《高等数学教学汇编》d8-8极值

§8.8多元函数的极值整理课件若函数则称函数在该点取得极大值(极小值).统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.的某邻域内有极大值和极小值1、定义一、极值整理课件(1)(2)(3)例1例２例３整理课件2、多元函数取得极值的条件证整理课件整理课件仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零的点，均称为函数的驻点.驻点极值点问题：如何判定一个驻点是否为极值点？注意：整理课件时,具有极值定理2

(充分条件)的某邻域内连续且具有一阶和二阶连续偏导数,又令则:1)当A<0时取极大值;A>0时取极小值.2)当3)当时,没有极值.时,不能确定,需另行讨论.若函数整理课件例4.求函数解:第一步求驻点得驻点:(1,0),(1,2),(–3,0),(–3,2).在点(1,0)处为极小值;解方程组的极值.第二步求二阶偏导数第三步判别整理课件在点(3,0)处不是极值;在点(3,2)处为极大值.在点(1,2)处不是极值;整理课件整理课件整理课件求最值的一般方法：将函数在D内的所有驻点处的函数值及在D的边界上的最大值和最小值相互比较，其中最大者即为最大值，最小者即为最小值.与一元函数相类似，我们可以利用函数的极值来求函数的最大值和最小值.3、多元函数的最值整理课件解如图,整理课件整理课件整理课件整理课件特别,在实际问题中，当根据问题的实际性质可知区域内部最值存在,且只有一个极值点P时,为极小值为最小值(大)(大)整理课件例7.解:设水箱长,宽分别为x,ym

,则高为则水箱所用材料的面积为令得驻点某厂要用铁板做一个体积为2m3根据实际问题可知最小值在定义域内应存在,的有盖长方体水箱问当长、宽、高各取怎样的尺寸时,才能使用料最省?因此可断定此唯一驻点就是最小值点.即当长、宽均为高为时,水箱所用材料最省.整理课件二、条件极值例，要设计一个容量为V

的长方体开口水箱，试问水箱的长、宽、高各为多少时，其表面积最小？为此，设水箱的长、宽、高分别为x,y,z,则表面积为依题意，上述的长、宽、高不仅要符合定义域的要求：x>0,y>0,z>0,而且还须满足条件这类附有约束条件的极值问题称为条件极值.问题的实质：求函数S=2(xz+yz)+xy在条件xyz=V下的极值。整理课件极值问题无条件极值:条件极值:对自变量只有定义域限制对自变量除定义域限制外,还有其它条件限制方法1代入法.求一元函数的无条件极值问题转化条件极值的求法:整理课件方法2拉格朗日乘数法.如方法1所述,则问题等价于一元函数可确定隐函数的极值问题,极值点必满足设记例如,故故有整理课件引入辅助函数辅助函数F

称为拉格朗日(Lagrange)函数.利用拉格极值点必满足则极值点满足:朗日函数求极值的方法称为拉格朗日乘数法.整理课件1.作拉格朗日函数利用拉格朗日乘数法求函数在条件下的可能极值点的步骤如下：2.求拉格朗日函数的可能极值点求解拉格朗日函数的偏导数构成的方程组：如何判定该可能极值点是否为极值点？在实际问题中根据问题本身来确定。整理课件推广拉格朗日乘数法可推广到多个自变量和多个约束条件的情形.设解方程组可得到条件极值的可疑点.例如,

求函数下的可能极值点.在条件整理课件例8.要设计一个容量为V

的长方体开口水箱,问求x,y,z令解方程组解:

设x,y,z分别表示长、宽、高,

下水箱表面积最小.使在条件水箱长、宽、高等于多少时所用材料最省？⑴⑵⑶⑷整理课件⑴－⑵得若于是代入⑴式得不合题意.若代入⑶式得代入⑴式得代入⑷式得整理课件得唯一驻点由题意可知合理的设计是存在的,长、宽为高的2倍时，所用材料最省.因此,当高为P15/例7整理课件例9.在椭圆上求一点，使其到直线的距离最短。解设P(x，y)为椭圆上任意一点，则P到直线的距离为求d的最小值点即求的最小值点。作整理