助线是关键．28．如图，△AGB中，以边