人教版高数必修四第4讲三角函数的图像与性质（教师版）

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一、三角函数的图像：

1．正弦线：设任意角α的终边与单位圆相交于点P(x，y)，过P作x轴的垂线，垂足为M，则有sin??y?MP，向线段MP叫做角α的正弦线，r2．用单位圆中的正弦线作正弦函数y=sinx，x∈[0，2π]的图象（几何法）：

把y=sinx，x∈[0，2π]的图象，沿着x轴向右和向左连续地平行移动，每次移动的距离为2π，就得到y=sinx，x∈R叫做正弦曲线

1-6?-5?-4?-3?-2?-?-1y0?2?3?4?5?6?xf?x?=sin?x?

3．用五点法作正弦函数的简图（描点法）：

正弦函数y=sinx，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：1、用单位圆中的余弦线作余弦函数的图象（几何法）：为了作三角函数的图象，三角函数的自变量要用弧度制来度量，使自变量与函数值都为实数．在一般状况下，两个坐标轴上所取的单位长度应当一致，否则所作曲线的形状各不一致，从而影响初学者对曲线形状的正确认识．

1

2、余弦函数y=cosxx?[0,2?]的五个点关键是

?3?,0)(?,-1)(,0)(2?,1)22现在把上述图象沿着x轴向右和向左连续地平行移动，每次移动的距离为2π，就得到

y=cosx，x∈R的图象，

(0,1)(

1-6?-5?-4?-3?-2?-?-1y0?2?3?4?5?6?xf?x?=cos?x?3、正切函数y?tanx的图象：我们可选择??

????,?的区间作出它的图象?22?

根据正切函数的周期性，把上述图象向左、右扩展，得到正切函数y?tanx且x?x?R，

?2?k??k?z?的图象，称“正切曲线〞

2

(0,0)(

3??,1)(π,0)(,-1)(2π,0)

22

二、三角函数的性质:函数y?sinx性质y?cosxy?tanx图象定义域值域当RR????xx?k??,k???2??R??1,1?x?2k????1,1?时，当x?2k?时，?2ymax?1；当x?2k????最y?1；当x?2k??值max2时，ymin??1．时，ymin??1．周期性奇偶性既无最大值也无最小值2?2??奇函数偶函数奇函数???单?在?2k??,2k???调22??性上是增函数；

在?2k???,2k??上是增函数；3

在?k?????2,k?????2?上是增函数．在?2k?????2,2k??3??在?2k?,2k????上是减函2??数．上是减函数．对对称中心?k?,0?称?性对称轴x?k??对称中心?k??对称轴x?k?????,0?2?对称中心?无对称轴?k??,0??2?2

类型一、三角函数的图像：

例1.作出函数y?1?cos2x的图象

分析：首先将函数的解析式变形，化为最简形式，然后作出函数的图象。

2y?1?cosx化为y?|sinx|解析：

?sinx(2k??x?2k???)y????sinx(2k????x?2k??2?)(k?Z)即

其图象如图：

点评：画y?|sinx|的图象可分为两步完成，第一步先画出y?sinx，x?[0，?]和

y??sinx，x?(?，2?)的图象，其次步将得到的图象向左、右平移，即可得到完整的曲线。

例2：y?cos(x?解析：

?????11)，x???,?6?66?

类型二、三角函数的性质：

例3.求以下函数的周期

4

（1）y?sin1x2（2）y?2sin(x??)36分析：该例的两个函数都是复合函数，我们可以通过变量替换将它们归结为基本三角函数去处理。

解析：（1）假使令，则sinx2?sinm是周期函数，且周期为2??sin(1x?21

2?)?sin2x即sin[12(x?4?)]?sin12x

?sinx2的周期是4?

（2）?2sin(x?x?3?6?2?)?2sin(3?6)

即2sin[1?x3(x?6?)??6]?2sin(3?6)

?y?2sin(x3??6)的周期是6?。

练习：求以下三角函数的周期：

1?y=sin(x+

?3)2?y=cos2x3?y=3sin(x2+?5)4例:4.比较以下各组数的大小。

（1）sin194°和cos160°；（2）sin74和cos53；（3）sin(sin3?8)和sin(cos3?8)分析：先化为同名函数，然后利用单调性来比较函数值的大小。

解析：（1）sin194??sin(180??14?)??sin14?cos160??cos(180??20?)??cos20???sin70?

?0??14??70??90?，?sin14??sin70?从而?sin14???sin70?即sin194??cos160?