《金融数学》（3）变额年金

孟生旺中国人民大学统计学院变额年金

（VaryingAnnuities）1整理课件主要内容递增年金（离散支付，离散递增）递减年金（离散支付，离散递减）复递增年金：按几何级数递增的年金每年支付m次的递增年金（略去递减年金）连续支付的变额年金：连续支付，离散递增（或递减）连续支付连续递增（或递减）的年金一般的连续支付连续变额现金流2整理课件回顾：等额年金公式年金基本年金永续年金的现值现值累积值期末付期初付3整理课件年金每年支付m次的年金永续年金的现值现值累积值期末付期初付4整理课件连续支付的年金（连续年金）连续支付的永续年金的现值现值累积值5整理课件1、递增年金（increasingannuity）期末付递增年金：第一期末支付1元，第二期末支2元，…，第n期末支付n元。按算术级数递增。如果用表示其现值，则有上式两边同时乘以(1+i)则有6整理课件

用第二式减去第一式则有

所以递增年金的现值为7整理课件递增年金分解表时期

0123…n–1

n递增年金123…n–1n等额年金111…1111…111…11………111递增年金=n年定期年金

+延期1年的(n–1)年定期年金

+延期2年的(n–2)年定期年金

+…+延期(n–1)年的1年定期年金8整理课件将上述各项年金的现值相加即得递增年金的现值为

9整理课件根据现值求得其累积值为期初付递增年金的现值期初付递增年金的累积值建议：只记忆期末付年金的现值公式。10整理课件当时，还可以得到递增永续年金的现值为在计算上述极限时，11整理课件例：某人希望购买一项年金，该项年金在第一年末的付款为1000元，以后每年增加100元，总的付款次数为10次。如果年实际利率为5%，这项年金的现值应该是多少？解：年金分解如下：1000110018001900900900900900100200900100012整理课件例：写出下述年金的现值公式设A表示此年金的现值，则13整理课件例：证明下列关系式成立：

（1）（2）14整理课件（2）由于，因此（1）15整理课件时期

0123…n–1

n递减年金nn–1n–2…

21等额年金111…11111…1111…………

111111期末付递减年金：第一期末支付n元，第二期末支付n–1元，…，第n期末支付1元。按算术级数递减。2、递减年金（decreasingannuity）16整理课件因此递减年金的现值也可以表示为上述等额年金的现值之和，即：17整理课件递减年金的其他公式：18整理课件例：一项年金在第一年末付款1元，以后每年增加1元，直至第n年。从第n+1年开始，每年递减1元，直至最后一年付款1元。试计算该项年金的现值是多少？12nn-1119整理课件

20整理课件3、复递增年金（compoundincreasingannuity）

含义：付款金额按照某一固定比例增长的年金。期末付复递增年金：在第1年末支付1元，此后每年的支付金额按的复利r增长，直到第n年末支付(1+r)n-1。21整理课件上述年金的现值：变形可得：若r

i,

令，则现值为：

若r=i,

则现值为

n/(1+i)

其中22整理课件例：某10年期的年金在第一年末付1000元，此后的给付金额按5％递增，假设年实际利率为11.3%，请计算这项年金在时刻零的现值。解：本例年金的现金流如下图所示：23整理课件

现值：其中因此该项年金的现值为：24整理课件期初付复递增年金：假设一项年金在第1年初给付1元，此后给付金额按复利增长，直到第n年初给付金额为元。25整理课件此项年金的现值表达式：若r

i，则可令，上式变形为：

其中

若r=i,则现值为n26整理课件问题：对于等额年金，期初付年金的现值是期末付年金的(1+i)倍，对于复递增年金而言，期初付与期末付存在什么关系？

若r=i,

期末付的现值为

n/(1+r)=n/(1+i)，期初付的现值为n.

若r≠i,期末付的现值为：期初付的现值为：结论：期初付的现值是期末付的(1+i)倍（参见下页图示）。27整理课件期末付：期初付：28整理课件例：一份20年期的年金，在第1年初给付200元，以后给付金额按10％的递增，假设年实际利率为5%，请计算此项年金在时刻零的现值。解：本例年金的现金流如下图所示：29整理课件此项年金的现值为：其中因此，此项年金的现值为：30整理课件10年期期末付年金的现值a与利率i的关系31整理课件4、每年支付m次的递增年金如果每年支付m次，付款又是递增的，将会出现下述两种情况：同一年的每次付款相同同一年的每次付款也是递增的32整理课件每年支付m次的递增年金：同一年的每次付款相同现值：注：见下页说明33整理课件第一年内所有付款的现值为第二年内所有付款的现值为……第n年内所有付款的现值为因此该项年金的现值为：34整理课件每年支付m次的递增年金：同一年的每次付款递增两种方法计算现值：（1）看做nm次付款的递增年金，应用递增年金的公式。（2）建立新公式（了解）35整理课件（1）应用递增年金公式计算现值：36整理课件令在式两边同时乘以，则有（2）建立新公式（了解）37整理课件上式两边同时乘以m，则有所以38整理课件比较：请写出累积值的公式。问题：如何应用上述公式？（每年付款m次，第一年的每次付款为1/m，第一年的付款总额为1）（每年付款m次，第一次付款为1/m2）39整理课件例：写出下述年金的现值计算公式（年利率i=10%)：10010010010020020020020001240整理课件100200300400500600700800012例：写出下述年金的现值计算公式（年利率i=10%)：41整理课件每年支付m次的递减年金（了解，课外练习）

