大学物理静磁学最全版

第11章静磁学§11.1磁现象的电本质§11.2毕奥-萨伐尔定律§11.3磁场的高斯定理与散度§11.4磁场的安培环路定理与旋度§11.5运动电荷的磁场§11.6磁场对运动电荷及电流的作用§11.7介质静磁学§11.8铁磁性§11.1磁现象的电本质一.磁力和磁场早期磁现象：磁铁磁铁间的相互作用。(1)磁铁有吸引铁、鈷、镍的性质—磁性。(2)磁铁有两个极：N，S。(3)磁极间存在相互作用力：同极相斥，异极相吸。司南勺磁现象与电现象有没有联系？运动的电荷？静电场静止的电荷INS1819年，奥斯特实验首次发现了电流与磁铁间有力的作用,才逐渐揭开了磁现象与电现象的内在联系。1822年安培提出了物质磁性本质的假说：一切磁现象都起源于电荷的运动(电流)。运动电荷运动电荷磁场磁场和电场一样,也是物质存在的一种形式。本章主要讨论不随时间变化的磁场——稳恒磁场（2）在磁场中的p点处存在着一个特定的方向，当电荷沿此方向或相反方向运动时，所受到的磁力为零，与电荷本身性质无关;（3）在磁场中的p点处，电荷沿与上述特定方向垂直的方向运动时所受到的磁力最大(记为Fm)，并且Fm与qv的比值是与q、v无关的确定值。二、磁感应强度（1）当运动试探电荷以同一速率v沿不同方向通过磁场中某点p时，电荷所受磁力的大小是不同的，但磁力的方向却总是与电荷运动方向（）垂直；设带电量为q，速度为

的运动试探电荷处于磁场中，实验发现：方向：大小：单位：特斯拉（T）高斯（Gs）由实验结果可见，磁场中任何一点都存在一个固有的特定方向和确定的比值Fm/(qv)，与试验电荷的性质无关，反映了磁场在该点的方向和强弱特征，为此，定义一个矢量函数：试验线圈(电流、尺寸都很小的载流线圈)的磁矩定义为：将试验线圈悬在磁场中，规定：sI式中N为线圈的匝数，S为线圈包围的面积，

二.磁感应强度试验线圈处于平衡位置时，线圈正法线所指方向即为该点磁场(

)的方向。为载流线圈平面正法向单位矢量，其方向与电流流向呈右螺旋关系。实验发现，当时，线圈受到的磁力矩最大，且，但二者的比值与试验线圈本身无关。定义:

单位:特斯拉T(SI制)高斯Gs一般情况下，磁感应强度是场点位置的矢量函数。若场中各点的都相同，称为匀强磁场。sI三.磁感应线(磁力线)(1)方向：磁力线切线方向为磁感应强度的方向(2)大小：为磁感应强度的大小2.磁力线的特征(1)无头无尾的闭合曲线；(2)与电流相互套连，服从右手螺旋定则；(3)磁力线不相交。1.规定的单位面积上穿过的磁力线条数垂直

真空中，电流元Idl

在P点产生的磁场为§11.2毕奥-萨伐尔定律

一.毕奥-萨伐尔定律

P方向：电流I的方向；大小：Idl=电流I

线元长度dl。

(3)

o称为真空的磁导率,在SI制中

o=4

10-7T·m/A(1)电流元

是载流导线上任取的一段线元。(2)

是从电流元

指向P点的单位矢量。说明(4)磁场的大小：(5)方向：，由右手螺旋法则确定。

是与之间的夹角。dB

IdlPr所对应的磁感应线是以所在的直线为轴，以rsin

为半径的圆。在同一圆周上的各点的dB相等，并随r

增大而减小。

(6)按照磁场叠加原理,任一有限长的线电流在P点产生的，应等于线电流上各个电流元在P点产生的的矢量和：矢量积分！若各方向相同，则若各方向不同，则建立坐标系：方向：垂直纸面向里(且所有电流元在P点产生的磁场方向相同)；例11.2.1

求直线电流的磁场。

解:

