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文档简介
第二章矩阵本章要求
1.掌握矩阵的运算,了解方阵的幂、方阵乘积的行列式;2.理解逆矩阵的概念,掌握逆矩阵的性质及矩阵可逆的充要条件,掌握求逆矩阵的方法(伴随矩阵求逆及初等变换求逆);3.掌握矩阵的初等变换和求矩阵的秩的方法.本章重点
用初等变换求逆矩阵及求矩阵的秩的方法.下页
在某些问题中,存在若干个具有相同长度的有序数组.比如线性方程组的每个方程对应一个有序数组:a11x1+a12x2+
+a1nxn
=b1a21x1+a22x2+
+a2nxn
=b2am1x1+am2x2+
+amnxn
=bm
(a11
a12
a1nb1)
(a21
a22
a2nb2)(am1
am2
amnbm)→→→→这些有序数组可以构成一个表a11
a12
a1nb1
a21
a22
a2nb2am1
am2
amnbm这个表就称为矩阵.§1矩阵的概念下页其中
aij称为矩阵的第
i行第
j列的元素.
一般情况下,我们用大写字母
A,B,C等表示矩阵.m
n矩阵A简记为
A
(aij)m
n
或记作
Am
n.a11
a12
a1n
a21
a22
a2nam1
am2
amn定义1
由
m
n个数
aij(i
1,2,
,m;j
1,2,
,n)排成一个
m行
n列的矩形表称为一个
m
n矩阵,记作下页零矩阵
所有元素均为0的矩阵称为零矩阵,记为O.行矩阵与列矩阵
只有一行的矩阵称为行矩阵,只有一列的矩阵称为列矩阵.常用小写黑体字母
a,b,x,y等表示.例如a=(a1
a2
an),b1b2
bm
b=.负矩阵-a11
-a12
-a1n
-a21
-a22
-a2n-am1
-am2
-amn称矩阵为A的负矩阵,记作–A.下页b11b21
bn10b22
bn2
00
bnnB=.A=.a11a12
a1n0a22
a2n
00
ann
如下形式的n
阶矩阵称为上三角形矩阵.三角形矩阵
如下形式的n
阶矩阵称为下三角形矩阵.方阵
若矩阵A的行数与列数都等于n,则称A为n阶矩阵,或称为n阶方阵.下页a110
00a22
0
00
annA=.对角矩阵
如下形式的n
阶矩阵称为对角矩阵.
对角矩阵可简单地记为A=diag(a11,a22,
,ann).
单位矩阵
如下形式的n
阶矩阵称为单位矩阵,记为En
或E.10
001
0
00
1E=.
定义2
矩阵相等:设A
(aij),B
(bij)为同阶矩阵,如果aij
bij(i
1,2,
,
m;j
1,2,
,n),则称矩阵A与矩阵B
相等,记作A
B.下页第二节矩阵的线性运算、乘法和转置运算四、转置矩阵及对称方阵一、矩阵的加法二、数与矩阵的乘法三、矩阵的乘法五、方阵的行列式下页一、矩阵的加法
定义1
设A与B为两个m
n矩阵A
Ba11+b11
a12+b12
a1n+b1n
a21+b21
a22+b22
a2n+b2nam1+bm1
am2+bm2
amn+bmn=.a11
a12
a1n
a21
a22
a2nam1
am2
amnA=,b11
b12
b1n
b21
b22
b2nbm1bm2
bmnB=,A与B对应位置元素相加得到的m
n矩阵称为矩阵A与B的和,记为A
B.即C=A+B.下页
例1.设357
22043012
3A=
,132
02157064
8B=
,则357
22043012
3A+B=132
02157064
8+3+15+37+2
2+02+20+14+53+70+01+62+4
3+8=489
241910076
11.=矩阵的加法:设A
(aij)m
n与B
(bij)m
n,则A+B=(aij+bij)m
n。下页
设A,B,C都是m
n矩阵.容易证明,矩阵的加法满足如下运算规律:
(1)交换律:
A+B=B+A;(2)结合律:(A+B)+C=A+(B+C);
(3)A+O=A,其中O是与A同型的零矩阵;
矩阵的减法可定义为:
显然:若A=B,则A+C=B+C,A-C=B-C;若A+C=B+C,则A=B.(4)A+(-A)=O,其中O是与A同型的零矩阵.
