重庆市第四十二中学2023届高三年级4月摸底考试数学试题

重庆市第四十二中学2023届高三年级4月摸底考试数学试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设双曲线的右顶点为，右焦点为，过点作平行的一条渐近线的直线与交于点，则的面积为（）A． B． C．5 D．62．阅读下面的程序框图，运行相应的程序，程序运行输出的结果是（）A．1．1 B．1 C．2．9 D．2．83．已知四棱锥的底面为矩形，底面，点在线段上，以为直径的圆过点.若，则的面积的最小值为（）A．9 B．7 C． D．4．已知，，则（）A． B． C．3 D．45．已知与函数和都相切，则不等式组所确定的平面区域在内的面积为（）A． B． C． D．6．已知甲、乙两人独立出行，各租用共享单车一次（假定费用只可能为、、元）．甲、乙租车费用为元的概率分别是、，甲、乙租车费用为元的概率分别是、，则甲、乙两人所扣租车费用相同的概率为（）A． B． C． D．7．一个组合体的三视图如图所示（图中网格小正方形的边长为1），则该几何体的体积是（）A． B． C． D．8．已知，则（）A．2 B． C． D．39．在中，角所对的边分别为，已知，则（）A．或 B． C． D．或10．设函数若关于的方程有四个实数解，其中，则的取值范围是（）A． B． C． D．11．已知函数，若方程恰有两个不同实根，则正数m的取值范围为（）A． B．C． D．12．给出个数，，，，，，其规律是：第个数是，第个数比第个数大，第个数比第个数大，第个数比第个数大，以此类推，要计算这个数的和．现已给出了该问题算法的程序框图如图，请在图中判断框中的①处和执行框中的②处填上合适的语句，使之能完成该题算法功能()A．； B．；C．； D．；二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．在中，角所对的边分别为，为的面积，若，，则的形状为__________，的大小为__________．14．设，满足条件，则的最大值为__________.15．利用等面积法可以推导出在边长为a的正三角形内任意一点到三边的距离之和为定值，类比上述结论，利用等体积法进行推导，在棱长为a的正四面体内任意一点到四个面的距离之和也为定值，则这个定值是______16．已知曲线，点，在曲线上，且以为直径的圆的方程是．则_______．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图，在直三棱柱中，，，为的中点，点在线段上，且平面．（1）求证：；（2）求平面与平面所成二面角的正弦值．18．（12分）已知在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，点的极坐标为．（1）求直线的极坐标方程；（2）若直线与曲线交于，两点，求的面积．19．（12分）在某外国语学校举行的(高中生数学建模大赛)中,参与大赛的女生与男生人数之比为,且成绩分布在,分数在以上(含)的同学获奖．按女生、男生用分层抽样的方法抽取人的成绩作为样本,得到成绩的频率分布直方图如图所示．(Ⅰ)求的值,并计算所抽取样本的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(Ⅱ)填写下面的列联表,并判断在犯错误的概率不超过的前提下能否认为“获奖与女生、男生有关”．女生男生总计获奖不获奖总计附表及公式：其中,．20．（12分）设前项积为的数列，（为常数），且是等差数列.（Ｉ）求的值及数列的通项公式；（Ⅱ）设是数列的前项和，且，求的最小值.21．（12分）某企业原有甲、乙两条生产线，为了分析两条生产线的效果，先从两条生产线生产的大量产品中各抽取了100件产品作为样本，检测一项质量指标值．该项指标值落在内的产品视为合格品，否则为不合格品．乙生产线样本的频数分布表质量指标合计频数2184814162100（1）根据甲生产线样本的频率分布直方图，以从样本中任意抽取一件产品且为合格品的频率近似代替从甲生产线生产的产品中任意抽取一件产品且为合格品的概率，估计从甲生产线生产的产品中任取5件恰有2件为合格品的概率；（2）现在该企业为提高合格率欲只保留其中一条生产线，根据上述图表所提供的数据，完成下面的列联表，并判断是否有90%把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与生产线有关？若有90%把握，请从合格率的角度分析保留哪条生产线较好？甲生产线乙生产线合计合格品不合格品合计附：，．0.1500.1000.0500.0250.0100.0052.0722.7063.8415.0246.6357.87922．（10分）已知三棱锥中，为等腰直角三角形，，设点为中点，点为中点，点为上一点，且．（1）证明：平面；（2）若，求直线与平面所成角的正弦值．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】

