2021年浙江省高考数学试卷（学生版+解析版）

2021年浙江省高考数学试卷

一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的。

1.（4分）设集合4={4v?l},B={x\-\<x<2},则403=（

A.{木>-1}B.{木21}C.{x\-1<x<1}{x|lWx<2}

2.（4分）已知a€R,（l+山）i=3+iG•为虚数单位），贝ija=

A.-1C.-3

3.（4分）已知非零向量b,c,则吗=b'c"是=b"的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

4.（4分）某几何体的三视图如图所示（单位：cm）,则该几何体的体积（单位：。/）是（）

正视图恻视图

俯视图

（X+1>0

5.（4分）若实数x,y满足约束条件卜一yS0,则z=x—9的最小值是（）

{2x+3y—1<0

311

A.-2B.一1C.-4D.—

6.（4分）如图，己知正方体ABC。-481clO”M,N分别是4。，的中点，则（）

A.直线4。与直线。18垂直，直线MN〃平面A8C。

B.直线4。与直线OiB平行，直线MN_L平面BOCiBi

C.直线4。与直线QiB相交，直线MN〃平面ABC。

D.直线4。与直线。18异面，直线MNJ_平面

7.(4分)已知函数f(x)=?+1,g(x)=siru,则图象为如图的函数可能是()

11

A.y=/G)+g(X)-4B.y=f(x)-g(x)-4

C.y=/(x)g(x)D.y=j^

8.(4分)已知a,0,厂是互不相同的锐角，则在sinacos0,sin^cosy,sinycosa三个值中，

大于1的个数的最大值是()

A.0B.1C.2D.3

9.(4分)己知a,b&R,ab>0,函数/(x)=cu?+b(xGR).若/'(s-f),f(y),f(5+/)

成等比数列，则平面上点(s,/)的轨迹是()

A.直线和圆B.直线和椭圆

C.直线和双曲线D.直线和抛物线

10.(4分)已知数列｛斯｝满足ai=l,an+i=^=(nGN*).记数列｛即｝的前〃项和为S”

则()

1a9

A.-<Sioo<3B.3<Sioo<4C.4<Sioo<^D.-<Sioo<5

二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。

11.(4分)我国古代数学家赵爽用弦图给出了勾股定理的证明.弦图是由四个全等的直角

三角形和中间的一个小正方形拼成的一个大正方形(如图所示).若直角三角形直角边的

长分别为3,4,记大正方形的面积为S”小正方形的面积为S2,则称=.

比2_A%^^^2

''若/(/(乃))=3,则。=.

｛|%—3|+Q,X<2.

13.(6分)已知多项式(X-1)3+(x+1)4=:X4+«|X3+6Z2X2+a3X+6/4»则。1=；〃2+。3+〃4

14.(6分)在△ABC中，N8=60°，A8=2,M是8C的中点，AM=2g,则AC

=；cosNMA.C=.

15.(6分)袋中有4个红球，烧个黄球，〃个绿球.现从中任取两个球，记取出的红球数为

后若取出的两个球都是红球的概率为，，一红一黄的概率为%则m-n=,E(V

x2y2,

16.(6分)已知椭圆-7+f=1焦点尸1(-c,0),乃(c,0)(c>0).若过

a2b2

Fl的直线和圆(X-1c)2+y2=02相切，与椭圆的第一象限交于点尸，且轴，则该

直线的斜率是,椭圆的离心率是.

17.(4分)已知平面向量Zb,2《手0)满足我|=1,|b|=2,a9b=0,(a-b)*c=0.记

平面向量d在工b方向上的投影分别为x,y,d-Z在"方向上的投影为z,则r^+/+z2

的最小值是.

三、解答题：本大题共5小题，共74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

18.(14分)设函数/(1)=sinx+cosx(xeR).

(I)求函数)，=[/(x+*)产的最小正周期；

■TT7T

(H)求函数y=/(x)/(x-4)在[0,]]上的最大值.

