第一章 随机事件及其概率

第一章随机事件及概率

随机事件随机事件的概率古典概率模型（等可能概率模型）条件概率随机事件的独立性§1.1随机事件一、随机试验随机现象：在一定条件下，事先不能断言会出现哪种结果，这种现象称为随机现象。例：抛一枚硬币，观察出现正面或反面的情况。（3）试验中一切可能出现的结果可以预先知道。－－必然性（统计规律性）随机试验必需满足：（1）在相同条件下，可以进行大量次重复试验。――可重复性（2）每次试验中可以出现不同的结果，而不能预先知道发生哪种结果。――偶然性随机试验一般用字母E表示。例1E1：掷一枚硬币，观察其正面（H）和反面（T）出现的情况。试验的条件是掷一枚硬币，条件实现（一枚硬币掷出）就完成一次试验。例2E2：将一枚硬币掷2次，观察正、反面出现的情况。试验的条件就是把硬币掷2次，条件实现（硬币掷了2次）就完成一次试验。例3E3：从含有2个黑球和3个白球的盒子中任意的取出3个球，观察取出的球；条件实现（从5个球中取出3个）就完成试验。例4

E4：把2个球a和b任意的放入3个盒子中（每个盒子可以放任意多个球），观察球在盒子中的放法。例5E5：记录某网站在1分钟内的点击次数。例6E6：观察某厂生产的灯泡的使用寿命t。随机事件：一个随机试验E中可能发生也可能不发生的事件称为该试验的随机事件（简称事件）通常用字母A、B、C等表示。

基本事件：试验E的每一可能的结果叫做基本事件，一般用ω表示。样本空间：基本事件的全体组成的集合称为该试验的样本空间。一般用Ω表示。二、随机事件必然事件：每次试验中必然发生的事件称为必然事件，记为Ω。不可能事件：每次试验中不可能发生的事件称为不可能事件，记为Φ。（1）样本空间的构成是由试验的条件和观察的目的所决定。注意（2）基本事件是事件的一种，一般的事件是由若干个基本事件共同组成的，因而是样本空间的子集，通常又称其为复合事件。（3）随机事件的另一个定义：样本空间Ω的某个子集。事件A发生当且仅当试验中出现A的某个基本事件。三、事件之间的关系和运算

定义：若事件A发生必导致事件B发生，则称事件B包含事件A。记为:B

A或A

B。

（1）事件的包含关系结论：若事件A

B且A

B，则称事件A和事件B相等，记为A＝B。即：事件A、B所包含的基本事件是一样的。

定义：事件A，B至少有一个发生，称为事件A与B的和（或称为并），记为A∪B（2）事件的和定义：2个事件A，B都发生，称为事件A与B的交（或积），记为A∩B（或AB）。

（3）事件的交定义：“事件A发生而事件B不发生”也是一个事件，称为A与B的差。记为A－B。

（4）事件的差

定义：在一次试验中，若事件A、B不能同时发生，即AB＝Ф，则称事件A、B是互不相容的事件。结论：从基本事件说，互不相容事件就是没有公有的基本事件。显然，在一次试验中，两个基本事件不能同时发生，所以任何两个基本事件都是互不相容事件。

（5）事件的互不相容性定义：若A∪B＝Ω，AB＝Ф，则称A、B为相互对立的事件（简称互逆），事件A的逆事件又可记为。结论：A、B互逆A、B互不相容；

A、B互不相容A、B互逆。

（6）逆事件交换律：A∪B＝B∪A，AB＝BA结合律：(A∪B)∪C＝A∪(B∪C)，(AB)C＝A(BC)分配律：(AB)∪C＝(A∪C)·(B∪C)，(A∪B)C＝(AC)∪(BC)

（7）事件的运算规律德摩根公式：例1、在一个口袋里装有红、黄、白三种球，每种球都不止一个，一次任取两个球，观察它们的颜色。设A＝{两个同色球}，B＝{至少一个红色球}，问A∪B由哪些基本事件组成？例2、设A、B、C为三个事件，试将下列事件用A、B、C表示出来。（1）三个事件都发生；（2）三个事件都不发生；（3）三个事件至少有一个发生；（4）A发生，B、C不发生；（5）A、B都发生，C不发生；（6）三个事件中至少有两个发生；（7）不多于一个事件发生；（8）不多于两个事件发生。

§1.2随机事件的概率一、事件的频率定义：如果在n次重复随机试验中，事件A发生了nA次，那么就称比值fn(A)为事件A发生的频率，其中，nA称为A在这n次试验中发生的频数。对任意随机试验E，频率具有性质：（1）对任意事件A，。（2）。（3）对任意有限多个互不相容的事件A1、A2…Am

有。说明由频率的定义可见，如果事件A发生的可能性愈大，频率就愈大；另一方面，频率还有稳定性，即当n很大时，频率稳定在一个固定值附近摆动。二、概率的定义（1）概率的统计定义定义1：在同一组条件下所作的大量重复试验中，如果事件A发生的频率总是在一个确定的常数p附近摆动，并且逐渐稳定于p，那末数p就表示事件A发生的可能性大小，并称它为事件A的概率，记作。（2）概率的公理化定义定义2：设E是随机试验，Ω是E的样本空间，对于E的每一个事件A对应唯一的实数值，记为，称为事件A的概率，如果集合函数

满足下列条件：（1）非负性：（2）规范性：（3）可列可加性：是任意无穷多个互不相容的事件，有

这3条也是概率的三个基本性质，此外概率还有一些其他性质：概率的加法公式可推广到有限个事件的并的情形。如：这个式子称为“多除少补原理”.2、设，且，则（）。3、设A、B、C为随机事件，且，，