根据双曲线的标准方程求出右顶点、右焦点的坐标，再求出过点与的一条渐近线的平行的直线方程，通过解方程组求出点的坐标，最后利用三角形的面积公式进行求解即可.【详解】由双曲线的标准方程可知中：，因此右顶点的坐标为，右焦点的坐标为，双曲线的渐近线方程为：，根据双曲线和渐近线的对称性不妨设点作平行的一条渐近线的直线与交于点，所以直线的斜率为，因此直线方程为：，因此点的坐标是方程组：的解，解得方程组的解为：，即，所以的面积为：.故选：A【点睛】本题考查了双曲线的渐近线方程的应用，考查了两直线平行的性质，考查了数学运算能力.2、C【解析】

根据程序框图的模拟过程，写出每执行一次的运行结果，属于基础题.【详解】初始值，第一次循环：，；第二次循环：，；第三次循环：，；第四次循环：，；第五次循环：，；第六次循环：，；第七次循环：，；第九次循环：，；第十次循环：，；所以输出.故选：C【点睛】本题考查了循环结构的程序框图的读取以及运行结果，属于基础题.3、C【解析】

根据线面垂直的性质以及线面垂直的判定，根据勾股定理，得到之间的等量关系，再用表示出的面积，利用均值不等式即可容易求得.【详解】设，，则.因为平面，平面，所以.又，，所以平面，则.易知，.在中，，即，化简得.在中，，.所以.因为，当且仅当，时等号成立，所以.故选：C.【点睛】本题考查空间几何体的线面位置关系及基本不等式的应用，考查空间想象能力以及数形结合思想，涉及线面垂直的判定和性质，属中档题.4、A【解析】

根据复数相等的特征，求出和，再利用复数的模公式，即可得出结果.【详解】因为，所以，解得则.故选：A.【点睛】本题考查相等复数的特征和复数的模，属于基础题.5、B【解析】

根据直线与和都相切，求得的值，由此画出不等式组所表示的平面区域以及圆，由此求得正确选项.【详解】.设直线与相切于点，斜率为，所以切线方程为，化简得①.令，解得，，所以切线方程为，化简得②.由①②对比系数得，化简得③.构造函数，，所以在上递减，在上递增，所以在处取得极小值也即是最小值，而，所以有唯一解.也即方程③有唯一解.所以切线方程为.即.不等式组即，画出其对应的区域如下图所示.圆可化为，圆心为.而方程组的解也是.画出图像如下图所示，不等式组所确定的平面区域在内的部分如下图阴影部分所示.直线的斜率为，直线的斜率为.所以，所以，而圆的半径为，所以阴影部分的面积是.故选：B【点睛】本小题主要考查根据公共切线求参数，考查不等式组表示区域的画法，考查圆的方程，考查两条直线夹角的计算，考查扇形面积公式，考查数形结合的数学思想方法，考查分析思考与解决问题的能力，属于难题.6、B【解析】

甲、乙两人所扣租车费用相同即同为1元，或同为2元，或同为3元，由独立事件的概率公式计算即得．【详解】由题意甲、乙租车费用为3元的概率分别是，∴甲、乙两人所扣租车费用相同的概率为．故选：B．【点睛】本题考查独立性事件的概率．掌握独立事件的概率乘法公式是解题基础．7、C【解析】

根据组合几何体的三视图还原出几何体，几何体是圆柱中挖去一个三棱柱，从而解得几何体的体积.【详解】由几何体的三视图可得，几何体的结构是在一个底面半径为1的圆、高为2的圆柱中挖去一个底面腰长为的等腰直角三角形、高为2的棱柱，故此几何体的体积为圆柱的体积减去三棱柱的体积，即，故选C.【点睛】本题考查了几何体的三视图问题、组合几何体的体积问题，解题的关键是要能由三视图还原出组合几何体，然后根据几何体的结构求出其体积.8、A【解析】

利用分段函数的性质逐步求解即可得答案．【详解】，；；故选：．【点睛】本题考查了函数值的求法，考查对数的运算和对数函数的性质，是基础题，解题时注意函数性质的合理应用．9、D【解析】

根据正弦定理得到，化简得到答案.【详解】由，得，∴，∴或，∴或．故选：【点睛】本题考查了正弦定理解三角形，意在考查学生的计算能力.10、B【解析】

画出函数图像，根据图像知：，，，计算得到答案.【详解】，画出函数图像，如图所示：根据图像知：，，故，且.故.故选：.【点睛】本题考查了函数零点问题，意在考查学生的计算能力和应用能力，画出图像是解题的关键.11、D【解析】

当时，函数周期为，画出函数图像，如图所示，方程两个不同实根，即函数和有图像两个交点，计算，，根据图像得到答案.【详解】当时，，故函数周期为，画出函数图像，如图所示：方程，即，即函数和有两个交点.，，故，，，，.根据图像知：.故选：.【点睛】本题考查了函数的零点问题，确定函数周期画出函数图像是解题的关键.12、A【解析】

