广东省江门市鹤山市碧桂园学校2022-2023学年八年级下学期期中数学试卷

广东省江门市鹤山市碧桂园学校学2022-2023学年八年级（下）期中数学试卷一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．（3分）下列各式中，最简二次根式是（）A． B． C． D．2．（3分）以下各组数为边长能构成直角三角形的是（）A．5，11，12 B．2，， C．，， D．9，12，153．（3分）如图，将▱ABCD的一边BC延长至点E，若∠A＝110°，则∠1等于（）A．110° B．35° C．70° D．55°4．（3分）下列计算正确的是（）A．﹣＝ B．＝ C．＝ D．﹣＝65．（3分）关于四边形，下列说法正确的是（）A．对角线相等的是矩形 B．对角线互相垂直的是菱形 C．对角线互相垂直且相等的是正方形 D．对角线互相平分的是平行四边形6．（3分）已知直角三角形的两条直角边的长分别为3和4，则斜边的长为（）A． B．5 C． D．77．（3分）如图所示，EF过▱ABCD对角线的交点O，分别交AD于E，交BC于点F，若OE＝5，四边形CDEF的周长为25，则▱ABCD的周长为（）A．20 B．30 C．40 D．508．（3分）平行四边形ABCD两邻边长分别为2和3，它们的夹角（锐角）为60°，则平行四边形ABCD中较短的对角线的长为（）A． B． C．3 D．19．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，E、F分别是BC、AC的中点，延长BA至D，使，连接DE、DF，给出下列结论：①DE与AF互相平分，②，③∠AFD＝∠C，④∠ADF＝∠B，⑤DE平分∠BDF．正确的有（）A．①②③ B．①②④ C．①②③④ D．①②③④⑤10．（3分）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，AC与BD相交于点O，N是AO的中点，点M在BC边上，且BM＝3，P为对角线BD上一点，当对角线BD平分∠NPM时，PM﹣PN值为（）A．1 B． C．2 D．二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11．（3分）如果二次根式有意义，那么x的取值范围是．12．（3分）实数a在数轴上的位置如图所示，化简＝．13．（3分）若+|b+1|＝0，则（a+b）2021＝．14．（3分）在▱ABCD中，AB＝4，∠ABC，∠BCD的平分线BE，CF分别与直线AD交于点E，F，当点A，D，E，F相邻两点间的距离相等时，BC的长为．15．（3分）如图，∠CAB＝30°，点D在射线AB上，且AD＝4，点P在射线AC上运动，当△ADP是直角三角形时，PD的长为．16．（3分）在△ABC中，AB＝12，AC＝5，BC＝13，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则PM的最小值为．三．解答题（共9小题，满分72分）17．（6分）计算：（1）；（2）．18．（6分）先化简，再求值：，其中．19．（8分）如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝BC＝2，CD＝3，DA＝1，求四边形ABCD的面积．20．（8分）如图所示，已知▱ABCD的对角线交于点O，过点O作直线分别交AB，CD的反向延长线于点E，F．图中OE和OF有什么数量关系？请说明理由．21．（8分）请在由边长为1的小正三角形组成的虚线网格中，画出1个所有顶点均在格点上，且至少有一条边为无理数的等腰三角形．22．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC中点、F是AC中点，AN是△ABC的外角∠MAC的平分线，延长DF交AN于点E．连接CE．（1）求证：四边形ADCE是矩形；（2）填空：①若AB＝BC＝3，则四边形ADCE的面积为；②当△ABC满足四边形ADCE是正方形．23．（9分）▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，AB⊥BD，若AB＝4，AC＝10．求BD的长．24．（9分）已知：如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点F为边AD上一点（且不与A、D两点重合），联结BF交AC于点E，射线BF与射线CD交于点G，设AF＝x，S△EGC＝y．（1）当BF⊥AC时，求AF的长；（2）求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；（3）过点D作DH⊥BG，垂足为点H，当＝时，求S△EGC的值．25．（10分）【定义】我们把三角形被一边上中线分成的两个三角形叫做“友好三角形”．