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文档简介

函数与极限

性质（闭区间上连续函数）

函数

极限（数列极限、函数极限）

连续（或间断）内容一、函数：:函数的分类函数初等函数非初等函数(分段函数,有无穷多项等函数)代数函数超越函数有理函数无理函数有理整函数(多项式函数)有理分函数(分式函数)邻域:绝对值:运算性质:绝对值不等式:函数的特性：M-Myxoy=f(x)X有界无界M-MyxoX1．函数的有界性:数列的有界性：补充内容：1.单调递增且有上界数列必有极限。2.单调递减且有下界数列必有极限。2．函数的单调性:xyoxyo3．函数的奇偶性:偶函数yxox-x奇函数yxox-x函数的周期性:（通常说周期函数的周期是指其最小正周期）.．

典型例题例解例解故思考题思考题解答设则故二、极限函数极限的统一定义(见下表)过程时刻从此时刻以后过程时刻从此时刻以后思考题思考题解答左极限存在,右极限存在,不存在.补充结论：小结:解商的法则不能用由无穷小与无穷大的关系,得例解例(消去零因子法)例解(无穷小因子分出法)结论:无穷小分出法:以分母中自变量的最高次幂除分子,分母,以分出无穷小,然后再求极限.例解先变形再求极限.例.证明证:利用夹逼准则.且由例：1.求极限解：原式2.

求极限提示：原式左边=右边故极限存在，例：

设

,且求解：设则由递推公式有∴数列单调递减有下界，故利用极限存在准则思考与练习1.如何判断极限不存在?方法1.

找一个趋于∞的子数列;方法2.

找两个收敛于不同极限的子数列.2.已知,求时,下述作法是否正确?说明理由.设由递推式两边取极限得不对!此处例解意义：定理:意义1.极限符号可以与函数符号互换;定理:注意:该定理是上个定理的特殊情况.无穷小（量）：无穷小的性质;无穷小的比较;常用等价无穷小:

两个重要极限：

～～～～～～～～～2.1.两个重要极限或注:

代表相同的表达式思考与练习填空题

(1～4)例.求下列极限：提示:无穷小有界令～则有复习:

若则-2填空题：1.2.0极限的计算方法：

1、极限的四则运算法则及其推论；

2、多项式与分式函数代入法求极限;3、消去零因子法求极限;4、无穷小因子分出法(等价无穷小代换)求极限;5、利用无穷小运算性质求极限;6、利用左右极限求分段函数极限;7、复合函数极限运算法则;(尤其利用复合函数连续性)8、利用两边夹逼准则求极限;9、利用罗比达法则求极限;10、利用泰勒公式求极限;11、利用定积分求极限;12、利用无穷级数的性质求极限;…………思考题:在某个过程中，若有极限，无极限，那么是否有极限？为什么？与是否有极限？

思考题解答:没有极限．假设有极限，有极限，由极限运算法则可知：必有极限，与已知矛盾，故假设错误．思考题:任何两个无穷小都可以比较吗？思考题解答:不能．例当时都是无穷小量但不存在且不为无穷大故当

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