第41讲数列中的最值的求法

第41讲：数列中的最值的求法【考纲要求】能在具体的问题情境中，识别数列的等差关系或等比关系，并能用有关知识解决相应的问题【基础知识】1、数列是一个函数，所以函数求最值的很多方法同样适用于它，又由于数列是一个特殊的函数，在求最值时，又表现出它的特殊性。有些特殊的方法要理解并记住。2、数列求最值常用的方法有函数、数形结合、基本不等式、导数、单调性等，特殊的方法有夹逼法等。例在等差数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0前n项和，求SKIPIF1<0的最大值。解：由题得SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0当n=10或n=11时，SKIPIF1<0取到最大值55。【点评】数列是一个特殊的函数，等差数列的前n项和可以看作是一个关于n的二次函数SKIPIF1<0，利用图像解答。例在等比数列{an}中，SKIPIF1<0，公比SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，a3与a5的等比中项为2。（1）求数列{an}的通项公式；（2）设SKIPIF1<0，数列{bn}的前n项和为Sn，当SKIPIF1<0最大时，求n的值。解：（1）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0最大。（图像如图所示）例已知数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0则在数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项中最小项和最大项分别是（）A.SKIPIF1<0B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0D.SKIPIF1<0解：由题得SKIPIF1<0函数的渐近线为SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，如图所示：所以数列最小的项为SKIPIF1<0最大的项为SKIPIF1<0所以选C.例已知数列SKIPIF1<0的通项公式SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的最大值。解：SKIPIF1<0SKIPIF1<0故当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0； 当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0的最大项为SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0的最大值为SKIPIF1<0SKIPIF1<0且SKIPIF1<0．⑴、一个各项均为正数的数列SKIPIF1<0满足:SKIPIF1<0其中SKIPIF1<0为数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和,求数列SKIPIF1<0的通项公式；⑵、在⑴的条件下，是否存在正数M使下列不等式：SKIPIF1<0对一切SKIPIF1<0成立？若存在，求出SKIPIF1<0的取值范围；若不存在，请说明理由．SKIPIF1<0．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为等差数列，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．…………………6分⑵、假设SKIPIF1<0存在满足条件，即SKIPIF1<0对一切SKIPIF1<0恒成立．……………８分令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，……………10分故SKIPIF1<0，…………………12分SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0单调递增，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0．SKIPIF1<0SKIPIF1<0．（1）求数列SKIPIF1<0的通项公式；（2）若函数SKIPIF1<0求函数SKIPIF1<0的最小值；（3）设SKIPIF1<0表示数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和，试证明：SKIPIF1<0．方法四基本不等式法使用情景有一正二定三相等的数学情景解题步骤先求函数的表达式，再利用基本不等式解答。例广州市某通讯设备厂为适应市场需求，提高效益，特投入98万元引进世界先进设备奔腾6号，并马上投入生产，第一年需要的各种费用是12万元，从第二年开始，所需费用会比上一年增加4万元，而每年因引进该设备可获得的年利润为50万元。（1）引进该设备多少年后，开始盈利？（2）引进该设备若干年后，有两种处理方案：第一种：年平均盈利达到最大值时，以26万元的价格卖出；第二种：盈利总额达到最大值时，以8万元的价格卖出。问哪种方案较为合算？并说明理由。解：（1）SKIPIF1<0所以3年后开始盈利。（2）方案一：SKIPIF1<0当且仅当n=7时取等，所以方案一最后的利润为SKIPIF1<0，方案二：SKIPIF1<0时利润最大，所以方案二的利润为102+8=110，所以方案一合算。例在数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0（SKIPIF1<0），其中k是常数，且SKIPIF1<0.（Ⅰ）求数列SKIPIF1<0的通项公式；（Ⅱ）求数列SKIPIF1<0的最小项.