选坐标如图,电流元Idx在P点所产生的磁场为Pa.Ixox

Idxr所以直线电流在P点产生的磁场为

1

2磁场方向:垂直纸面向里。Paxox

IdxrI统一积分变量：说明：(1)上式中的

a是直电流外一点P

到直电流的垂直距离。(2)

1和

2

分别是两端直电流与直电流端点和场点P的连线间的夹角。

1和

2必须取同一方位的角。

1

2Paxox

IdxrI讨论:(1)对无限长直导线,IB

1=0,

2=

,则有在垂直于直导线的平面上，磁感应线是一系列圆，圆上各点B相等。

1

2Paxox

IdxrI半无限长直导线,(2)如果P点位于直导线上或其延长线上,证：若P点位于直导线上或其延长线上，则=0或=，于是

则P点的磁感应强度必然为零。

1

2Paxox

IdxrI例题11.2.2

直电流公式的应用。P点磁场：

AB：BC：

1

2(1)P点磁场:APaBI

CI(2)边长为a的正方形中心O点:A点磁场：

1

1=45,

2=135a2

1

1=45,

2=90aIO

2AaI.o

2

(3)边长为a的正三角形中心o点的磁场。正三角形：IABoraICD

CD段：B2=0；

AB段：B1=0；

解：Bx=2Rsin

IdBoxy

Rd

(4)无限长半圆筒形金属薄片，R，I(均匀分布)。求轴线上一点的磁场强度。例11.2.3圆电流轴线上一点的磁场。解:由对称性可知，P点的场强方向沿轴线向上。即BIRxp

dBrIdldB(1)在圆电流的圆心o处,因x=0,故得方向由右手螺旋法则确定。推广：任意圆弧圆心处的磁场讨论：(2)若场点p远离圆心，且x>>R有，则BIRxp

dBrIdldB例题11.2.4直电流和圆电流的组合。圆心o:Bo=方向：垂直纸面向外。方向：垂直纸面向里。boRIIacdIbefRrocdIa电流I经圆环分流后,在中心o点产生的磁场为零。方向：垂直纸面向外。Ｉ1l1Ｉ2l2IRoBCDAI圆心o:例11.2.5一均匀带电圆盘，半径为R，电荷面密度为

,绕通过盘心且垂直于盘面的轴以

的角速度转动，求盘心的磁场及圆盘的磁矩。解:将圆盘分为若干个圆环积分。带电圆环旋转时产生的电流强度为环上的电量盘心的磁场：.oR

q

Isrdr2r

o圆盘的磁矩:方向：垂直纸面向里。Pm=NIS.oR

rdr例题11.2.6均匀带电半圆弧(R,

)，绕直径以

匀速转动，求圆心o处的磁场。解:半圆弧旋转起来，象一个球面，可划分为若干圆电流积分。

Ro

r=Rsin

Ro

d

xr作业习题册：习题十四稳恒磁场（一）习题十五稳恒磁场（二）§11.3磁场的高斯定理一.磁通量在SI制中,磁通量的单位为韦伯(wb)。1Wb=1Tm2即，磁场中，通过任一曲面的磁力线条数，称为通过该曲面的磁通量。对闭合曲面，外法线方向为正方向。磁通量的正负规律是：穿出为正；穿入为负。静电场：磁场：静电场是有源场由于磁力线是闭合曲线，因此通过任一闭合曲面磁通量的代数和(净通量)必为零,亦即二.磁场的高斯定理

磁场的高斯定理在静电场中,由于自然界有单独存在的正、负电荷,因此通过一闭合曲面的电通量可以不为零,这反映了静电场的有源性。而在磁场中,磁力线是闭合的，表明像正、负电荷那样的磁单极是不存在的,磁场是无源场。因此，磁场是不发散的（无源场）：*磁单极（magneticmonopole）：磁单极子质量：根据电和磁的对称性：——磁荷这么大质量的粒子尚无法在加速器中产生。