19.(15分)如图，在四棱锥P-ABCO中，底面ABCO是平行四边形，NABC=120°,

AB=\,BC=4,PA=V15,M,N分别为BC,PC的中点，PDA.DC,PMLMD.

(I)证明：ABLPM；

(II)求直线4N与平面P。例所成角的正弦值.

O

20.(15分)已知数列｛斯｝的前"项和为8,”1=一不且4S”+i=3S"-9(nGN*).

(I)求数列｛"〃｝的通项公式；

(II)设数列｛加｝满足3加+(〃-4)即=0(〃€N*),记｛尻｝的前n项和为Tn.若TnWM”

对任意"6N*恒成立，

求实数人的取值范围.

21.(15分)如图，已知尸是抛物线(p>0)的焦点，M是抛物线的准线与x轴的

交点，且

(I)求抛物线的方程：

(II)设过点尸的直线交抛物线于A,8两点，若斜率为2的直线/与直线AM,MB,

A3,x轴依次交于点P,Q,R,N,且满足|RM2=『N.|QN|,求直线/在x轴上截距的取

值范围.

22.(15分)设小匕为实数，且”>1,函数/(x)-hx+e1(xCR).

(I)求函数f(x)的单调区间；

(II)若对任意b>2e2,函数/(x)有两个不同的零点，求a的取值范围；

(III)当〃=e时，证明：对任意bAe",函数/(x)有两个不同的零点xi,xi，满足刈>

blnb,e2

声用+万・

(注：e=2.71828•是自然对数的底数)

2021年浙江省高考数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的。

1.(4分)设集合A={x|xNl},B={x\-l<x<2},则AAB=()

A.{x|x>-1}B.{小21}C.{x|-1<x<1}D.{x|l^x<2}

【解答】解：因为集合A={x|x》l},B={x\-l<x<2},

所以An8={x|lWx<2}.

故选：D.

2.(4分)已知“WR,(l+“i)i=3+i(i为虚数单位)，则a=()

A.-1B.1C.-3D.3

【解答】解:因为(1+ai)i=3+i,即-a+i=3+i,

由复数相等的定义可得，-4=3,即”=-3.

故选：C.

3.(4分)已知非零向量：，b,c,则是"注=b"的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【解答】解：当21b且bl",则＞b=b,2=0,但之与b不一定相等，

故a•b=b•c不能推出a=b,

则=b-c"是5=*的不充分条件;

TT,TTT

由。=b,可得a—b=0,

则日—b)-c=0,即1-b=b-c9

所以a=b可以推出Q•b=b♦c,

故ua-c=b-cn是ua=bn的必要条件.

综上所述，“彘京=b-cv是'得=的必要不充分条件.

故选：B.

4.（4分）某几何体的三视图如图所示（单位：。"），则该几何体的体积（单位：。尸）是（

D.3V2

【解答】解：由三视图还原原几何体如图

DA

该几何体为直四棱柱，底面四边形A2C。为等腰梯形，

其中4B〃C£）,由三视图可知，延长与8c后相交于一点，且AOJL8C,

且AB=2^2,CD=y[2,AA\=\,等腰梯形的高为JAD?—（空手耳=“一哈2=¥

则该几何体的体积V=1x（V2+2V2）x孝x1=|.

故选：A.

x+l>0

5.（4分）若实数x,y满足约束条件x-y<0,则z=x-Jy的最小值是（）

.2%+3y—1<0

311

A.-2B.一1C.一4D.—

【解答】解：由约束条件作出可行域如图,

联立楞'J/1=0,解得A(-L1),

化目标函数z=x—±y为y=2r-2z,由图可知，当直线y=2x-2z过A时,

直线在y轴上的截距最大，z有最小值为-1—^x1=—/

故选:B.

