哈密顿原理课件

2.多自由度力学体系的小振动

考虑一个完整、稳定、保守的力学体系在平衡位置附近的微小振动，设平衡位置的广义坐标为零，可以将势能展为泰勒级数取对保守系略去高级项第1页/共37页在稳定约束下，动能只是速度的二次函数其中也展开为泰勒级数只取第一项，则为常量惯性系数恢复系数第2页/共37页代入拉氏方程，得到解的形式为代入上式，得第3页/共37页由上式可求出2s个本征值从而求出2s组解为第4页/共37页振动解要求为纯虚数，要做到这一点势能V>0.令上式中叫简正频率，共有s个。第5页/共37页3.简正坐标代入拉氏方程得到第6页/共37页解出简正坐标简正频率第7页/共37页第3章、哈密顿力学1．勒让德变换称为主变量，没有参与变化的称作辅变量。第8页/共37页2．哈密顿正则方程的推导旧函数变换新函数变量函数形式第9页/共37页3．对哈氏方程的说明(1)、H函数的物理意义第10页/共37页(2)、哈氏正则方程同受理想约束的完整具势组的拉氏方程是等价的，应用条件都是对惯性系中。4．正则方程中的初积分(1)、广义能量积分证明：第11页/共37页(2)、循环积分（广义动量守恒）为循环坐标，则5．哈氏正则方程中的解题步骤①建立坐标系（惯性系），确定体系的自由度，选取恰当的广义坐标；②写出体系的动能及势能；第12页/共37页七、相空间1.定义:由广义坐标和广义动量共同构成的2s维空间,称作相空间,通常又称作P—q空间.③用表示出哈氏函数④代入正则方程求解。第13页/共37页2.相空间与位形空间的区别位形空间相空间维数s2s功能确定位形位形和运动状态空间点遵循的方程拉格朗日方程哈密顿正则方程第14页/共37页2．哈密顿正则方程的推导旧函数变换新函数变量函数形式第15页/共37页例1、用哈密顿正则方程研究一维谐振子的运动。解：设振子的质量为m，劲度系数为k，沿x轴运动，并且伸长量为x。则其动能和势能分别为：广义动量：体系的哈密顿函数：第16页/共37页根据哈密顿正则方程可得：第17页/共37页例2、轴为竖直而顶点在下的抛物线金属丝以匀角速度ω绕轴线转动。另有一质量为m的光滑小环在金属丝上并可沿此金属丝滑动。求小环的运动微分方程。抛物线的方程为解：取取xoz平面为零势面，则第18页/共37页第19页/共37页第20页/共37页1.泊松括号设§3.3泊松括号和泊松定理

代入得到其中泊松括号第21页/共37页若则反之，若则是正则方程的一个运动积分，因为有第22页/共37页定义第23页/共37页2.泊松定理利用泊松括号，可以从正则方程的两个积分，求另一个积分若则利用得到于是第24页/共37页复习与回顾1.泊松括号定义设第25页/共37页复习与回顾第26页/共37页复习与回顾2.泊松定理若于是第27页/共37页H不是t的显函数时，H=h是正则方程的一个积分，若由泊松定理但故依此类推，可得第28页/共37页§3.12哈密顿原理

1.变分运算的几个法则1）2）第29页/共37页但是可见一般不能对易。若则等时变分不等时变分第30页/共37页2.哈密顿原理

保守的、完整的力学体系在相同时间内，由某一位形转移到另一位形的一切可能运动中，真实运动的主函数具有稳定值。即对于真实运动来讲，主函数的变分为零。由拉氏方程可得但第31页/共37页因为称为作用函数或主函数第32页/