一元二次方程知识点及习题

一元二次方程（一）、一元二次方程的概念1．理解并掌握一元二次方程的意义（未知数个数为1，未知数的最高次数为2，整式方程，可化为一般形式）2．正确识别一元二次方程中的各项及各项的系数（1）让学生明确只有当二次项系数时，整式方程才是一元二次方程。（2）各项的确定(包括各项的系数及各项的未知数).（3）熟练整理方程的过程3．一元二次方程的解的定义与检验一元二次方程的解4．列出实际问题的一元二次方程（二）、一元二次方程的解法1．明确一元二次方程是以降次为目的，以配方法、开平方法、公式法、因式分解法等方法为手段，从而把一元二次方程转化为一元一次方程求解；2．根据方程系数的特点，熟练地选用配方法、开平方法、公式法、因式分解法等方法解一元二次方程；3．体会不同解法的相互的联系；4．值得注意的几个问题：(1)开平方法：对于形如或的一元二次方程，即一元二次方程的一边是含有未知数的一次式的平方，而另一边是一个非负数，可用开平方法求解.形如的方程的解法：当时，;当时，;当时，方程无实数根。（2）配方法：通过配方的方法把一元二次方程转化为的方程，再运用开平方法求解。配方法的一般步骤：①移项：把一元二次方程中含有未知数的项移到方程的左边，常数项移到方程的右边；②“系数化1”：根据等式的性质把二次项的系数化为1；③配方：将方程两边分别加上一次项系数一半的平方，把方程变形为的形式；④求解：若时，方程的解为，若时，方程无实数解。（3）公式法：一元二次方程的根当时，方程有两个实数根,且这两个实数根不相等；当时，方程有两个实数根,且这两个实数根相等，写为；当时，方程无实数根.公式法的一般步骤：①把一元二次方程化为一般式；②确定的值；③代入中计算其值，判断方程是否有实数根；④若代入求根公式求值，否则，原方程无实数根。（因为这样可以减少计算量。另外，求根公式对于任何一个一元二次方程都适用，其中也包括不完全的一元二次方程。）（4）因式分解法：①因式分解法解一元二次方程的依据：如果两个因式的积等于0，那么这两个因式至少有一个为0，即：若，则；②因式分解法的一般步骤：将方程化为一元二次方程的一般形式；把方程的左边分解为两个一次因式的积，右边等于0；令每一个因式都为零，得到两个一元一次方程；解出这两个一元一次方程的解可得到原方程的两个解。（5）选用适当方法解一元二次方程①对于无理系数的一元二次方程，可选用因式分解法，较之别的方法可能要简便的多，只不过应注意二次根式的化简问题。②方程若含有未知数的因式，选用因式分解较简便，若整理为一般式再解就较为麻烦。（6）解含有字母系数的方程（1）含有字母系数的方程，注意讨论含未知数最高项系数，以确定方程的类型；（2）对于字母系数的一元二次方程一般用因式分解法解，不能用因式分解的可选用别的方法，此时一定不要忘记对字母的取值进行讨论。（三）、根的判别式1．了解一元二次方程根的判别式概念，能用判别式判定根的情况，并会用判别式求一元二次方程中符合题意的参数取值范围。（1）=（2）根的判别式定理及其逆定理：对于一元二次方程（）①当方程有实数根；（当方程有两个不相等的实数根；当方程有两个相等的实数根；）②当方程无实数根；从左到右为根的判别式定理；从右到左为根的判别式逆定理。2．常见的问题类型（1）利用根的判别式定理，不解方程，判别一元二次方程根的情况（2）已知方程中根的情况，如何由根的判别式的逆定理确定参数的取值范围（3）应用判别式，证明一元二次方程根的情况①先计算出判别式（关键步骤）；②用配方法将判别式恒等变形；③判断判别式的符号；④总结出结论.例：求证：方程无实数根。（4）分类讨论思想的应用：如果方程给出的时未指明是二次方程，后面也未指明两个根，那一定要对方程进行分类讨论，如果二次系数为0，方程有可能是一元一次方程；如果二次项系数不为0，一元二次方程可能会有两个实数根或无实数根。（5）一元二次方程根的判别式常结合三角形、四边形、不等式（组）等知识综合命题，解答时要在全面分析的前提下，注意合理运用代数式的变形技巧（6）一元二次方程根的判别式与整数解的综合（7）判别一次函数与反比例函数图象的交点问题（四）、一元二次方程的应用1.数字问题：解答这类问题要能正确地用代数式表示出多位数，奇偶数，连续整数等形式。2.