A.直线4。与直线OB垂直，直线MN〃平面ABCD

B.直线Ai。与直线OiB平行，直线平面BZJDiBi

C.直线4。与直线018相交，直线MN〃平面ABC。

D.直线Ai。与直线QB异面，直线MN_L平面BDDiBi

【解答】解：连接A。”如图：

由正方体可知A1O_LAO1,AiDLAB,二Ai£>_L平面4B£)i,

：.A\D±D\B,由题意知MN为△GAB的中位线，AB,

又：ABu平面ABC。，MNC平面ABC£>,；.MN〃平面ABCZX；.A对；

由正方体可知4。与平面相交于点力，OiBu平面BOQ,DW\B,

直线与直线£)|8是异面直线，，B、C错；

<MN〃AB,AB不与平面BOQiBi垂直，；.MN不与平面BQQiBi垂直，二。错.

故选：A.

7.(4分)已知函数/Ge)=?+1,g(尤)=sinx,则图象为如图的函数可能是()

11

A.y=/(x)+g(x)-彳B.y=f(x)-g(x)

C.y=f(x)g(x)D.尸需

【解答】解：由图可知，图象关于原点对称，则所求函数为奇函数，

因为/(x)=/+/为偶函数，g(%)=sinx为奇函数，

函数y=/(x)+g(x)一女=7+5加为非奇非偶函数，故选项A错误；

函数y=f(x)-g(x)-/=7-sinx为非奇非偶函数，故选项8错误；

函数y=f(x)g(x)=(/+/)sinx,则y=2xsiax+(7+/)cosx>0对x£(0,与)恒成

立，

则函数y=/a)g(x)在(0,刍上单调递增，故选项C错误.

故选：£>.

8.(4分)已知a,0,r是互不相同的锐角,则在sinacos0,sinpcosy»sinycosa三个值中,

大于］的个数的最大值是()

A.0B.1C.2D.3

【解答】解：由基本不等式可得：sinacosp<s^a^os2^,sin0cosyg对酹运匕

,sin2y+cos2a

sinycosa<----------,

三式相加，可得：sinacosp+sinpcosy+sinycosa<

很明显sinacosp,sinpcosy，sinycosa不可能均大于

取a=30°,0=60°,Y=45°,

贝！Js讥scos/?=.V,，sin。cosy=骼sinycosa=

1

则三式中大于5的个数的最大值为2,

故选：C.

9.（4分）已知mbER,ab>3函数/G）=ax2+b（xGR）.若/（s-f）,f（s）,f（5+r）

成等比数列，则平面上点（s,f）的轨迹是（）

A.直线和圆B.直线和椭圆

C.直线和双曲线D.直线和抛物线

【解答】解：函数fG）=a?+b,因为/（sr）,/（$）,f（5+0成等比数列，

则/（5）=f（5-r）f（s+/）,即（4，+。）2=[a（5-r）2+b][a（s+D2+/?],

即〃2,d+2。加2+.=。2[Qs-[）2（s+/）2]+ah（$-7）2+ab（s+f）2+Z?2,

整理可得a2t4-2/52及+2442=0,

因为aWO,故a/1-2〃$2a+2/?p=0,即a（〃尸-2as2+2b）=0,

2

所以f=0或。P-2as+2b=0f

当1=0时.，点（s,Q的轨迹是直线；

as2Q±2

当aP-2as2+2匕=0,即:一---=1,因为必>0,故点（s,/）的轨迹是双曲线.

b2b

综上所述，平面上点（s,/）的轨迹是直线或双曲线.

故选：C.

10.（4分）已知数列｛〃〃｝满足。1=1,。〃+1=1（尤N*）.记数列｛〃〃｝的前〃项和为S〃,

l-r^/Un

贝IJ（）

199

A.-<Sioo<3B.3<Sioo<4C.4<SIOO<D.-<Sioo<5

2272

1111121112

【解答】解：由题意可得：----=—+—r==（-i=+~）-7V（7=+O），

aaaa

n+lnVnyn24yjCLn2

1111n-1n+1

.----<-^+一，-^=<1+——=——

aa

Vn+lVn2,an22

11—T-*、4j九+1

从而Qn>-------J'。"+1="k--2=石耳。小

(n+1)1+Van1+iTFT九十3

而+1n+1611113

<---a<---------------=S100<1+-4-6(--二+…)VI+一+一

Qnn+3n(n+l)(n+2)1002、45,22

3.

