数列知识点归纳及例题分析

本文格式为Word版，下载可任意编辑——数列知识点归纳及例题分析《数列》知识点归纳及例题分析

一、数列的概念：

1.归纳通项公式：重视经验的积累例1.归纳以下数列的通项公式：(1)0，-3,8，-15,24，(2)21,211,2111,21111,

379(3),1,,,

21017?a1,(n?1)2.an与Sn的关系：an??

S?S,(n?2)n?1?n注意：?强调n?1,n?2分开，注意下标；?an与Sn之间的互化（求通项）

?3,n?1例2：已知数列{an}的前n项和Sn??2，求an.

?n?1,n?23.数列的函数性质：

（1）单调性的判定与证明：?定义法；?函数单调性法（2）最大（小）项问题：?单调性法；?图像法（3）数列的周期性：（注意与函数周期性的联系）

1?2a,0?a?nn?2，a?3，求a.例3：已知数列{an}满足an?1??1202315?2an?1,?an?12?二、等差数列与等比数列

1.等比数列与等差数列基本性质对比（类比的思想，比较一致之处和不同之处）

等差数列等比数列an?1?q（q是常数，且q?0，ann?1,2,3，?）定义an?1?an?d（d是常数n?1,2,3，?）通项公式an?a1??n?1?d推广：an?am??n?m?dan?a1qn?1推广：an?amqn?mn?n?1?n?a1?an?求和Sn?na1?d?22公式a?an?k中项A?n?k（n,k?N*,n?k?0）公式2?na1(q?1)?Sn??a?1?qn?a?aq1n1?(q?1)?1?q?1?qG??an?kan?k（n,k?N*,n?k?0）重要1、等和性：am?an?ar?as性质（m,n,r,s?N*,m?n?r?s）1、等积性：am?an?ar?as（m,n,r,s?N*,m?n?r?s）2、（其次通项公式）an?am?(n?m)d2、（其次通项公式）an?am?qn?man?amann?m及q?n?mam3、从等差数列中抽取等距离的项组成的数列是一个等差数列。3、从等比数列中抽取等距离的项组成的数列是一个等比数列。如：a1,a4,a7,a10,???（下标成等差数列）如：a1,a4,a7,a10,???（下标成等差数列）4、sn,s2n?sn,s3n?s2n成等差数列4、sn,s2n?sn,s3n?s2n成等比数列。Sn5、{}是等差数列n（仅当公比q??1且n为偶数时，不成及d?立）a1.定义：n?q(n≥2)?{an}是等比数an?1等差数列2.等差中项：2an＋1＝an＋an＋2?{an}是列2.等比中项：等差数列2223.通项公式：an?kn?p（k,p为常数）an?1?an?an?2(an?0)?{an}是等比数等价列?{an}是等差数列条件n23.通项公式：（c,q?0且为常a?c?qn4.前n项和：Sn?An?Bn（A,B为常数）?{an}是等比数列数）?{a}是等差数列1.定义：an－an－1＝d(n≥2)?{an}是n联系例题：4.前n项和：Sn?k?qn?k（k,q?0且为常数）?{an}是十分数列的等比数列真数等比，对数等差；指数等差，幂值等比。31

例4（等差数列的判定或证明）：已知数列{an}中，a1＝，an＝2－(n≥2，n5an－1

1**

∈N)，数列{bn}满足bn＝(n∈N)．

an－1

(1)求证：数列{bn}是等差数列；

(2)求数列{an}中的最大项和最小项，并说明理由．

11

(1)证明∵an＝2－(n≥2，n∈N*)，bn＝.

an－1an－111

∴n≥2时，bn－bn－1＝－an－1an－1－1

11

＝－1?an－1－1?

?2－?－1

an－1??an－11＝－＝1.an－1－1an－1－1

5

∴数列{bn}是以－为首项，1为公差的等差数列．

2

712

(2)解由(1)知，bn＝n－，则an＝1＋＝1＋，

2bn2n－72

设函数f(x)＝1＋，

2x－7

7??7??

易知f(x)在区间?－∞，?和?，＋∞?内为减函数．

2??2??

∴当n＝3时，an取得最小值－1；当n＝4时，an取得最大值3.

例5（等差数列的基本量的计算）设a1，d为实数，首项为a1，公差为d的等差数列{an}的前n项和为Sn，满足S5S6＋15＝0.

(1)若S5＝5，求S6及a1(2)求d的取值范围．

－15

解(1)由题意知S6＝＝－3，a6＝S6－S5＝－8.