下页a11
a12
a1n
a21
a22
a2nam1
am2
amnA=,
定义2
设A
(aij)为m
n矩阵则以数k乘矩阵A的每一个元素所得到的m
n矩阵称为数k与矩阵A的积,记为kA.即ka11
ka12
ka1n
ka21
ka22
ka2nkam1
kam2
kamnkA=.二、数与矩阵的数法下页矩阵的数乘:设A
(aij)m
n
,则kA=(kaij)m
n
.
例2.设357
22043012
3A=
,则3A357
22043012
3=33
33
53
7
3
23
23
03
43
33
03
13
2
3
3=91521
66012
9036
9=.下页(5)
k(A
B)
kA
kB;(6)(k
l)A
kA
lA
;(7)(kl)A
k(lA);(8)1
A=A.
设A,B,C,O都是m
n矩阵,k,l为常数,则矩阵数乘的性质:另外,易得
0
A=O
.性质(1)-(8),称为矩阵线性运算的8条性质,须熟记.下页
例3.设357
22043012
3A=
,132
02157064
8B=
,求3A-2B.
解:3A-2B
357
22043012
3=3132
02157064
8-2264
04210140128
16-91521
66012
9036
9=.7917
62-22
-50-9-2
-7=9-215-621-4
6-06-40-212-10
9-140-03-126-8
9-16=下页
例4.已知357
22043012
3A=
,132
02157064
8B=
,且A+2X=B,求X。
解:A+2X+(-A)=B+(-A)
;两边加A的负矩阵A+(-A)+2X
=B+(-A)
;交换律O+2X
=B-A
;性质4A+(-A)+2X
=B-A
;约定(减法)2X
=B-A
;性质3½*2X
=½*(B-A);数乘运算1X
=½*(B-A);恒等变换X
=½*(B-A);性质8下页从而得X
=½*(B-A)
例4.已知357
22043012
3A=
,132
02157064
8B=
,且A+2X=B,求X。说明:实际运算时,一般给出主要步骤即可,但应注意与数的运算的区别。解:下页
定义3
设A是一个m
s矩阵,B是一个s
n矩阵:构成的m
n矩阵C称为矩阵A与矩阵B的积,记为C
AB.
则由元素
cij
ai1b1j
ai2b2j
aisbsj(i
1,2,
,m;j
1,2,
,n)
a11
a12
a1s
a21
a22
a2sam1
am2
amsA=,b11
b12
b1n
b21
b22
b2nbs1
bs2
bsnB=,c11
c12
c1n
c21
c22
c2ncm1
cm2
cmnAB=.即三、矩阵的乘法下页cij
ai1b1j
ai2b2j
aisbsj(i
1,2,
,m;j
1,2,
,n).
a11
a12
a1s
a21
a22
a2sam1
am2
amsb11
b12
b1n
b21
b22
b2nbs1
bs2
bsnc11
c12
c1n
c21
c22
c2ncm1
cm2
cmn=
ai1b1j
ai2b2j
aisbsj.(ai1
ai2
ais
)b1jb2j
bsj
注:A的列数等于B的行数,AB才有意义;C的行数等于A的行数,列数等于B的列数.
因此,cij
可表示为A的第i行与B的第
j列的乘积.矩阵的乘法:cij
下页cij
ai1b1j
ai2b2j
aisbsj(i
1,2,
,m;j
1,2,
,n).
a11
a12
a1s
a21
a22
a2sam1
am2
amsb11
b12
b1n
b21
b22
b2nbs1
bs2
bsnc11
c12
c1n
c21
c22
c2ncm1
cm2
cmn=矩阵的乘法:下页(i
1,2,
,m).(1)先行后列法b11
b12
b1n
b21
b22
b2nbs1
bs2
bsn(ai1
ai2
ais)=()ci1ci2
cinB=,求AB及BA.
A=
,
例5.设231-2311-2-32-10
解:231-2311-2-32-10AB==-6-78(1)先行后列法B=,求AB及BA.
A=
,
例5.设231-2311-2-32-10
解:231-2311-2-32-10AB==-6-78-30-3(1)先行后列法B=,求AB及BA.