几何问题：这类问题要结合几何图形的性质、特征、定理或法则来寻找等量关系，构建方程，对结果要结合几何知识检验。3.增长率问题（下降率）：在此类问题中，一般有变化前的基数（），增长率（），变化的次数（），变化后的基数（）,这四者之间的关系可以用公式表示。4.其它实际问题（都要注意检验解的实际意义，若不符合实际意义，则舍去）。（五）新题型与代几综合题（1）有100米长的篱笆材料，想围成一矩形仓库，要求面积不小于600平方米，在场地的北面有一堵50米的旧墙，有人用这个篱笆围成一个长40米、宽10米的仓库，但面积只有400平方米，不合要求，问应如何设计矩形的长与宽才能符合要求呢？（2）读诗词解题（列出方程，并估算出周瑜去世时的年龄）：大江东去浪淘尽，千古风流数人物，而立之年督东吴，英年早逝两位数，十位恰小个位三，个位平方与寿符，哪位学子算得准，多少年华属周瑜？（36岁）(3)已知：分别是的三边长，当时，关于的一元二次方程有两个相等的实数根，求证：是直角三角形。（4）已知：分别是的三边长，求证：方程没有实数根。（5）当是什么整数时，关于的一元二次方程与的根都是整数？（）（6）已知关于的方程，其中为实数，（1）当为何值时，方程没有实数根？（2）当为何值时，方程恰有三个互不相等的实数根？求出这三个实数根。答案：（1）（2）.（六）相关练习一元二次方程的概念1．一元二次方程的项与各项系数把下列方程化为一元二次方程的一般形式，再写出二次项，一次项，常数项：（1）（2）（3）（4）（5）2．应用一元二次方程的定义求待定系数或其它字母的值(1)为何值时，关于的方程是一元二次方程。（）（2）若分式，则（）3．由方程的根的定义求字母或代数式值(1)关于的一元二次方程有一个根为0，则（）(2)一元二次方程有一根为1，一根为则，（0，0）（3）已知c为实数，并且关于的一元二次方程的一个根的相反数是方程的一个根，求方程的根及c的值。（0，-3，c=0）（二）一元二次方程的解法1．开平方法解下列方程：（1）（）（2）（）（3）（原方程无实根）（4）（）（5）（）2．配方法解方程：（1）（）（2）（）（3）（）3．公式法解下列方程：（1）（）（2）（）（3）（）（4）（原方程无实数根）（5）（）4．因式分解法解下列方程：（1）（）（2）（）（3）（）（4）（）（5）（）（6）（）（7）（）5．解法的灵活运用（用适当方法解下列方程）：（1）（）（2）（）（3）（）（4）（）（5）（）6．解含有字母系数的方程（解关于x的方程）：（1）()（2）（）（3）（）（）（4）（讨论a）（三）一元二次方程的根的判别式1．不解方程判别方程根的情况：（1）4（有两个不等的实数根）（2）（无实数根）（3）（有两个相等的实数根）2．为何值时，关于x的二次方程（1）有两个不等的实数根（）（2）有两个相等的实数根（）（3）无实数根（）3．已知关于ｘ的方程有两个相等的实数根．求ｍ的值和这个方程的根．(或)4．若方程有实数根，求：正整数a.（）5．对任意实数m，求证：关于x的方程无实数根.6．为何值时，方程有实数根.（当时，原方程有一个实数根，；当时，解得，所以当且时方程有两个实数根。综上所述，当时，方程有实数根.）7．设为整数，且时，方程有两个相异整数根，求的值及方程的根。（当=12时，方程的根为；当=24时，方程的根为）（四）一元二次方程的应用1．已知直角三角形三边长为三个连续整数，求它的三边长和面积.（3，4，5，面积为6）2．一个两位数，个位上的数字比十位上的数字少4，且个位数字与十位数字的平方和比这个两位数小4，求这个两位数.（84）3．某印刷厂在四年中共印刷1997万册书，已知第一年印刷了342万册，第二年印刷了500万册，如果以后两年的增长率相同，那么这两年各印刷了多少万册？(550,605)4．某人把5000元存入银行，定期一年到期后取出300元，将剩余部分（包括利息）继续存入银行，定期还是一年，且利率不变，到期如果全部取出，正好是275元，求存款的年利率？（不计利息税）（10℅）5．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可以售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场每天可多售出2件，若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？