【性质】如果两个三角形是“友好三角形”，那么这两个三角形的面积相等．【理解】如图1，在△ABC中，CD是AB边上的中线，那么△ACD和△BCD是“友好三角形”，并且S△ACD＝S△BCD．【应用】如图2，△ACD和△BCD是“友好三角形”，AC∥BE，AB与CE相交于点D．（1）求证：△BCD和△BED是“友好三角形”；（2）若△ACD的面积为1，点P时直线AB上的一动点，连接CP，PE，当图中出现一个三角形和△ABC是“友好三角形”时，求出此时△PBE的面积．（3）若∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，BC＝3，AB＝3，点P时直线AB上的一动点，连接PE，当△PBE是等腰三角形时，请直接写出此时AP的长度．

参考答案与试题解析一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．解：A、不是最简二次根式，不符合题意；B、不是最简二次根式，不符合题意；C、是最简二次根式，符合题意；D、不是最简二次根式，不符合题意；故选：C．2．解：A、∵52+112≠122，∴以5，11，12为边长的三角形不是直角三角形；B、∵（）2+（）2≠22，∴以2，，为边长的三角形不是直角三角形；C、∵（）2+（）2≠（）2，∴以、、为边长的三角形不是直角三角形；D、∵92+122＝152，∴以9，12，15为边长的三角形是直角三角形．故选：D．3．解：∵平行四边形ABCD的∠A＝110°，∴∠BCD＝∠A＝110°，∴∠1＝180°﹣∠BCD＝180°﹣110°＝70°．故选：C．4．解：A、原式＝2﹣，所以A选项错误；B、原式＝2+3＝5，所以B选项错误；C、原式＝，所以C选项正确；D、原式＝5﹣＝4，所以D选项错误．故选：C．5．解：A、对角线互相平分且相等的是矩形，故选项错误，不符合题意；B、对角线互相平分且垂直的是菱形，故选项错误，不符合题意；C、对角线互相平分、垂直且相等的是正方形，故选项错误，不符合题意；D、对角线互相平分的是平行四边形，故选项正确，符合题意．故选：D．6．解：由勾股定理得，斜边的长为：＝5，故选：B．7．解：根据平行四边形的中心对称性得：OF＝OE＝5∵四边形CDEF的周长为25∴ED+CD+CF＝25﹣10＝15∴▱ABCD的周长＝15×2＝30故选：B．8．解：作AE⊥BC于E点．∵∠ABC＝60°，AB＝2，∴BE＝1，CE＝2，AE＝，∴AC＝＝＝；故选：A．9．解：连接EF，设AF，DE交于点H，∵E、F分别是BC、AC的中点，∴EF∥AD，EF＝AB，∴∠ADE＝∠DEF∵AD＝AB，∴EF＝AD，又∵∠AHD＝∠EHF，∴△AHD≌△FHE（AAS），∴AH＝FH，DH＝EH，∠ADE＝∠FED；∵∠BAC＝90°，∴∠DAC＝90°，∴DF＞AD，∴DF＞EF，∴∠FDE≠FED，∴∠FDE≠∠ADE，∴DE不平分∠BDF；∵F是AC的中点∴AD＝AB，AF＝AC，∴，又∵∠BAC＝∠DAC＝90°，∴△BAC∽△DAF，∴，∠AFD＝∠C，∠ADF＝∠B，∴DF＝；综上：①DE与AF互相平分，正确；②DF＝BC，正确；③∠AFD＝∠C，正确；④∠ADF＝∠B，正确；⑤DE平分∠BDF，错误；故选：C．10．解：如图所示，∵对角线BD平分∠NPM，∴作以BD为对称轴N的对称点N'，连接MN'，PN'，根据轴对称性质可知，PN＝PN'，∠NPO＝N′PO，NO＝N′O∵在正方形ABCD中，AB＝4∴AC＝AB＝4，∵O为AC中点∴OA＝OC＝2∵N为OA的中点∴ON＝∴ON'＝CN'＝∴AN'＝3∵BM＝3∴CM＝4﹣3＝1∴＝＝∵∠MCN'＝∠BCA∴△MCN'∽△BCA∴∠CMN'＝∠ABC＝90°∵∠MCN'＝45°∴△MCN'为等腰直角三角形∴MN'＝CM＝1∴PM﹣PN的值为1．故选：A．二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11．解：∵二次根式有意义，∴x﹣3≥0，∴x≥3．故答案为：x≥3．12．解：由图可知：a＜0，∴＝﹣a．13．解：因为+|b+1|＝0，所以a﹣2＝0，b+1＝0，解得a＝2，b＝﹣1，所以（a+b）2021＝（2﹣1）2021＝12021＝1，故答案为：1．14．解：①当BE、CF不相交时，如图，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠EBC，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，∴∠AEB＝∠EBC＝∠ABE，∴AB＝AE，∵点A，D，E，F相邻两点间的距离相等，∴AE＝EF＝DF＝AB＝4，∴BC＝3AE＝12；②当BE、CF相交，但点E、F在线段AD上时，如图，∵点A，D，E，F相邻两点间的距离相等，∴AE＝EF＝DF，同理可证：，∵AB＝AE＝4，CD＝DF＝4，∴AF+EF+EF+DE＝8，∴AF＝2，∴BC＝3AF＝6；③当BE、CF相交，且点E在点D右侧，点F在点A左侧时，如图，∵点A，D，E，F相邻两点间的距离相等，∴AF＝AD＝DE，同理可证：，∵AB＝AE＝4，DF＝CD＝4，∴AF+AD+AD+DE＝8，∴AD＝2，∴BC＝AD＝2；综上，BC的长为12或6或2．