高数A期末总复习

第八章向量代数与空间解析几何四、利用坐标作向量的线性运算一、向量的概念二、向量的线性运算三、空间直角坐标系五、向量的模、方向角、投影机动目录上页下页返回结束8.1向量及其线性运算8.2点积叉积设1.向量运算加减:数乘:点积:叉积:机动目录上页下页返回结束混合积:2.向量关系:机动目录上页下页返回结束8.3曲面方程1.空间曲面三元方程球面旋转曲面如,曲线绕z轴的旋转曲面:

柱面如,曲面表示母线平行z轴的柱面.又如,椭圆柱面,双曲柱面,抛物柱面等.机动目录上页下页返回结束2.二次曲面三元二次方程椭球面抛物面:椭圆抛物面双曲抛物面双曲面:单叶双曲面双叶双曲面椭圆锥面:机动目录上页下页返回结束一、空间曲线的一般方程二、空间曲线的参数方程三、空间曲线在坐标面上的投影机动目录上页下页返回结束8.4空间曲线及其方程8.5平面方程1.平面基本方程:一般式点法式截距式三点式机动目录上页下页返回结束2.平面与平面之间的关系平面平面垂直:平行:夹角公式:机动目录上页下页返回结束1.空间直线方程一般式对称式参数式

8.6空间直线

机动目录上页下页返回结束直线2.线与线的关系直线夹角公式:机动目录上页下页返回结束平面

:L⊥

L//

夹角公式：3.面与线间的关系直线L:机动目录上页下页返回结束第九章多元函数微分法及其应用9.1多元函数的基本概念1.多元函数概念常用二元函数(图形一般为空间曲面)三元函数机动目录上页下页返回结束2.多元函数的极限有3.多元函数的连续性1)函数2)闭域上的多元连续函数的性质:有界定理;最值定理;介值定理3)一切多元初等函数在定义区域内连续机动目录上页下页返回结束9.2偏导数1.偏导数的概念及有关结论

定义;记号;几何意义

函数在一点偏导数存在函数在此点连续

混合偏导数连续与求导顺序无关2.偏导数的计算方法

求一点处偏导数的方法先代后求先求后代利用定义

求高阶偏导数的方法逐次求导法(与求导顺序无关时,应选择方便的求导顺序)机动目录上页下页返回结束9.3全微分1.微分定义:2.重要关系:函数可导函数可微偏导数连续函数连续机动目录上页下页返回结束9.4多元复合函数的求导法则1.复合函数求导的链式法则“分段用乘,分叉用加,单路全导,叉路偏导”例如,2.全微分形式不变性不论u,v是自变量还是因变量,机动目录上页下页返回结束9.5隐函数的求导公式1.隐函数存在定理1、22.隐函数求导方法方法1.利用复合函数求导法则直接计算;方法2.利用微分形式不变性;方法3.代公式机动目录上页下页返回结束1.空间曲线的切线与法平面

切线方程法平面方程1)参数式情况.空间光滑曲线切向量9.6几何中的应用机动目录上页下页返回结束切线方程法平面方程空间光滑曲线切向量2)一般式情况.机动目录上页下页返回结束空间光滑曲面曲面

在点法线方程1)隐式情况.的法向量切平面方程2.曲面的切平面与法线机动目录上页下页返回结束空间光滑曲面切平面方程法线方程2)显式情况.法线的方向余弦法向量机动目录上页下页返回结束9.7方向导数与梯度1.方向导数•三元函数在点沿方向l(方向角的方向导数为•二元函数在点的方向导数为沿方向l(方向角为机动目录上页下页返回结束2.梯度•三元函数在点处的梯度为•二元函数在点处的梯度为3.关系方向导数存在偏导数存在••可微机动目录上页下页返回结束梯度在方向l上的投影.9.8多元函数的极值及其求法1.函数的极值问题第一步利用必要条件在定义域内找驻点.即解方程组第二步利用充分条件判别驻点是否为极值点.2.函数的条件极值问题(1)简单问题用代入法如对二元函数(2)一般问题用拉格朗日乘数法机动目录上页下页返回结束设拉格朗日函数如求二元函数下的极值,解方程组第二步判别•比较驻点及边界点上函数值的大小•根据问题的实际意义确定最值第一步找目标函数,确定定义域(及约束条件)3.函数的最值问题在条件求驻点.机动目录上页下页返回结束第十章重积分10.1二重积分的概念与性质1.二重积分的定义2.二重积分的性质(与定积分性质相似)3.曲顶柱体体积的计算二次积分法机动目录上页下页返回结束10.2二重积分的计算法(1)二重积分化为累次积