只要存在磁单极子就能证明电荷的量子化。1931，Dirac预言了磁单极子的存在。量子理论给出电荷和磁荷存在关系：人们希望从宇宙射线中捕捉到磁单极子。斯坦福大学Cabrera等人的研究组利用超导线圈中磁通的变化测量来自宇宙的磁单极子。qm电感LI超导线圈有磁单极子穿过时，感应电流记录到了预期电流的跃变，I1982.2.14,13:53t但以后再未观察到此现象。实验中采用了直径5cm的铌线圈4匝。经过151天的连续等待，1982.2.14自动记录仪http:///htmlpaper/2009910103576357262.shtm解：将半球面和圆面组成一个闭合面，则由磁场的高斯定理知，通过此闭合面的磁通量为零。-Br2cos这就是说，通过半球面和通过圆面的磁通量数值相等而符号相反。所以：。例11.3.1在匀强磁场

中，有一半径为r的半球面S,S边线所在平面的法线方向的单位矢量

和

的夹角为

,如图所示，则通过半球面S的磁通量为S

§11.4安培环路定理静电场:静电场是保守场磁场:一、磁场的安培环路定理

在真空中，磁感应强度沿任何闭合路径l的线积分(亦称

的环流)等于闭合路径l

所包围的电流强度的代数和的

o倍。

说明：

1.的环流完全由闭合路径l所包围的电流确定，而与未包围的电流无关。2.但

是空间所有电流(闭合路径l内外的电流)产生磁场的矢量和。

3.

I内—是闭合路径l所包围的电流的代数和。包围—穿过以闭合路径l为边界的任一曲面上的电流。

右手拇指伸直,弯曲四指与闭合路径l的方向一致时,拇指的指向即为电流的正方向。电流的正负由右手螺旋确定:lI1I2I3(4)适用条件：稳恒电流(闭合电路)的磁场。IIl(3)安培环路定理揭示磁场是非保守场，是有旋场。lII二.安培环路定理的应用——求解具有某些对称性的磁场分布求解步骤：(1)分析磁场分布(电流分布)的对称性；(2)选择适当的闭合回路，使(3)求出闭合回路所包围的电流的代数和。(4)求出B并判断其方向。例11.4.1

设无限长圆柱体半径为R,电流I沿轴线方向,并且在横截面上是均匀分布的。求:(1)圆柱体内外的磁场；(2)通过斜线面积的磁通量。解:(1)磁场分布具有轴对称性，磁场方向为圆周切线方向，满足右手螺旋关系。rBIR2RLl

设电流密度为J·r22r

o2r

oIrBlIR选半径r的圆周为积分的闭合路径，由安培环路定理：(2)通过斜线面积的磁通量:IR2RL斜线区域的磁场方向均垂直于板面向里，drdsror1B1+=JJo´r2B2例11.4.2长直柱体内有柱形空腔，两轴相距a，电流强度为I，求空腔中的磁场强度。解:空腔柱体的磁场可看作是两个流有反向电流J的实心长直柱体的叠加。r1aoo

Ipr2RrB1B2空腔中的场强:

空腔中是一个匀强磁场：大小：方向：y轴正方向(即垂直于连心线oo´)。

1

2r1r2oo´axyB2B1

1

2r1aoo

Ipr2RrB1B2+=JJoo

a.o

aoo

IrR讨论实心柱体内(对R而言):实心柱体外(对r而言):aoo

IaP.r图中P点的磁场:B1B2例11.4.3

同轴电缆:传导电流I沿导线向上流去,由圆筒向下流回，设电流在截面上都是均匀分布的。求同轴电缆的磁场分布。

解:

2r

oI旋转对称2r

o！

IIabc解:

由对称性知，与螺绕环共轴的圆周上各点磁感应强度的大小相等，方向沿圆周的切线方向。例11.4.4

求载流螺绕环的磁场分布。设螺绕环环上均匀密绕N匝线圈,线圈中通有电流I,如图所示。

Iro由安培环路定理：l2r

o在环管内:B=NI！

对于管外任一点，过该点作一与螺线环同轴的圆周l1或l2为闭合路径，l1l2

由于这时

I内=0，所以有B=0(在螺线环外)可见，螺线环的磁场集中在环内，环外无磁场。

I

例11.4.5

求载流(无限)长直密绕螺线管内外的场。设线圈中通有电流I,沿管长方向单位长度上的匝数为n。B解：线圈密绕根据对称性可知，管内磁场沿轴线方向。作矩形安培环路如图！例11.4.6