（20元）6．已知甲乙两人分别从正方形广场ABCD的顶点B、C同时出发，甲由C向D运动，乙由B向C运动，甲的速度为每分钟1千米，乙的速度每分钟2千米，若正方形广场周长为40千米，问几分钟后，两人相距千米？(2分钟后)7．某科技公司研制一种新产品，决定向银行贷款200万元资金，用于生产这种产品，签订的合同上约定两年到期时一次性还本付息,利息为本金的8%,该产品投放市场后由于产销对路,使公司在两年到期时除还清贷款的本金和利息外,还盈余72万元,若该公司在生产期间每年比上一年资金增长的百分数相同,试求这个百分数.(20%)8．如图，东西和南北向两条街道交于O点，甲沿东西道由西向东走，速度是每秒4米，乙沿南北道由南向北走，速度是每秒3米，当乙通过O点又继续前进50米时，甲刚好通过O点，求这两人在相距85米时，每个人的位置。（甲离O84米，乙离O13米）9．已知关于x的方程①有两个相等的实数根.(1)求证：关于y的方程②必有两个相等的实数根。(2)若方程①的一根的相反数恰好是方程②的一个根，求代数式的值。（14）10．一次函数和反比例函数，（1）k满足什么条件时，这两个函数在同一坐标系中的图象有两个交点？（2）设（1）中的两个公共点为A、B，是锐角还是钝角？（；钝角）二次函数常考知识点总结函数定义与表达式1.一般式：（，，为常数，）；2.顶点式：（，，为常数，）；一般式：顶点式：（h、k）3.交点式：（，，一般式：顶点式：（h、k）顶点坐标顶点坐标注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与轴有交点，即时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化函数图像的性质——抛物线（1）开口方向——二次项系数二次函数中，作为二次项系数，显然．当时，抛物线开口向上，的值越大，开口越小，反之的值越小，开口越大；当时，抛物线开口向下，的值越小，开口越小，反之的值越大，开口越大．总结起来，决定了抛物线开口的大小和方向，的正负决定开口方向，的大小决定开口的大小．IaI越大开口就越小,IaI越小开口就越大.（2）抛物线是轴对称图形，对称轴为直线一般式：对称轴顶点式：x=h两根式：x=（3）对称轴位置一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。（“左同右异”）（4）增减性，最大或最小值当a>0时，在对称轴左侧（当时），y随着x的增大而减少；在对称轴右侧（当时），y随着x的增大而增大；当a<0时，在对称轴左侧（当时），y随着x的增大而增大；在对称轴右侧（当时），y随着x的增大而减少；当a>0时，函数有最小值，并且当x=，；当a<0时，函数有最大值，并且当x=，；（5）常数项c常数项c决定抛物线与y轴交点。抛物线与y轴交于（0，c）。a\b\c符号判别二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）中a、b、c的符号判别：（1）a的符号判别由开口方向确定：当开口向上时，a＞0；当开口向下时，a＜0；（2）c的符号判别由与Y轴的交点来确定：若交点在X轴的上方，则c＞0；若交点在X轴的下方，则C＜0；（3）b的符号由对称轴来确定：对称轴在Y轴的左侧，则a、b同号；若对称轴在Y轴的右侧，则a、b异号；（7）抛物线与x轴交点个数Δ=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点。Δ=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。顶点在x轴上。Δ=b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点。（当时，图象落在轴的上方，无论为任何实数，都有；当时，图象落在轴的下方，无论为任何实数，都有．）