故选：A.

二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。

11.（4分）我国古代数学家赵爽用弦图给出了勾股定理的证明.弦图是由四个全等的直角

三角形和中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）.若直角三角形直角边的

长分别为3,4,记大正方形的面积为小正方形的面积为S2,则包=25.

【解答】解：,・,直角三角形直角边的长分别为3,4,

・・・直角三角形斜边的长为。32+42=5,

即大正方形的边长为5,，SI=52=25,

则小正方形的面积S2=SI-S阴影=25-4x^x3X4=l,

：.—=25.

S2

故答案为：25.

支2_A比

''若/"(后))=3,贝i」a=2.

｛|x-3|+a,x<2.

X2—4,x>2

【解答】解：因为函数/（X）=

,\x-3|+a,x<2

所以/(6)=(遍)2-4=2,

则/(/(«))=/(2)=|2-3|+a=3,解得a=2.

故答案为：2.

13.(6分)已知多项式(X-1)(x+1)4=/+〃]/+〃2d+。3工+〃4，则m=5;〃2+〃3+〃4

=10.

【解答】解：0即为展开式中/的系数，

所以a\=Cj(-l)。+盘=5；

令X=l,则有1+。1+〃2+〃3+〃4=(1-1)3+(1+1)4=16,

所以〃2+〃3+«4=16-5-1=10.

故答案为：5；10.

14.（6分）在△ABC中，ZB=60°,AB=2,M是6c的中点,AM=2V5,则AC=2713；

2V39

cos/M4C=--------

---13---

【解答】解：在中：AM2=BA2+BM2-2BA-BMcos60°,；.（2V3）2=22+BM2

]

-2X2・BM•一，：.BM2-2BM-8=0,解得：BM=4或-2（舍去）.

2

•.•点M是8c中点，；.MC=4,BC=8,在△ABC中：AC2=22+82-2X2X8cos600=

52,；.4C=2g；

在AAMC中：cosZMAC=（2册+氏号-4?=睿.

2X2A/3X2/1313

_2739

故答案为：2m,；——.

13

15.（6分）袋中有4个红球，m个黄球，〃个绿球.现从中任取两个球，记取出的红球数为

群若取出的两个球都是红球的概率为，，一红一黄的概率为点则m-n=I,E（P

8

-9-

【解答】解：由题意，P（1=2）=乎一=1=枭

Gn+n+4

又一红—黄的概率为=工=—,

*+九+4336

所以C^t+n+4=36,%=3,

解得加=3,〃=2,故"7-〃=1；

由题意，W的可能取值为0,1,2,

所以P（E谒建/

（尸]）_C4C5_20_10

P麓一1）-7f-36-181

13

八口）=1诟，

8

-

所以E(彳)=0x-jg+1xYg+2xj-g9

故答案为：1;*

Xv

16.(6分)己知椭圆-4--=1(«>/?>0)»焦点Fi(-c,0),乃(。，0)(c>0).若过

a2b2

Fl的直线和圆(X-^C)2+y2=02相切，与椭圆的第一象限交于点P,且轴，则该

直线的斜率是亡2^5，椭圆的—离心率是、V5.

【解答】解：直线斜率不存在时，直线与圆不相切，不符合题意；

由直线过尸I，设直线的方程为y=k(x+c),

；直线和圆(X-3)2+)2=c2相切,

...圆心(•!，，0)到直线的距离与半径相等,

\k---O+kc\c,解得人=竽,

,,,VF+1

Xv

将x=c代入/•+京■=1,可得P点坐标为P(c,

7tan/PF[F2=盘=%=k=弟,

a2-c2_275.id_2^5

2ac-5'2e-5

店

ep

2V5V5

故答案为：子

5

17.(4分)已知平面向量b,”%力0)满足向=1,|/?|=2,a'b=0,(a-b>c=0.记

2

平面向量；在次1方向上的投影分别为x,y,靛^方向上的投影为z,则?+/+z

的最小值是:.

