级多项式方程求根

推导公式f(x)≡a0xn+a1xn-1+……+an-1x+an=0多项式f(x)除以(x-xk),设商为Q(x)=b0xn-1+b1xn-2+……+bn-2x+bn-1余数为bn,则f(x)=(x-xk)Q(x)+bn将f(x)和Q(x)

代入上式,有a0xn+a1xn-1+……+an-1x+an=(x-xk)(b0xn-1+b1xn-2+……+bn-2x+bn-1)+bn=b0xn+(b1-xkb0)xn-1+

(b2-xkb1)xn-2+……+bn-xkbn-1由两个多项式相等的充要条件,得b0=a0b1=a1+xkb0b2=a2+xkb1……bn=an+xkbn-1递推关系式

(2)(1)

f(xk)的计算格式

设xk是方程f(x)=0的近似解说明实际上是用秦九韶计算顺序计算f(xk)

=bn.多项式Q(x)除以(x-xk),设商为H(x)=c0xn-2+c1xn-3+……+cn-3x+cn-2余数为cn-1

,则Q(x)=(x-xk)H(x)+cn-1将Q(x)和H(x)

代入上式,有b0xn-1+b1xn-2+……+bn-2x+bn-1=(x-xk)(c0xn-2+c1xn-3+……+cn-3x+cn-2)+cn-1=c0xn-1+(c1-xkc0)xn-2+

(c2-xkc1)xn-3+……+cn-1-xkcn-2由两个多项式相等的充要条件,得c0=b0c1=b1+xkc0……cn-1=bn-1+xkcn-2递推关系式

对f

(x)=(x-xk)Q(x)+bn求导,得并考虑到式(3)式,有(3)(2)

f′(xk)的计算格式

Q(x)=b0xn-1+b1xn-2+……+bn-2x+bn-1(3)牛顿法求多项式方程的根的计算步骤①取x0=0,或找出初始值x0.②对k=0,1,2,…,计算③误差判断

，或用|xk+1-xk|例1设f(x)=x3

–x2+2x+5,若取x0=-1,用递推公式计算f(xk),f'

(xk),并按牛顿迭代过程计算xk+1

,k=0,1,….计算结果如表1所示.0-11-2411-370.1428571-1.1428571-2.1428574.448979-0.0845461-3.2857149.141426-0.010305

2-1.1298071-2.1298074.406241-0.0217641-3.2596148.0890060.0026913-1.1324981-2.1324984.415050-0.0000351-3.2649968.089006-0.000004

4-1.1324941-2.1324944.415037-0.000003表12.

劈因子法(

牛顿法的推广

)使用范围

求实多项式的复根思想方法从多项式的某个近似二次因式出发,用迭代的方法,使之逐步精确,求出满足精度要求的数值解.(1)推导公式f(x)≡a0xn+a1xn-1+……+an-1x+an=0f(x)除以x2+ux+v,设商为p(x)=b0xn-2+b1xn-3+……+bn-3x+bn-2余数为r0x+r1,因此,有f(x)=(x2+ux+v)p(x)+r0x+r1r0,r1都是u,v的函数,即若r0,r1越小,x2+ux+v越接近f(x)的二次因式；若r0=0,r1=0，则x2+ux+v是f(x)的二次因式,但是,x2+ux+v是f(x)的近似二次因式,设x2+ux+v为f(x)的一个近似二次因式，因此,r0

≠0,r1≠0,解关于u,v的非线性方程组设其真解为(u*,v*),则有且x2+u*x+v*是f(x)的精确二次因式.将其左端在(u,v)展开到一阶项令运用牛顿切线法的思想将非线性方程线性化，解关于线性方程组得到增量,可得到改进的二次因式其解比x2+ux+v的解更接近真解,因此,上式是x2+ux+v的改进式.f(x)=(x2+ux+v)p(x)+r0x+r1下面说明方程组(5)系数的计算方法.且x2+u*x+v*是f(x)的精确二次因式.下求的近似解①

r0,r1的计算

下面说明方程组(5)系数的计算方法.将p(x)=b0xn-2+b1xn-3+……+bn-3x+bn-2代入f(x)=(x2+ux+v)p(x)+r0x+r1比较系数，得f(x)=a0xn+a1xn-1+……+an-1x+anb0=a0b1=a1-ub0b2=a2-ub1-vb0……bn-2=an-2-ubn-3-vbn-4r0=an-1-ubn-2-vbn-3r1=an-vbn-2②

的计算

将f(x)=(x2+ux+v)p(x)+r0x+r1对v求偏导数,注意x2+ux+v是v的函数,p(x)是f(x)除以x2+ux+v的商,故p(x)也是v的函数,f(x)和v无关,因此有或r1=bn+ubn-1或r0=bn-1②

的计算

将f(x)=(x2+ux+v)p(x)+r0x+r1对v求偏导数,注意x2+ux+v是v的函数,p(x)是f(x)除以x2+ux+v的商,故p(x)也是v的函数,f(x)与v无关,因此有其中为n-4次多项式，记为代入(6)式,并与p(x)表达式相比较,有相应的递推关系c0=b0c1=b1-ub0……ci=bi-uci-1-vci-2(i=2,3,…,n-3)s0=bn-3-ucn-4-vcn-5s1=cn-2+ucn-3……p(x)=b0xn-2+b1xn-3+……+bn-3x+bn-2或s0=cn-3cn-4=bn-4-ucn-5-vcn-6或s1=bn-2-vcn-4由(6)式知③

的计算

将f(x)=(x2+ux+v)p(x)+r0x+r1对u求偏导数,有式(6)两端乘x,并整理,有

比较(7)式与(8)式,有注

初始近似二次因式可从物理背景给出,也可从数学上估计.以上这种由f(x)=0的近似二次因式x2+ux+v,求出更精确的二次因式的方法称为劈因子法.设f(x)=xn+a1xn-1+……+an-2x2+an-1x+an,则其末尾二次因式是该多项式的一对最小复根的近似二次因式.证设方程f(x)=0的n个根由根与系数的关系（Vieta定理）有因此有即是对应于一对最小复根的近似二次因式.(2)估计代数多项式二次因式的一种方法例2用劈因子法求x4

+8x3

+39x2-62x+50=0的一对最小复根的二次因式.解取对应一对最小复根的尾部二次式x2

-1.6x+1.3作为初始近似二次因式.计算结果如表2所示.0-1.61.3

1-6.427.6-9.744-1.28841-4.818.4826.064-0.36280.63331-1.96281.9333

1-6.037225.2169-0.8325-0.38191-4.074415.286437.0487-0.036840.066072-1.99961.9994

1-6.000425.0022-0.0084-0.00221-4.000815.002837.9904-0.00040.0007表22-1.99961.99941-6.000425.0022-0.0084-0.00221-4.000815.002837.9904-0.00040.00073-2.00002.00011-6.000024.99990.0004-0.00151-4.000014.999838.000-0.0001

4-2.00002.0001-6.