A=
,
例5.设231-2311-2-32-10
解:231-2311-2-32-10AB==-6-78-30-9-7-35(1)先行后列法下页cij
ai1b1j
ai2b2j
aisbsj(i
1,2,
,m;j
1,2,
,n).
a11
a12
a1s
a21
a22
a2sam1
am2
amsb11
b12
b1n
b21
b22
b2nbs1
bs2
bsnc11
c12
c1n
c21
c22
c2ncm1
cm2
cmn=矩阵的乘法:下页a11
a12
a1s
a21
a22
a2sam1
am2
amsb1jb2j
bsj(2)先列后行法(j
1,2,
,n).c1jc2j
cmj=B=,求AB及BA.
A=
,
例5.设231-2311-2-32-10
解:231-2311-2-32-10AB==5-38(2)先列后行法B=,求AB及BA.
A=
,
例5.设231-2311-2-32-10
解:231-2311-2-32-10AB==5-38-70-7(2)先列后行法B=,求AB及BA.
A=
,
例5.设231-2311-2-32-10
解:231-2311-2-32-10AB==5-38-70-7-6-9-3(2)先列后行法B=,求AB及BA.
A=
,
例5.设231-2311-2-32-10231-2311-2-32-10BA==4-983
解:231-2311-2-32-10AB==-6-78-30-9-7-35;通常采用:先行后列法下页
例6.设A=
,4-2-21B=
,求AB及BA.
4
2-6-3AB=4-2-214
2-6-3
解:-32-16168=BA=4-2-214
2-6-30
000=B=,求AB及BA.
A=
,
例5.设231-2311-2-32-10
解:AB=-6-78-30-9-7-35,BA=4-983.下页
例6.设A=
,4-2-21B=
,求AB及BA.
4
2-6-3AB=
解:-32-16168,BA=0
000B=,求AB及BA.
A=
,
例5.设231-2311-2-32-10
解:AB=-6-78-30-9-7-35,BA=4-983.显然,1)矩阵乘法一般不满足交换律,即AB
BA;2)两个非零矩阵相乘,乘积可能是零矩阵,但不能从AB=O,推出A=O或B=O.下页1110
例7.设A=
,B=
,求AB及BA.
2110
解:11102110AB=3110=21101110BA=3110=
显然AB=BA.
如果两矩阵A与B相乘,有AB=BA,则称矩阵A与矩阵B可交换.问题:与A可交换的B怎么得到?下页显然AC=BC,但A
B.矩阵乘法不满足消去律.例8.对于任意矩阵A,B及相应的单位矩阵E有:EA=A,BE=B.下页例10.100000001设A=则AA=100000001100000001100000001==A显然AA=A,但A
E,A
O
.
下页a11x1+a12x2+
+a1nxn
=b1a21x1+a22x2+
+a2nxn
=b2am1x1+am2x2+
+amnxn=bm
x1x2
xn
a11
a12
a1n
a21
a22
a2nam1
am2
amnb1b2
bm
=例11.线性方程组的矩阵表示(矩阵方程)简记为:AX=B.x1x2
xn
a11
a12
a1n
a21
a22
a2nam1
am2
amnb1b2
bm
其中,A=,X=,B=下页应注意的问题:
(1)AB
BA
;
(3)AB=OA=O或B=O;/
(2)AC=BCA=B;/
矩阵乘法的性质:方阵的幂:
对于方阵A及自然数k
Ak=A
A
A(k个A相乘),称为方阵A的k次幂.
方阵的幂有下列性质:
(1)ArAs=Ar+s;
(2)
(Ar)s=Ars.
(4)AA=AA=E或A=O./
(1)(AB)C=A(BC);
(2)(A+B)C=AC+BC;
(3)C(A+B)=CA+CB;
(4)k(AB)=(kA)B=A(kB).问题:(A+B)2=?下页
定义4
将m
n矩阵A的行与列互换,得到的n
m矩阵,称为矩阵A的转置矩阵,记为AT或A
。即如果a11a21…am1
a12a22…am2
a1na2n…amn
…………
A=,a11a12…a1n
a21a22…a2n
am1am2…amn
…………
AT
=则.
例如,设
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