故答案为：12或6或2．15．解：当∠ADP＝90°时，△ADP是直角三角形，∵∠CAB＝30°，∴AP＝2PD，∵AD2+PD2＝AP2，∴42+PD2＝（2PD）2，∴PD＝，当∠APD＝90°时，△ADP是直角三角形，∵∠CAB＝30°，∴PD＝AD＝2，综上所述，或2．故答案为：或2．16．解：连接AP，∵AB2+AC2＝169，BC2＝169∴AB2+AC2＝BC2∴∠BAC＝90°，且PE⊥AB，PF⊥AC∴四边形AEPF是矩形∴AP＝EF，∠EPF＝90°又∵M是EF的中点∴PM＝EF∴当EF值最小时，PM值最小，即当AP值最小时，PM值最小．根据垂线段最短，即当AP⊥BC时AP值最小此时S△ABC＝AB×AC＝BC×AP∴AP＝∴EF＝∴PM＝故答案为三．解答题（共9小题，满分72分）17．解：（1）原式＝﹣5＝﹣5＝6﹣5＝1；（2）原式＝2+1+1＝2+2＝4+2＝6．18．解：原式＝÷＝÷＝•＝，当a＝时，原式＝＝﹣2﹣．19．解：连结AC，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝BC＝2，∴AC2＝AB2+BC2＝22+22＝8，∵CD＝3，DA＝1，∴CD2﹣DA2＝32﹣12＝8＝AC2，∴DA⊥AC，∴S四边形ABCD＝S△ABC+S△ACD＝．答：四边形ABCD的面积为．20．解：OE＝OF，理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，DF∥BE，∴∠F＝∠E，∠EAO＝∠FCO，在△OAE和△OCF中，，∴△OAE≌△OCF（AAS），∴OE＝OF．21．解：本题答案不唯一，只要符合要求都可以，以下答案供参考．22．证明：∵AN是△ABC外角∠CAM的平分线，∴∠MAE＝∠MAC，∵∠MAC＝∠B+∠ACB，∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∴∠MAE＝∠B，∴AN∥BC，∵F为AC的中点，D为BC的中点，∴FD∥AB，∴四边形ABDE为平行四边形，∴AE＝BD，∵BD＝CD，∴AE＝CD，∴四边形ADCE为平行四边形，∵AB＝AC，点D为BC中点，∴AD⊥BC，∴AD⊥AE，∴∠DAE＝90°，∴四边形ADCE为矩形；（2）①解：∵AB＝AC，D是BC中点，F是AC中点，∴DF∥AB，由（1）知AE∥BD，∴四边形ABDE是平行四边形，∵BC＝AB＝3，AB＝AC，∴△ABC是等边三角形，∴∠ABD＝60°，∵D为BC的中点，∴∠ADC＝90°，BD＝，∴AD＝BD•tan60°＝×＝，∴四边形ABDE的面积为BD×AD＝×＝．故答案为：；②解：答案不唯一，如当∠BAC＝90°即△ABC是直角三角形时时，四边形ADCE是正方形．∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴△ABC为等腰直角三角形，∵D为BC的中点，∴AD＝DC，∵四边形ADCE为矩形，∴四边形ADCE为正方形．故答案为：是直角三角形时．23．解：∵▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∴BO＝DO，AO＝CO，∵AC＝10，∴OA＝5，∵AB⊥BD，AB＝4，∴BO＝，∴BD＝2OB＝6．24．解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝4，BC＝AD＝6，∠BAF＝∠ABC＝90°，∵AC⊥BF，∴∠AEF＝90°，∴∠BAC+∠EAF＝90°，∠EAF+∠AFB＝90°，∴∠BAC＝∠AFB，∴△BAC∽△AFB，∴＝，∴＝，∴AF＝．（2）∵AF∥BC，∴＝＝，∴S△ABE＝•S△ABF＝，∵AB∥DG，∴＝，∴＝，∴DG＝，∴CG＝CD+DG＝，∵AB∥CG，∴△ABE∽△CGE，∴＝（）2，∴＝（）2，∴y＝（0＜x＜6）．（3）过点D作DH⊥BG于H．∵＝，DC＝4，∴DH＝，∵∠BAF＝∠DHF＝90°，∠AFB＝∠DFH，∴△BAF∽△DHF，∴＝，∴＝，解得x＝2或58（舍弃），经检验x＝2是方程的根，∴S△GCE＝＝27．25．（1）证明：∵△ACD和△BCD是“友好三角形”，∴AD＝BD，∵AC∥BE，∴∠A＝∠EBD，∵∠ADC＝∠BDE，∴△AC