要计算这个数的和，这就需要循环50次，这样可以确定判断语句①，根据累加最的变化规律可以确定语句②.【详解】因为计算这个数的和，循环变量的初值为1，所以步长应该为1，故判断语句①应为，第个数是，第个数比第个数大，第个数比第个数大，第个数比第个数大，这样可以确定语句②为，故本题选A.【点睛】本题考查了补充循环结构，正确读懂题意是解本题的关键.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、等腰三角形【解析】∵∴根据正弦定理可得，即∴∴∴的形状为等腰三角形∵∴∴由余弦定理可得∴，即∵∴故答案为等腰三角形，14、【解析】

作出可行域，由得，平移直线，数形结合可求的最大值.【详解】作出可行域如图所示由得，则是直线在轴上的截距.平移直线，当直线经过可行域内的点时，最小，此时最大.解方程组，得，..故答案为：.【点睛】本题考查简单的线性规划，属于基础题.15、【解析】

计算正四面体的高，并计算该正四面体的体积，利用等体积法，可得结果.【详解】作平面，为的重心如图则，所以设正四面体内任意一点到四个面的距离之和为则故答案为：【点睛】本题考查类比推理的应用，还考查等体积法，考验理解能力以及计算能力，属基础题.16、【解析】

设所在直线方程为设､点坐标分别为，，都在上，代入曲线方程，两式作差可得，从而可得直线的斜率，联立直线与的方程，由，利用弦长公式即可求解.【详解】因为是圆的直径，必过圆心点，设所在直线方程为设､点坐标分别为，，都在上，故两式相减，可得(因为是的中点)，即联立直线与的方程：又，即，即又因为，则有即∴.故答案为：【点睛】本题考查了直线与圆锥曲线的位置关系、弦长公式，考查了学生的计算能力，综合性比较强，属于中档题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、见解析【解析】

（1）如图，连接，交于点，连接，，则为的中点，因为为的中点，所以，又，所以，从而，，，四点共面．因为平面，平面，平面平面，所以．又，所以四边形为平行四边形，所以，所以（2）因为，为的中点，所以，又三棱柱是直三棱柱，，所以，，互相垂直，分别以，，的方向为轴、轴、轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，因为，，所以，，，，所以，，．设平面的法向量为，则，即，令，可得，，所以平面的一个法向量为．设平面的法向量为，则，即，令，可得，，所以平面的一个法向量为，所以，所以平面与平面所成二面角的正弦值为．18、（1）（2）【解析】

（1）先消去参数，化为直角坐标方程，再利用求解.（2）直线与曲线方程联立，得，求得弦长和点到直线的距离，再求的面积.【详解】（1）由已知消去得，则，所以，所以直线的极坐标方程为．（2）由，得，设，两点对应的极分别为，，则，，所以，又点到直线的距离所以【点睛】本题主要考查参数方程、直角坐标方程及极坐标方程的转化和直线与曲线的位置关系，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.19、（Ⅰ），；（Ⅱ）详见解析.【解析】

(Ⅰ)根据概率的性质知所有矩形的面积之和等于列式可解得；(Ⅱ)由频率分布直方图知样本中获奖的人数为,不获奖的人数为,从而可得列联表,再计算出,与临界值比较可得．【详解】解：(Ⅰ),．(Ⅱ)由频率分布直方图知样本中获奖的人数为,不获奖的人数为,列联表如下：女生男生总计获奖不获奖总计因为,所以在犯错误的概率不超过的前提下能认为“获奖与女生,男生有关．”【点睛】本题主要考查独立性检验，以及由频率分布直方图求平均数的问题，熟记独立性检验的思想，以及平均数的计算方法即可，属于常考题型.20、（Ⅰ），；（Ⅱ）【解析】

（Ⅰ）当时，由，得到，两边同除以，得到.再根据是等差数列.求解.（Ⅱ），根据前n项和的定义得到，令，研究其增减性即可.【详解】（Ⅰ）当时，，所以，即，所以.因为是等差数列.，所以，，令，，，所以，即；（Ⅱ），所以，，令，所以，，即，所以数列是递增数列，所以，即.【点睛】本题主要考查等差数列的定义，前n项和以及数列的增减性，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.21、（1）0.0081（2）见解析，保留乙生产线较好．【解析】

(1)先求出任取一件产品为合格品的频率，“从甲生产线生产的产品中任取5件，恰有2件为合格品”就相当于进行5次独立重复试验，恰好发生2次的概率用二项分布概率即可解决.(2)独立性检验算出的观测值即可判断.【