一均匀带电的长直柱面，半径为R，单位面积上的电量为

，以角速度

绕中心轴线转动，如图所示，求柱面内外的磁场。

解：旋转的柱面形成圆电流，它和一个长直螺线管等效。

由长直螺线管的磁场可知，柱面外的磁场为零；而柱面内的磁场为=

o×单位长度上的电流强度

作业习题册：习题十六稳恒磁场（三）习题十七稳恒磁场（四）§14.5运动电荷的磁场rPIdldSI

由毕—萨定律，电流元

在P点产生的磁场为

设电流元

的横截面积为dS，导体内载流子数密度为n,每个粒子带电量q，以速度

沿

的方向运动，则I=qn

dS代入毕—萨公式中，得电流元内共有个ndSdl

载流子，所以一个运动电荷产生的磁场就是:大小：方向：rθrθ运动电荷的电场线和磁感应线EvBq一.洛仑兹力大小：方向：垂直于()平面方向方向特点：不改变大小，只改变方向。不对q做功。§11.6磁场对运动电荷及电流的作用

一个电荷q在磁场

中以速度

运动时，该电荷所受的磁场力即洛仑兹力为

因为洛仑兹力F=q

Bsin

=0，所以带电粒子在磁场中作匀速直线运动。1.带电粒子在磁场中的运动设带电粒子以初速度进入匀强磁场中，分三种情况讨论：

带电粒子作匀速率圆周运动。半径周期

B

=cos

^

=sin

螺距周期半径——螺旋运动。与有一夹角

此时带电粒子一方面以

⊥=

sin

在垂直于

的平面内作圆周运动,同时又以

=

cos

沿磁场

的方向作匀速直线运动hR磁聚焦示意图

尽管在P点电子束中电子垂直于B的速度各不相同,但周期相同，所以它们散开在磁场中沿各自的螺旋线绕行一周后,都又会重聚于同一点P′。这就是磁聚焦的基本原理。应用：电真空器件中,电子显微镜。a)磁聚焦应用：b)磁约束应用于受控热核聚变(磁约束、磁镜效应)在非均匀磁场中,带电粒子仍作螺旋运动,但半径和螺距都将不断变化。磁约束2.霍耳效应(1)现象：dIBbΔUfm

(2)原因：载流子q=-e，漂移速度方向向上，导体上下两表面出现电势差

U，两个表面之间的电场EH=

U/b。导体中通电流I，磁场垂直于I，在既垂直于I，又垂直于方向出现电势差

U。式中d是导体在磁场方向的厚度最后得到：载流子又会受到电场力的作用达到稳恒状态时:dIBbΔUfm

霍尔系数

量子霍耳效应

测载流子密度

测载流子电性—半导体类型

测磁场(霍耳元件)

磁流体发电(3)应用：ab

解:磁场方向：又由R=垂直纸面向里。T=例题11.6.1电子在匀强磁场

中沿半圆从a到b

，t=1.57×10-8s，a、b相距0.1m。求

和电子的速度。例11.6.2匀强磁场B只存在于x>0的空间中。一电子在纸面内以与x=0的界面成

角的速度

进入磁场。求电子在y轴上的入射点和出射点间的距离，以及y轴与电子在磁场中的轨道曲线包围的面积。

解:电子进入磁场后，作圆运动。

找出圆心o

，加辅助线o

A、o

B。

入射点和出射点间的距离:AB=2Rsin

y轴与轨道曲线包围的面积:

o

xyAB

Ro

例11.6.3半导体的大小a×b×c=0.3×0.5×0.8cm3

,

电流I=1mA(方向沿x轴),磁场B=3000Gs(方向沿z轴)，如图所示；测得A、B两面的电势差UA-UB=5mV,问:(1)这是P型还是N型半导体？(2)载流子浓度n=?解：(1)由A面比B面电势高，判定这是N型半导体。

(2)由公式代入I=10-3A,B=0.3T,d=0.3×10-2m,△U=5×10-3V,得：n=1.25×1020个/m3。IabcxyzBAB二.安培力大小：dF=IdlBsin