解（Ⅰ）因为SKIPIF1<0（SKIPIF1<0），所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0SKIPIF1<0.以上n-1个式子相加得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.当n=1时，上式也成立.所以数列SKIPIF1<0的通项公式为SKIPIF1<0.（Ⅱ）为考查数列SKIPIF1<0的单调性，注意到SKIPIF1<0，可设函数SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.SKIPIF1<0.所以数列SKIPIF1<0的最小项为SKIPIF1<0.（3）当a5=a6，即SKIPIF1<0，即k=30时，SKIPIF1<0.所以数列SKIPIF1<0的最小项为SKIPIF1<0.（4）当SKIPIF1<0且SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.所以数列SKIPIF1<0的最小项为SKIPIF1<0.（5）当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0且k<36，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.所以数列SKIPIF1<0的最小项为SKIPIF1<0.综上所述：当k=25时，数列SKIPIF1<0的最小项为a5=10；当SKIPIF1<0时，数列SKIPIF1<0的最小项为SKIPIF1<0；当k=30时，数列SKIPIF1<0的最小项为a5=a6=11；当30<k<36时，数列SKIPIF1<0的最小项为SKIPIF1<0；当k=36时，数列SKIPIF1<0的最小项为a6=12.abc调递减，则数列不一定在最靠近SKIPIF1<0的地方取得最大值，必须把SKIPIF1<0附近的整数值代进去比较，才可以判断谁是最大值。所以一般不利用导数求数列的最值。abc【变式演练5】求数列SKIPIF1<0的最大项与最小项.方法六夹逼法使用情景二项展开式中研究最值问题。解题步骤利用数列离散的特点，考察SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，然后判断数列SKIPIF1<0的最值情况。例在(3x－2y)20的展开式中，求：(1)二项式系数最大的项；(2)系数绝对值最大的项；(3)系数最大的项．Z|xx|k.Com]化简得又k为不超过11的正整数，可得k＝5，即第2×5－1＝9项系数最大，T9＝Ceq\o\al(8,20)·312·28·x12·y8.【变式演练6】在SKIPIF1<0的展开式中第5项的系数是第4项系数的2倍，求展开式中系数最大的项。【高考精选传真】1、(2012高考真题四川理20)(本小题满分12分)已知数列的前项和为，且对一切正整数都成立。（Ⅰ）求，的值；（Ⅱ）设，数列的前项和为，当为何值时，最大？并求出的最大值。[解析]取n=1,得①取n=2,得②又②-①，得③（1）若a2=0,由①知a1=0,(2)若a2,④由①④得：…5分（2）当a1>0时,由（I）知，当,(2+)an-1=S2+Sn-1所以，an=所以令所以，数列{bn}是以为公差，且单调递减的等差数列.则b1>b2>b3>…>b7=当n≥8时，bn≤b8=所以，n=7时，Tn取得最大值，且Tn的最大值为T7=【反馈训练】1、等差数列SKIPIF1<0通项SKIPIF1<0，那么当SKIPIF1<0最小时，求SKIPIF1<0的值。2、已知数列SKIPIF1<0的通项SKIPIF1<0，求数列SKIPIF1<0中的最大项和最小项。3、已知等比数列SKIPIF1<0中SKIPIF1<0求其前3项和SKIPIF1<0的取值范围。4、已知数列SKIPIF1<0的通项公式SKIPIF1<0，试问数列SKIPIF1<0有没有最大项?若有，求最大项和最大项的项数；若无，说明理由。5、已知函数SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0（1）当SKIPIF1<0时，求SKIPIF1<0表达式；(2)设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求证SKIPIF1<0；(3)设SKIPIF1<0SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项的和，当SKIPIF1<0最大时，求SKIPIF1<0的值。(1)求SKIPIF1<0；（2）设SKIPIF1<0，是否存在最小的正整数SKIPIF1<0，使对任意SKIPIF1<0有SKIPIF1<0成立？若存在，求出SKIPIF1<0的值，若不存在，说明理由。8在数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0an(n∈N*)，（Ⅰ）求数列SKIPIF1<0的通项公式；（Ⅱ）若对于一切n>1的自然数，不等式SKIPIF1<0恒成立，试求实数a的取值范围.12.设SKIPIF1<0Z，当n是什么数时， SKIPIF1<0取最小值，并说明理由.13.已知函数SKIPIF1<0，Sn是数列SKIPIF1<0的前n项和，点（n，Sn）（n∈N*）在曲线SKIPIF1<0上.（Ⅰ）求数列SKIPIF1<0的通项公式；（Ⅱ）若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且Tn是数列SKIPIF1<0的前n项和.试问Tn是否存在最大值？若存在，请求出Tn的最大值；若不存在，请说明理由.14.数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0. （I）若SKIPIF1<0的通项公式SKIPIF1<0； （II）设SKIPIF1<0的最小值.