42整理课件5、连续支付的变额年金

(continuouslypayablevaryingannuity)含义：支付次数趋于无穷，即支付是连续进行的，但支付金额随时间呈离散变化。连续支付的递增年金连续支付的递减年金假设在第一年连续支付1元，第二年连续支付2元，…，第n年连续支付n元，如下图所示：43整理课件连续支付的递增年金的现值为：44整理课件例：一个现金流在第1年连续支付30元，第2年连续支付40元，第3年连续支付50元，直到第10年连续支付120元，假设年实际利率为5%，求这项年金的现值。解：可以把这项年金分解为两项年金:45整理课件本例年金的现值为：可以计算出

46整理课件连续支付的递增年金的终值：连续支付的递增永续年金的现值：第1年连续支付1元，第2年连续支付2元，第3年连续支付3元，并以此方式无限地延续下去。其现值为47整理课件连续支付的递减年金：支付是连续进行的，但支付金额随时间离散递减。第1年连续支付n元，第2年连续支付n-1元，直到第n年连续支付1元。该年金的现金流如下图所示。48整理课件上述年金的现值：49整理课件例：一项年金在第1年连续支付100元，第2年连续支付90元，第3年连续支付80元，直到第10年连续支付10元，假设年实际利率为6％，求其现值。解：其现值的表达式为：因此本例年金的现值为：50整理课件变额年金公式小结年金递增年金永续年金的现值现值累积值每年支付1次每年支付m次连续支付51整理课件年金递减年金现值累积值每年支付1次每年支付m次连续支付52整理课件6、连续支付连续递增的年金（简称：连续递增年金）

（continuouslyincreasingannuity）

假设在时刻t的付款率（paymentrate）为t，常数利息力为d，则连续支付连续递增年金的现值为：注:I和

a

上都有横线。在时刻t

的付款率为t，表示按此付款，1年的付款总量将为t.53整理课件上式右边可用分部积分法展开：54整理课件连续支付连续递增年金的终值为55整理课件例：一项10年期的连续支付连续递增年金，在时刻t的付款率为9t+6，利息力为9％，计算此项年金在时刻零的现值。解：分解成两部分：连续支付连续递增的年金连续支付的等额年金其中：56整理课件例：一项年金的付款期是从第2年末至第7年末，并且在时刻t的付款率为3t-4，假设固定利息力为6％，试求此项年金在第7年末的终值。解：假设此年金的付款期是从时刻0到第7年末，则其终值可表示为：从时刻0到第2年末的付款累积到第7年末的价值为：因此，本例年金的终值为：57整理课件通过计算可得：

故本例年金的终值为：58整理课件连续支付连续递增的永续年金：在连续支付连续递增年金的现值公式中，令n趋于无穷大，则可以得到连续支付连续递增永续年金的现值公式：59整理课件例：一项连续支付的永续年金在时刻t的付款比率为3t，付款从0时刻起并一直延续下去，年实际利率为5％，则其现值为：60整理课件7、连续支付连续递减的年金（简称：连续递减年金）

(continuouslydecreasingannuity)含义：年金的支付期为n年，在时刻t的付款率为n-t，固定利息力为d。其现值用符号表示。连续支付连续递减年金的现值公式：

61整理课件例：一项10年期的年金，在时刻t的付款率为10-t，假设利息力为5％，试计算此项年金在时刻零的现值和在第10年末的终值。解：

现值：终值（累积值）：62整理课件8、一般的连续支付连续变额现金流现值：假设付款时间是从时刻a到时刻b，在时刻t的付款率为rt，利息力为dt。时刻

t支付的1在时刻a的现值为（下页图示）从时刻a到时刻b

内，所有付款在时刻a的现值是将所有付款的现值加总，在连续情况下就是对它们进行积分：63整理课件abc0t1在0点的现值累积到a点在a点的现值64整理课件例：一个连续支付的现金流支付期从时刻0开始到时刻0.5结束在时刻t的支付率为利息力为试计算此现金流在时刻零的现值。解：65整理课件令则其现值为：

66整理课件非立即支付现金流的现值：一个现金流的起始时刻为a>0，结束时刻为b，计算在0点的现值：方法一：计算此现金流在时刻a的现值，再将此现值从时刻a贴现到时刻零。方法二：改变前式对利息力积分的下积分限来得到在时刻零的现值：67整理课件例：一个连续支付现金流的支付率为rt

=3元，支付期限从时刻2到时刻6，并且具有固定的利息力dt=0.05，试计算此现金流在时刻零的现值。解：改变对利息力积分的积分限，有：

68整理课件

另一种方法：先计算现金流在时刻2的现值：从时刻2到时刻零的贴现因子为：

因此上述现金流在时刻零的现值为：

69整理课件终值：在时刻t支付1元，将其累积到时刻b的终值为（下页图示）为了计算从时刻a到时刻b内所有付款的终值，需要将该期间内所有付款的终值加总，在连续情况下就是对它们进行积分：70整理课件abc0t1在0点的现值累积到b点在b点的累积值71整理课件为了将一个连续支付的现金流累积到支付期间以后的某一时点c，有两种方法