方向：

对任意载流导线，可划分为许多电流元，则安培力

电流元

在磁场

中受的作用力即安培力为

对于均匀磁场中的直载流导线,安培力为I

BabL

Iab

对于均匀磁场中的任意形状载流导线,安培力为Idl在匀强磁场中,弯曲导线受的安培力等于从起点到终点的直导线所受的安培力。结论：例11.6.4匀强磁场中的导线：圆弧受的力：力的方向垂直纸面向外。RBaboIoRIabB圆弧受的力：例11.6.5

如图所示，无限长直电流I1和线段AB(AB=L,通有电流I2)在同一平面内,求AB受的磁力及对A点的磁力矩。解:由于每个电流元受力方向相同，由公式dF=IdlBsin

，得M=BI2I1d

AxdxdF例11.6.6

圆电流（I1，R）与沿直径的长直电流I2共面且相互绝缘，求圆电流I1所受的磁力。

解:

由对称性可知，圆环受的合力沿x轴的正方向,而大小为F=xyoI1I2dF

xRyI1dldFI1dldF=IdlBsin

例11.6.7在匀强磁场中，平行于磁感应线插入一无限大平面导体薄片，其上有电流在垂直于原磁场方向流动，此时导体片上下两侧的磁感应强度分别和，求(1)原匀强磁场的磁感应强度；(2)导体薄片中的电流线密度；(3)薄片受到的磁压。解：(1)因B1>B2，所以的方向平行于导体平面指向左方。

并且导体中电流应垂直流出，产生均匀磁场，在上方向左，在下方向右的，则(2)作一矩形闭和回路,应用安培环路定理l(

为导体中电流线密度)(3)导体受到的磁压来自于原磁场，其上单位宽度长为dl的电流元受到的力大小：大小：再取单位长度，得导体上单位面积上受到的安培力，即磁压强单位宽度长为dl的电流元受到的力abcdIl1l2B

三.载流线圈在磁场中受到的的磁力矩F1F2F2´ab:F1=bc：F2=NIl2B,方向垂直纸面向外;da：F2´=NIl2B,方向垂直纸面向内。ab和cd边受合力为零,

也不产生力矩。cd：F1´=NIl1Bsin

,方向向下。bc和da边受的合力也为零，但这对力偶对中心轴要产生力矩。Il1Bsin

,方向向上；NM=F22.pm=NIl1l2，所以磁场对线圈力矩的大小可表示为M=pmBsin

矢量式:力矩M的方向：沿中心轴线向上。上式对均匀磁场中的任意形状的平面线圈也都适用。

Bl1a(d)b(c)F2F2

MF2F2´abcdIl1l2B

非均匀磁场中线圈不但转动，还要平动。结论：

均匀磁场合外力不平动磁力矩平面载流线圈所受转动转动的结果使线圈的方向与磁场的方向趋于一致，此时线圈处于稳定平衡状态。解：

可将圆盘分为无限多个圆环积分。由M=pmBsin

，圆盘所受的磁力矩为

r2BM=例11.6.8均匀磁场B中，圆盘(R，

=kr,k是常数)以角速度

绕过盘心o点，求圆盘所受的磁力矩。由pm×B可知，M的方向垂直B向上。

RBordrdI

解:(1)由M=pmBsin

，得M=IabJ=M/β=2.16×10-3(kg.m2)(2)磁力所作的功为=IabBsin60ºBsin(90º-

)yzo

BxabI

例11.6.9

a×b=10×5cm2，I=2A，B=0.5i(T)。当

=30º时，β=2rad/s2，求:(1)线圈对oy轴的转动惯量J=?(2)线圈平面由

=30º转到与B垂直时磁力的功。

四.安培力的功（略）(1)对运动载流导线安培力：即安培力所做的功等于电流强度乘以导线所扫过的磁通量。(2)对转动载流线圈磁力矩：大小：线圈转动，使

减小，当转动d

时式中d

m表示线圈转过d

，穿过线圈磁通量的增量。线圈从

1转到

2过程中，磁力矩做的功若电流I不变，则作业习题册：习题十八稳恒磁场（五）习题十九稳恒磁场（六）

1.磁介质的种类

§11.7介