太原理工微积分与数学模型10年修改版线代第5节

第五节矩阵的初等变换矩阵的初等变换定义1下面三种变换称为矩阵的初等行变换:定义2矩阵的初等列变换与初等行变换统称为矩阵的初等变换．初等变换的逆变换仍为初等变换,且变换类型相同．

同理可定义矩阵的初等列变换(所用记号是把“r”换成“c”)．逆变换逆变换逆变换等价关系的性质：具有上述三条性质的关系称为等价．定理1若矩阵A经过有限次初等行变换变成矩阵B，则A的行（列）向量组与B的行（列）向量组等价。（1）如果矩阵A经过某一种初等行变换变为B，那么对第一、二种变换，结论是显然的。下面考虑第三种变换：因为，其余行不变，所以可由线性表示。证明设A的行向量组为，B的行向量组为又其余行不变。所以可由线性表示。于是A

的行向量组与B的行向量组等价。（2）如果A

经过有限次初等行变换变为B，由（1）即向量组等价的传递性，可知A的行向量组与B的行向量组等价。对列变换情形，可以同样证明。定理2在初等行（列）变换下，矩阵的列（行）向量间的线性关系不变。证明以初等行变换为例，设A经过某种行变换化为B，记那么方程组与方程组同解从而线性相关当且仅当线性相关。并且当某个可由其余线性表示时，也可由线性表示，且表示系数相同。所以A的列向量组与B的列向量组具有相同的线性性。

推论1在初等行（列）变换下，矩阵的任意个列向量的线性关系不变，从而它们有相同的线性相关性。推论2称矩阵为一个行阶梯形矩阵，如果

（1）中元素全为零的行在非零行的下方；（2）中各非零行的第一个非零元素的列指标随着行指标的增大而严格增大

等，都是行阶梯形矩阵.阶梯形矩阵的秩等于其非零行的个数。

定理3任意一个矩阵总可以经过有限次的初等行变换化为行阶梯形矩阵.例1求下列矩阵A的秩。上式最后一个矩阵为行阶梯形矩阵，由此看出R(A)=3.从这个行阶梯形矩阵不仅可看出矩阵的秩，还可看出这个矩阵的第1、2、4三列线性无关，因而矩阵的第1、2、4三个列向量是A的列向量组的一个最大无关组。继续实行行变换，还可化为最简单的形式：这个行阶梯形矩阵具有这样的特性：非零行向量的第一个非零元素为1，且含这些元素的列的其他元素都为零，这个矩阵称为矩阵A的行最简形。m

n矩阵A经过初等行变换可化为行最简形，若再经过初等列变换，即可化为下面的最简形式：这个矩阵称为A的标准形，其中Er是一个r阶的单位矩阵，r等于A的秩。因此A与B等价当且仅当A与B有相同的标准形。由此可知方阵A可逆的充分必要条件是A与E等价。例2设（1）求此向量组的秩；（2）判断此向量组的线性相关性；（3）求此向量组的一个最大线性无关组。（4）将其余向量用这个最大线性无关组线性表示。解构成矩阵所以（1）A的秩等于2.（2）

1，2，3，4线性相关.（3）1，2是它的一个最大线性无关组.（4）因为，所以定义3由单位矩阵经过一次初等变换得到的方阵称为初等矩阵.三种初等变换对应着三种初等方阵.

矩阵的初等变换是矩阵的一种基本运算，应用广泛.初等矩阵的概念

定理4设是一个矩阵，对施行一次初等行变换，相当于在的左边乘以相应的阶初等矩阵；对施行一次初等列变换，相当于在的右边乘以相应的阶初等矩阵.