【解答】解：令2=(1,0),b=(0,2),c=(m,n),

因为(a—b)・c=0,故(1,-2),(m，n)=0,.\m-Q.n=0,令c=(2n,n),

d-a在1方向上的投影分别为x,y,设d=(%,y),

则：d—a=(x—1,y),(d—a)-c=2n(x—1)+ny,\c\—y/5n,

从而：z=£±6=竺y,故2x+y-V5z=2,

©北

则?+/+?表示空间中坐标原点到平面2x+y-V5z-2=0上的点的距离的平方,

由平面直角坐标系中点到直线距离公式推广得到的空间直角坐标系中点到平面距离公式

可得:

(2,2,2\_,2x0+0-75x0-2-2_4_2

(rX+旷v+z7)min-(——)-10-5-

故答案为：|.

三、解答题：本大题共5小题，共74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

18.(14分)设函数/(x)=sinx+cosx(xER).

(I)求函数y=[/(x+5)产的最小正周期；

IT7T

(II)求函数y=/(x)/(x-Q在[0,'上的最大值.

【解答】解：函数f(x)=sinx+cosx=V2sin(x+

(I)函数y=[/(冗+^)+之+4)]2=2COS2(X+彳)

7T71

=l+cos[2(x+/)]=l+cos(2x+2)=l-sin2x,

则最小正周期为7=竽=m

(II)函数y=/(x)f(x-^)=V2sin(x4--V2sm(x-

=(V2(siar+cosx)sin¥=V2(sm2x4-sinxcosx)

二&(1c；s2x+\sin2%)=sin(2x—+孝，

因为淤[0,舒，所以2x—E[―与，苧]，

所以当2%-,=当即x=等时，f(X)加一=1+?.

19.(15分)如图，在四棱锥尸-A8CO中，底面A3CO是平行四边形，ZABC=120°,

48=1,BC=4,V15,M,N分别为8C,PC的中点，PD上DC,PM1.MD.

(I)证明：ABA.PM；

(ID求直线AN与平面尸DM所成角的正弦值.

【解答】(I)证明：在平行四边形ABC。中，由已知可得，CD=AB=1,

1

CM=”C=2,ZDCM=60°,

由余弦定理可得，DM2=CD2+CM2-2CDXCMXcos60°

1

=1+4—2xlx2X]=3,

则cJ+oMnl+SuduCAA即COJ_£>M,

又PM1.MD,PMCDM=M,平面POM,

而PMa平面PDM,：.CDLPM,

"."CD//AB,：.ABLPM；

(H)解：由(I)知，CZ)_L平面PDM,

又CZ)u平面ABCD,：.平面ABC。1.平面PDM,

且平面4BCOC平面PDM=DM,

'JPMLMD,且PA/u平面PDA/,平面ABC。，

连接AM,则

在△A8M中，AB=\,BM=2,ZABM=nO°,

1

可得AM?=1+4-2x1x2x(-^)=7,

又PA=V15,在RtAPMA中，求得PM=y/PA2-MA2=272,

取A。中点E,连接ME,则ME〃C£),可得ME、MD、MP两两互相垂直，

以M为坐标原点，分别以ME、MP为x、y、z轴建立空间直角坐标系,

则A(-V3,2,0),P(0,0,2V2),C(V3,-1,0),

又N为PC的中点，号，-1,&),£;=(苧，V2),

平面PDM的一个法向量为n=(0,1,0),

设直线AN与平面PDM所成角为0,

5

-

2

则sin。=|cos<AN,n>\=巴''初

\AN\-\n\阳竽+2xlb

故直线AN与平面PDM所成角的正弦值为号.

6

9

20.(15分)已知数列｛斯｝的前〃项和为S〃，c〃=一十且4S〃+i=3S〃-9(那N*).

(I)求数列｛〃〃｝的通项公式;

(II)设数列｛与｝满足3加+(〃-4)即=0(neN*),记｛加｝的前n项和为Tn.若T〃0bn

对任意“WN*恒成立,

求实数人的取值范围.