S5

?5a1＋10d＝5，所以?

a＋5d＝－8.?1

解得a1＝7，所以S6＝－3，a1＝7.(2)方法一∵S5S6＋15＝0，

∴(5a1＋10d)(6a1＋15d)＋15＝0，

2

即2a21＋9da1＋10d＋1＝0.

由于关于a1的一元二次方程有解，所以Δ＝81d2－8(10d2＋1)＝d2－8≥0，解得d≤－22或d≥22.

方法二∵S5S6＋15＝0，

∴(5a1＋10d)(6a1＋15d)＋15＝0，9da1＋10d2＋1＝0.

222

故(4a1＋9d)＝d－8.所以d≥8.

故d的取值范围为d≤－22或d≥22.

例6（前n项和及综合应用）(1)在等差数列{an}中，已知a1＝20，前n项和为Sn，且S10＝S15，求当n取何值时，Sn取得最大值，并求出它的最大值；(2)已知数列{an}的通项公式是an＝4n－25，求数列{|an|}的前n项和．

解方法一∵a1＝20，S10＝S15，

10×915×145

∴10×20＋d＝15×20＋d，∴d＝－.

223

565?5?

∴an＝20＋(n－1)×?－?＝－n＋.

33?3?

∴a13＝0，即当n≤12时，an>0，n≥14时，an<0，

∴当n＝12或13时，Sn取得最大值，且最大值为S13＝S12＝12×20＋＝130.

5方法二同方法一求得d＝－.3

25?3125n?n－1??5?51255?

∴Sn＝20n＋·?－?＝－n2＋n＝－?n－?2＋.

2?2666?24?3?

∵n∈N*，∴当n＝12或13时，Sn有最大值，且最大值为S12＝S13＝130.(2)∵an＝4n－25，an＋1＝4(n＋1)－25，∴an＋1－an＝4＝d，又a1＝4×1－25＝－21.

所以数列{an}是以－21为首项，以4为公差的递增的等差数列．?an＝4n－25<0，①令?

?an＋1＝4?n＋1?－25≥0，②

12×11?5?

×?－?2?3?

11

由①得n<6；由②得n≥5，所以n＝6.即数列{|an|}的前6项是以21为首项，

44

公差为－4的等差数列，从第7项起以后各项构成公差为4的等差数列，而|a7|＝a7＝4×7－24＝3.设{|an|}的前n项和为Tn，则

n?n－1?

?21n＋×?－4??n≤6??2T＝?

?n－6??n－7?

66＋3?n－6?＋×4?n≥7??2?

n2

?－2n＋23n?n≤6?，＝?2

?2n－23n＋132?n≥7?.

例7已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为3

Sn7n+45=例8等差数列{an},{bn}的前n项和分别为{Sn},{Tn}，且Tnn-3,则使得

anbn为正整数的正整数n的个数是3.（先求an/bnn=5,13,35）

22Sn例9已知数列?an?中，a1?1，当n≥2时，其前n项和Sn满足an?，则

2Sn?13?1?n?1??3数列?an?的通项公式为an??2n≥2??2?1?4n?

2?lnn例10在数列{an}中，a1?2，an?1?an?ln(1?1)，则an?.n例11设3b是1?a和1?a的等比中项，则a+3b的最大值为2.例12若数列1,2cosθ,22cos2θ,23cos3θ,?,前100项之和为0,则θ的值为

2k??2?,k?Z（）3例13△ABC的三内角成等差数列,三边成等比数列,则三角形的外形为__等边三角形_

三、数列求和：（1）倒序相加法

112m(x?R)，求Sm?f()?f()???f()_________如：已知函数f(x)?x4?2mmm（2）错位相减法：?anbn?其中{an}是等差数列，?bn?是等比数列。

（3）裂项相消法：形如an?

（4）拆项分组法：形如an?bn?cn，

?6n?5(n为奇数)如：an?2n?3，an??n，an?(?1)n?1?n2

(n为偶数)?2n1111?(?)

(An?B)(An?C)C?BAn?BAn?C练习：

111，，···，的前n项和为（B）1?21?2?31?2???nn?22nn2nA．B．C．D．

n?12n?1n?12n?11、数列1，

11112、数列1,3,5,7,?,前n项和Sn?．

248163、数列?an?的通项公式为an?1n?1?n，则S100＝_________________。

4、设Sn?31111，且Sn?Sn?1?，则n?．6?????42612n?n?1?