（8）特殊的①二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）与X轴只有一个交点或二次函数的顶点在X轴上，则Δ=b2-4ac=0；②二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点在Y轴上或二次函数的图象关于Y轴对称，则b=0；③二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）经过原点，则c=0；三、平移、平移步骤：将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标；左右平移变h,左加右减；上下平移变k，上加下减。选择题：1、对于的图象下列叙述正确的是（）A的值越大，开口越大B的值越小，开口越小C的绝对值越小，开口越大D的绝对值越小，开口越小2、对称轴是x=-2的抛物线是（）A..y=-2x2-8xBy=2x2-2C.y=2(x-1)2+3D.y=2(x+1)2-33、与抛物线的形状大小开口方向相同，只有位置不同的抛物线是（）A． B．C． D．4、二次函数的图象上有两点(3，－8)和(－5，－8)，则此拋物线的对称轴是（）A．x＝4B.x＝3C.x＝－5D.x＝－1。5、抛物线的图象过原点，则为（）A．0 B．1C．－1D．±16、把二次函数配方成顶点式为（）A． B.C． D．7、直角坐标平面上将二次函数y＝-2(x－1)2－2的图象向左平移１个单位，再向上平移１个单位，则其顶点为（）OxOxy-118、函数的图象与轴有交点，则的取值范围是（）A．B．C．D．9、抛物线则图象与轴交点为（）A．二个交点 B．一个交点 C．无交点 D．不能确定10、二次函数的图象如图所示，则，，，这四个式子中，值为正数的有（）A．4个 B．3个C．2个D．1个二、填空题：1、已知抛物线，请回答以下问题：它的开口向，对称轴是直线，顶点坐标为；2、抛物线过第二、三、四象限，则0，0，0．3、抛物线可由抛物线向平移个单位得到．4、抛物线在轴上截得的线段长度是．5、抛物线，若其顶点在轴上，则．6、已知二次函数，则当时，其最大值为0．7．二次函数的值永远为负值的条件是0，0．8．已知抛物线与轴交于点A，与轴的正半轴交于B、C两点，且BC=2，S△ABC=3，则=，=．三、解答1、已知二次函数y=2x²-4x-6求：此函数图象的顶点坐标，与x轴、y轴的交点坐标2、已知抛物线与y轴交于C（0，c）点，与x轴交于B（c，0），其中c＞0，（1）求证： b＋1＋ac=0（2）若C与B两点距离等于，一元二次方程的两根之差的绝对值等于1，求抛物线的解析式.四、二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1.已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2.已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3.已知抛物线与轴的两个交点的横坐标，一般选用交点式；4.已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．随堂练:已知关于x的二次函数图象的对称轴是直线x=1，图象交Y轴于点（0，2），且过点（-1，0）求这个二次函数的解析式；已知抛物线的顶点坐标为（-1，-2），且通过点（1，10），求此二次函数的解析式；已知抛物线的对称轴为直线x=2，且通过点（1，4）和点（5，0），求此抛物线的解析式；已知抛物线与X轴交点的横坐标为-2和1，且通过点（2，8），求二次函数的解析式；已知抛物线通过三点（1，0），（0，-2），（2，3）求此抛物线的解析式；抛物线的顶点坐标是（6，-12），且与X轴的一个交点的横坐标是8，求此抛物线的解析式；抛物线经过点（4，-3），且当x=3时，y最大值=4，求此抛物线的解析式；1－1－1－33xyOABC8．如图，在同一直角坐标系中，二次函数的图象与两坐标轴分别交于A（－1，0）、点B（3，0）和点C（0，－3），一次函数的图象与抛物线交于B、C两点。⑴二次函数的解析式为．⑵当自变量时，两函数的函数值都随增大而增大．自变量时，一次函数值大于二次函数值．