第三章 统计假设测验

第三章统计假设测验TestofStatisticalHypothesis第一节统计假设测验的基本原理

先作处理无效的假设（无效假设）再依据该假设概率大小来判断接受或否定该假设的过程称为统计假设测验把试验的表面效应与误差大小相比较并由表面效应可能属误差的概率而作出推论的方法称为统计推断

无效假设：即假设没有差异，或差异是由误差造成的备择假设：与无效假设相对应的统计假设（二）对两个平均数的假设一、统计假设（一）单个平均数的假设两个样本是从两个具有相同参数的总体中随机抽出的，记为：一个样本是从具有平均数的总体中随机抽取出来的，记作：提出无效假设的目的

可从假设的总体里推论其随机抽样平均数的分布,从而可以计算出某一样本平均数指定值出现的概率;这样就可以研究样本和总体的关系,从而进行假设测验二、统计假设测验的基本方法思路：提出假设计算样本统计数并与有关总体参数比较接受无效假设否定无效假设，接受备择假设可能性大可能性小【例】设某地区某作物产量为300kg/667m2，即总体平均数μ0＝300（kg），且已知标准差＝75（kg），现某品种通过25个小区试验，得平均产量为330kg/667m2，问新品种所属总体与μ0＝300的当地品种有无显著差异？1.概率法已知：则假设：因为假设是新品种与当地品种不等的可能性，所以用两尾概率。查附表3，当u＝2时，概率界于0.04与0.05之间。2.区间法设：α＝0.05有：所以，落在区间（接受区）内的有95％，落在这一区间外的只有5％。否定区：0.030.020.010.00接受区域否定区域2.5％否定区域2.5％270.6329.4（一）提出无效假设：对样本所属的总体提出统计假设，包括无效假设和备择假设。（二）规定测验的显著水平值（三）在假设是正确的假定下，研究样本平均数（）的抽样分布（1）用概率的方法（2）用区间的方法（四）根据“小概率事件不可能发生原理”接受或否定无效假设步骤：判断是否属于小概率事件的概率值三、两尾测验与一尾测验1、概念：（1）两尾测验：假设测验所考虑的概率为正态曲线左边一尾概率和右边一尾概率的总和的测验。（双尾测验）（2）一尾测验：统计假设测验仅有一个否定区，即正态曲线的左边一尾或右边一尾的测验。（单尾测验）2、两类测验的区别（1）两尾测验在于判断差异而不在乎谁大谁小（2）单尾测验容易否定H0。双尾检验显著，单尾检验一定显著；但单尾检验显著，双尾检验未必显著（3）作单尾测验查附表3时概率应作相应变化。如一尾测验α＝0.05时，应查附表3

p＝0.10，u＝1.64注意:选用单尾检验还是双尾检验应根据专业知识及问题的要求在试验设计时就确定。一般若事先不知道所比较的两个处理效果谁好谁坏，分析的目的在于推断两个处理效果有无差别，则选用双尾检验若根据理论知识或实践经验判断甲处理的效果不会比乙处理的效果差（或相反），分析的目的在于推断甲处理是否比乙处理好（或差），则用单尾检验。一般情况下，如不作特殊说明均指双尾检验。双尾检验显著，单尾检验一定显著；但单尾检验显著，双尾检验未必显著。

四、假设测验的两类错误（一）两类错误概念第一类错误：不同的参数间本来没有差异，可是测验结果认为有差异，这种错误称为第一类错误。H0正确，却被拒绝。又称弃真。犯这种错误的概率记为α。第二类错误：参数间本来有差异，可是测验结果认为没有有差异，这种错误称为第二类错误。

H0错误，却被接受。又称存伪。犯这种错误的概率记为β。第一类错误

第二类错误

没有错误

如果H0被接受没有错误

如果H0被否定

如果H0是错误的

如果H0是正确的

统计假设测验结果（二）两类错误图示c1c2μ0μβ=83%（三）犯两类错误的概率犯α错误的概率等于显著水平α以下图为例说明犯β错误的概率：查附表2，p(u<-2.96)=0.0015,p(u<0.96)=0.8315，故

β＝0.8315-0.0015＝0.83当μ

和μ0相距较远时，犯β错误的概率降低c1c2μ0μ如果样本容量增加，两类错误的概率都减小c1c2μ0μ300330315285270255345360（四）两类错误的关系

样本容量固定，提高，增大犯错误的可能。在n和相同的条件下，和相差越大，犯错误的可能性越小。采用较低的显著水平，同时适当增加样本容量，或适当减小总体方差，或两者兼而有之，可降低犯两类错误的概率。两尾测验作一尾测验，增大犯α错误的可能。一尾测验作两尾测验，增大犯β错误的可能。（五）两类错误与单、双尾测验的关系（六）现实中避免两类错误的发生通过改进试验技术和增加样本容量可以有效的降低犯两类错误的概率。第二节平均数的假设测验一、t分布（t-distribution）1、概念在正态总体（方差未知）中随机抽取一系列的小样本，将这些小样本的平均数离差（）变成标准化离差t，这一系列的t