【解答】解：(I)由4S〃+i=3S〃>9可得4S?=3S〃-i>9(心2),

两式作差，可得：4an+\=3anf

=7'所以数列｛斯｝是以-1为首项，三为公比的等比数列，

4

an44

1

其通项公式为：an=(-1)x(I)-=—3x(3n.

力一

4Rn

(II)由38〃+(n-4)如=0,得bn—2―an=(n—4)(^),

7n=-3x,-2x弓)2—ix弓尸+…+(『5)4尸+(n—4).(扔

33333n3九+1

-T„=-3x(-)-2x(-)-1x(-)+-+(n-5)-(-)+(n-4)-(-),

两式作差可得：

]33238343n3n+l

4Tn=-3X4+C4)+(4)+(N+…(N_S_4).(Z)

=_'+忠1；/匚。_4后尸】

=-I+|-4(1)n+1-(n-4).(|r+1=-n.(1)"+1,

则7；=-4n-(|)n+1.

据此可得—S4(n—4)弓尸恒成立，即入(〃y)+3〃》0恒成立.

〃=4时不等式成立；

雇V4时，A<-^4=-3由于〃=1时(一3一，|口加沅=1，故入W1；

〃>4时，A>——3—7^4,而一3-3,故：入2-3；

综上可得，{入|-3W入W1}.

21.(15分)如图，已知F是抛物线，=2px(p>0)的焦点，M是抛物线的准线与x轴的

交点，且|Mf]=2.

(I)求抛物线的方程:

(H)设过点F的直线交抛物线于A,8两点，若斜率为2的直线/与直线MA,MB,

AB,x轴依次交于点P,Q,R,M且满足|7?M2=|PM」2N|,求直线/在x轴上截距的取

值范围.

【解答】解：(I)依题意，0=2,故抛物线的方程为/=4x；

(II)由题意得，直线A8的斜率存在且不为零，设直线AB：y=k(x-1),

将直线48方程代入抛物线方程可得，必，-(2必+4)》+庐=0,

则由韦达定理有，/+久B=2+刍，xAxB=1,则用用=-4,

设直线AM：y=k\(x+1),其中/q=，设直线8M：y=ki(x+l),其中攵2="/，

Xy|十JL十JL

则向+七=4+耳=宰弁嚅”=

2

1xA+lxB+l(勺+1)(%+1)

去(\4一1)¥8+〃(%4-1)+卜(%―1必+心0_1)______0_______n

(勺+1)%+1)—(肛+1)(”)—u，

2

="如=-4=.k

(0+1)(%+1)1+2+当+11+必'

k乙

设直线/：y=2Cx-r),

y=2(x—t)__zgk-2t.k-2t।,k-kt.

联立•,y=/c(x-l),可r侍&=1^■，人J.R-tl=—

卷则|XPT|=|线T|=|嚼I，

联立器像lb,可得知=

同理可得，沏=得，|和一[=|燮等],

又|KNF=|"V]・|QV],

22

•Ik—kt_।加+爪3+k2t,即，k—kt、2_k(1+t)

|2-।2-k］，2-33N-3/+4'

2

(14-t)3k2+43(k-2)2+12(k-2)+161612432

-------------------------------------------------_i_-----_J_<—(-----_i_—A_i_

**(t-1)2_(k-2)2-(k-2)2-(k-2)2k-2—、k-22J

33

->-(f#l),

44

.♦.4(P+2f+l)23(P-2/+1),即P+14/+1NO,解得t>4V3-7或t<-7-4>/3(r41),

.•.直线/在x轴上截距的取值范围为(一8,-7-4>/3]U[4V3-7,l)U(l,+oo).

22.(15分)设a,6为实数，且a>l,函数f(x)—aK-bx+e1(xGR).

(I)求函数f(x)的单调区间；

(ID若对任意人>2e2,函数f(x)有两个不同的零点，求a的取值范围；

(III)当a=e时，证明：对任意bAe、函数f(x)有两个不同的零点