9、顶点为（－2，－5）且过点（1，－14）的抛物线的解析式为．10、对称轴是轴且过点A（1，3）、点B（－2，－6）的抛物线的解析式为．11、有一个二次函数的图象，三位学生分别说出了它的一些特点：甲：对称轴是直线x=4；乙：与x轴两个交点的横坐标都是整数；丙：与y轴交点的纵坐标也是整数，且以这三个交点为顶点的三角形面积为3．请你写出满足上述全部特点的一个二次函数解析式：五、二次函数解析式中各参数对图象的影响a──开口方向与开口大小(即决定抛物线的形状)h──顶点横坐标即对称轴的位置(沿x轴左右平移:“左加/右减”)k──顶点纵坐标即最值的大小(沿y轴上下平移:“上加/下减”)b──与a一起影响对称轴相对于y轴的位置(“左同/右异”)c──与y轴交点(0,c)的位置(c>0时在x轴上方；c<0时在x轴下方；c=0时必过原点)特殊点纵坐标的位置:如(1，a+b+c)、(-1，a-b+c)等六、二次函数与一元二次方程及一元二次不等式的关系(a≠0)一元二次方程ax2+bx+c=0的解是二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的横坐标即；一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集是二次函数y=ax2+bx+c的图象在x轴上方的点对应的横坐标的范围，即；一元二次不等式ax2+bx+c<0的解集是二次函数y=ax2+bx+c的图象在x轴下方的点对应的横坐标的范围，即：.七、二次函数的最值——看定义域定义域为全体实数时，顶点纵坐标是最值；定义域不包含顶点时，观察图象确定边界点，进而确定最值八、抛物线对称变换前后的解析式关于关于y轴对称x互为相反数y=ax2+bx+cy=ax2-bx+cx互为相反数y互为相反数关于xy互为相反数关于x轴对称x、x、y互为相反数关于原点对称y=-ax2-bx-cy=-ax2+bx-c九.二次函数常用解题方法总结：⑴求二次函数的图象与轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；⑶根据图象的位置判断二次函数中a、b、c的符号，或由二次函数中a、b、c的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.第四章：《圆》一、知识回顾圆的周长：C=2πr或C=πd、圆的面积：S=πr²圆环面积计算方法：S=πR²-πr²或S=π（R²-r²）(R是大圆半径，r是小圆半径）三、知识要点一、圆的概念集合形式的概念：1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念：1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；固定的端点O为圆心。连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫直径。圆上任意两点之间的部分叫做圆弧，简称弧。2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线；3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。二、点与圆的位置关系1、点在圆内点在圆内；2、点在圆上点在圆上；3、点在圆外点在圆外；三、直线与圆的位置关系1、直线与圆相离无交点；2、直线与圆相切有一个交点；3、直线与圆相交有两个交点；五、垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：①是直径②③④弧弧⑤弧弧中任意2个条件推出其他3个结论。推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。即：在⊙中，∵∥∴弧弧六、圆心角定理顶点到圆心的角，叫圆心角。圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。此定理也称1推3定理，即上述四个结论中，只要知道其中的1个相等，则可以推出其它的3个结论，即：①；②；③；④弧弧七、圆周角定理顶点在圆