值的分布形成t

分布（又叫学生氏分布，studenttdistribution）。t分布的标准化离差t分布的平均数和标准差t分布曲线与标准正态曲线的比较图正态分布ν=7ν=32、特点t

分布曲线为左右对称曲线；当x＝0时，f(x)

最大；t

分布曲线随df（degreeoffreedom)的不同而异，t分布是单峰曲线，离散程度比正态分布大；当时，t分布近似正态分布。

1、当总体方差已知，或虽未知，但为大样本（),用u测验

；二、单个样本平均数的假设测验2、未知，且为小样本（n<30），用t测验。返回【例】已知热带雨林中的某种树木，其树苗在阳光直射的情况下，每年可生长1.5m。某生态学家将1998年至1999年9株该树苗生长情况记载如下。试问这些数据是否支持已知的说法。

1.92.51.62.01.52.71.91.02.0H0：μd=1.5m/year

HA:μd≠1.5m/year

显著水平α

＝0.05解：计算：查附表4，ν＝8时，t0.05＝2.306，现实得|t|>t0.05，故p<0.05t=2.35接受区否定区否定区推断：否定H0：μd=1.5m/year，接受HA，即该品种树苗在阳光直射条件下，每年生长高度不是1.5m，而是大于1.5m。三、两个样本平均数相比较的假设测验（一）成组数据的平均数比较

成组数据：是指当进行只有两个处理的试验时，将试验单位完全随机地分成两个组，然后对两组随机施加一个处理，则所得两组观察值为成组数据。1、应用条件：（1）两个处理为完全随机设计，各供试单位彼此独立。（2）试验单位比较一致，或单位间的差异不会影响试验指标。2、三种不同的情况

成组数据的平均数比较依两个样本所属总体方差（和）是否已知、是否相等而采用不同的测验方法。（1）两个样本的总体方差和已知时，或虽然未知，但为大样本时用u测验返回【例】据以往资料，已知某小麦品种每平方米产量的方差为0.4(kg)2。今在该品种一块地上用A、B两法取样，A法取12个样点，得每平方米平均产量为1.2kg；B法取8个样点，得平均产量为1.4kg。试比较A、B两法的每平方米产量是否有显著差异。解：（1）H0：μ1－μ2=0HA:μ1≠μ2

（2）显著水平α

＝0.05（3）计算（4）推断因为实得|u|<1.96，故p>0.05，推断：接受无效假设，即两种取样方法所得每平米产量没有显著差异（2）两个样本的总体方差未知，但可以假定＝＝，而两个样本又为小样本时，用t测验。df=(n1-1)+(n2-1)1返回【例】新西兰大蜥蜴是100多万前就生活在地球上的古老生物。科学家研究了生活在库克海峡两个小岛上的成年雄性大蜥蜴的体重（单位：g）。结果列入下表，试问两个地区成年雄性大蜥蜴的体重是否有差异。LocationALocationB510790650773440600836435600505815575765460452780690320235660

库克海峡两小岛上成年雄性大蜥蜴体重调查表（g）解：（1）H0：μA＝μB

HA:μA≠μB

（2）显著水平α

＝0.05（3）计算相关统计数如下：LocationALocationBnA=13nB=7（4）查附表4，当ν=n1+n2-2=18时，t0.05＝2.101，请推断。（3）两个样本的总体方差未知，且时，用近似t测验。注：这种方法用样本均方估计总体方差，所得t值不再作准确的t分布，因此在t测验时应对自由度进行矫正。Satterwaiter公式(二）成对数据的比较1、适用条件：（1）土壤差异大（2）试验材料不整齐成对数据：若试验设计是将性质相同的两个供试单位配成一对，并设有多个配对，然后对每一配对的两个供试单位分别随机给予不同处理，则所得观察值为成对数据2、成对比较的优点（1）成对数据，由于同一配对内两个供试单位的试验条件非常接近，而不同配对间的条件差异又可以通过各个配对差数予以消除，因而，可以控制试验误差，具有较高精确性；（2）成对比较不受两样本总体方差＝或的干扰，分析时不需要考虑和是否相等；（3）如将成对数据按成组数据的方法比较，容易使统计推断发生第二类错误，即不能鉴别应属显著的差异。3、计算式11df=n-1返回【例】某广告称某种中药制剂有减肥作用，每天服用可在5天内减少5斤。假设有12个同学自愿参加试验。吃药前给每位同学称重，服药五天后，再称重。结果如下。试问该减肥药有无效果？效果是否能达到5天内减5斤？编号服药前服药后112812021311233165163414014151781706121118719018881351369118121101461401121220712135126d882-1832-1-3659（4）推断查附表4，t0.05（11）＝2.201，t>t0.05（11），否定无效假设，认为该减肥药是有效的。解：A（1）H0：该减肥药无效,即

μd=0HA:μd≠0

（2）显著水平α

＝0.05（3）计算B（1）H0：该减肥药5天内减肥不到5斤，

最多5斤，μd≤5HA:μd＞5

（2）显著水平α

＝0.05（4）推断查附表4，t0.1（11）＝1.796，|t|<t0.05（11），接受无效假设，认为该减肥药5天内减肥效果不超过5斤