0.125，则A、B、C至少出现一个的概率是

。

1、已知，则（A）0.4；（B）0.5；（C）0.3；（D）0.7。

课堂训练题2、设，且，则（0.56）。3、设A、B、C为随机事件，且，，

0.125，则A、B、C至少出现一个的概率是

0.25

。

1、已知，则（A）0.4；（B）0.5；（C）0.3；（D）0.7。

课堂训练题√§1.3等可能概型等可能概型（古典概型）：如果一个随机试验E具有如下的特征，则称为等可能概型。（1）基本事件的全集是由有限个基本事件组成的；S＝{e1,e2,…,en}（2）每一个基本事件在一次试验中发生的可能性是相同的。P(e1)=P(e2)=…=P(en)定义：在古典概型中，若样本空间包含的基本事件总个数为n，其中事件A包含的基本事件个数为k，则事件A的概率为

古典概型中概率的计算乘法公式：设完成一件事需分两步，第一步有n1种方法,第二步有n2种方法，则完成这件事共有n1n2种方法复习：排列与组合的基本概念加法公式：设完成一件事可有两种途径，第一种途径有n1种方法，第二种途径有n2种方法，则完成这件事共有n1+n2种方法。有重复排列：从含有n个元素的集合中随机抽取k次，每次取一个，记录其结果后放回，将记录结果排成一列，nnnn共有nk种排列方式.无重复排列：从含有n个元素的集合中随机抽取k次，每次取一个，取后不放回，将所取元素排成一列，共有Pnk=n(n-1)…(n-k+1)种排列方式.nn-1n-2n-k+1组合：从含有n个元素的集合中随机抽取k个，共有种取法.古典概型的几类基本问题抽球问题分球入盒问题分组问题随机取数问题。。。。。。2.1、抽球问题例1:设盒中有3个白球，2个红球，现从合中任抽2个球，求取到一红一白的概率。解:设A-----取到一红一白答:取到一红一白的概率为3/5一般地，设合中有N个球，其中有M个白球，现从中任抽n个球（不放回），则这n个球中恰有k个白球的概率是例2、盒中有a个黑球，b个白球，从中分不放回和有放回的抽取n个球，求事件A：“刚好取到k个黑球”的概率。

不放回（一次取n个球,一次取一个球）放回（取一个放回一个）在实际中，产品的检验、疾病的抽查、农作物的选种等问题均可化为随机抽球问题。我们选择抽球模型的目的在于是问题的数学意义更加突出，而不必过多的交代实际背景。2、分球入盒问题例3：将3个球随机的放入3个盒子中去，问：（1）每盒恰有一球的概率是多少？（2）空一盒的概率是多少？解:设A:每盒恰有一球,B:空一盒一般地，把n个球随机地分配到m个盒子中去(nm)，则每盒至多有一球的概率是：某班级有n个人(n365)，问至少有两个人的生日在同一天的概率有多大？?例4、n个球随机放到N个盒子中，求下列事件发生的概率（1）A:某指定的n个盒子中每盒有1球；（2）B:任意的n个盒子每个盒子刚好有1个球；（3）C:第一个盒子刚好有k个球。3.分组问题例5：30名学生中有3名运动员，将这30名学生平均分成3组，求：（1）每组有一名运动员的概率；（2）3名运动员集中在一个组的概率。解:设A:每组有一名运动员;B:3名运动员集中在一组一般地，把n个球随机地分成m组(n>m),要求第i组恰有ni个球(i=1,…m)，共有分法：4随机取数问题例6从1到200这200个自然数中任取一个,(1)求取到的数能被6整除的概率(2)求取到的数能被8整除的概率(3)求取到的数既能被6整除也能被8整除的概率解:N(S)=200,N(3)=[200/24]=8N(1)=[200/6]=33,N(2)=[200/8]=25(1),(2),(3)的概率分别为:33/200,1/8,1/25例7、(抽签的公平性)盒中有a个黑球，b个白球，把球随机地一只只取出（不放回），求事件A：“第k（1≤k≤a＋b）次取到黑球”的概率。

例8、一盒中含有N－1个黑球，一个白球，每次从盒中随机地取一只球，并还入一只黑球，这样继续下去，求事件A：“第k次取到黑球”的概率。

解：显然，这是一个古典概型的问题，样本空间的大小为；而要求概率的事件A所包含的基本事件个数就不容易计算了，但可考虑其逆事件，包含的基本事件数为：例9、从1，2，…，9中有放回的取n个数，求取到的n个数的乘积能被10整除的概率。?例10、甲，乙两人各出8元赌注，采用抛硬币作为赌博手段。正面向上甲得1分，反面朝上乙得1分，谁先达到预先规定的分数就获得全部的16元赌注。当甲差2分，乙差3分时他们不愿意再赌下去，请问如何公平的分配这16元赌注？

§1.4条件概率与乘法公式一、条件概率的定义在实际问题中，除了要知道事件A的概率外，有时还要考虑在“已知事件B发生”的条件下，事件A发生的概率。一般情况下，两者的概率是不相等的，为了区别所见，我们把后者称为条件概率，记为：例1、设10件产品中有2件次品，8件正品。现每次从中任取一件产品，且取后不放回，试求下列事件的概率。（1）前两次均取到次品（2）第一次取到次品（3）第二次取到次品（4）已知第一次取到次品的条件下第二次也取到次品定义：A，B两个事件，P(A)>0，称为A发生的条件下，事件B发生的条件概率。如：注意：（1）条件概率也是概率，所以，它满足概率的一切性