(2)解法一：SKIPIF1<0=12-2d+(n-1)d=12+(n-3)d令SKIPIF1<0，得：n<3-SKIPIF1<0,由（1）知：SKIPIF1<0<d<-3,所以，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0,故由等差数列的单调性可知：当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；当n>6时，SKIPIF1<0，因此，SKIPIF1<0最大.解法二：由题意可得：SKIPIF1<0=nSKIPIF1<0+SKIPIF1<0=n(12-2d)+SKIPIF1<0=SKIPIF1<0显然dSKIPIF1<00,SKIPIF1<0是关于自变量n的二次函数，由（1）知：d<0,二次函数的图像抛物线的对称轴为n=SKIPIF1<0,由（1）知：SKIPIF1<0，所以6<SKIPIF1<0<SKIPIF1<0,又因为nSKIPIF1<0,故当n=6时，SKIPIF1<0最大，即SKIPIF1<0最大.所以SKIPIF1<0-SKIPIF1<0=4，因此等差数列{SKIPIF1<0}的公差大于0.SKIPIF1<0=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0=2.所以SKIPIF1<0=4n-2,则SKIPIF1<0=2n-31.即数列{SKIPIF1<0}也为等差数列且公差为2.由SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，因为nSKIPIF1<0，所以n=15,故{SKIPIF1<0}的前15项为负值，因此SKIPIF1<0最小，可知SKIPIF1<0=-29，d=2,所以数列{SKIPIF1<0}的前n项和的最小值为SKIPIF1<0=SKIPIF1<0=-225.【变式演练3详细解析】（1）由点PSKIPIF1<0在直线SKIPIF1<0上，即SKIPIF1<0，…………2分且SKIPIF1<0，数列{SKIPIF1<0}是以1为首项，1为公差的等差数列SKIPIF1<0，（3）SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0……………11分SKIPIF1<0……………12分SKIPIF1<0…………SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0……………14分另解：SKIPIF1<0此式中有SKIPIF1<0个1，有SKIPIF1<0个SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，1个SKIPIF1<0。………………12分SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0。SKIPIF1<0………………14 SKIPIF1<0【反馈训练详细解析】1．【解析】SKIPIF1<02．【解析】将函数分离，得到函数的图像是双曲线，渐近线为SKIPIF1<0，所以数列SKIPIF1<0中的最大项和最小项分别为SKIPIF1<03.【解析】由题设前3项为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<04.【解析】第9项和第10项最大（作商研究数列的单调性，发现SKIPIF1<0到SKIPIF1<0单调递增，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0以后单调递减。）5.【解析】（1）令SKIPIF1<0，得到SKIPIF1<0=SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0是首项为SKIPIF1<0，公比为SKIPIF1<0的等比数列，SKIPIF1<0SKIPIF1<0（2）错位相减得SKIPIF1<0（3）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0最大。6．【解析】（１）SKIPIF1<0--------------------------------1分SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0--------------3分SKIPIF1<0--------------4分SKIPIF1<0SKIPIF1<0--------12分所以当SKIPIF1<0时有:SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0;当SKIPIF1<0时有:SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0;SKIPIF1<0------------------13分SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0--------------------14分（Ⅱ）设SKIPIF1<0(n∈N*)，m由（Ⅰ）知SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.所以数列SKIPIF1<0是单调递增数列.所以当SKIPIF1<0时，bn的最小值为SKIPIF1<0.所以要使对于一切n>1的自然数，不等式SKIPIF1<0恒成立，则需且只需SKIPIF1<0SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0，解之得SKIPIF1<0.故所求实数a的取值范围为SKIPIF1<0.10.【解析】:(1)设SKIPIF1<0为常数项,则有m(12-r)+nr＝0,即m(12-r)-2mr＝0,∴r＝4,它是第5项.(2)∵第5项又是系数最大的项,∴有SKIPIF1<0