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本文格式为Word版,下载可任意编辑——前六章练习题1.设X是取值为自然数的非负离散随机变量,证明:
E[X]??P(X?n)??P(X?n).
n?1n?0??2.设X是非负随机变量,分布函数为F(x)?P(X?x).证明:
?
E[X]??(1?F(x))dx.
03.设随机变量X,Y独立,且方差有限.证明:
(1).Var(XY)?Var(X)Var(Y)?(E[X])2Var(Y)?(E[Y])2Var(X).
(2).Var(XY)?Var(X)Var(Y).1的c4.设X听从参数为?的Poisson分布,其中参数?本身是一个随机变量,听从均值为指数分布.求X的分布.
5.设个体的随机寿命分布函数的F(x),试求使用时间为x的个体的平均寿命.
6.设二项分布X参数为(n,p),当参数n很大,而p很小时,若满足np??,试证明X可以近似看成参数为?的Poisson分布.
7.设随机变量X听从参数为?的指数分布,进一步的,?是一个随机变量,听从参数为
(?,?)的Gamma分布,证明随机变量X听从参数为(?,?)的Pareto分布。
8.设X、Y相互独立,且(1)分别具有参数为(m,p)及(n,p)的二项分布;(2)分别听从参数为
(p1,b),(p2,b)的?分布。求X+Y的分布。
|Y?y)。
9.设二维随机变量(X,Y)的概率密度函数分别如下,试求E(X
(1)
(2)
?1?y?xy,x?0,y?0?ep(x,y)??y??0,其他??2e??x,0?y?xp(x,y)???0,其他??x?10.参数为(?,?)的Weibull分布其分布函数F(x)?1?e,求它的k阶原点矩。
11.事件A的发生形成强度为?的Poisson过程{N(t),t?0}.假使每次事件发生时以概率p被记录下来,以M(t)表示到t时刻被记录下来的事件总数,证明{M(t),t?0}是强度为?p的Poisson过程.12.一对同学顺次等候体检.设每人体检所需要的事件听从均值为2min的指数分布并且与其
他人所需事件相互独立,则1h平均有多少人接受过体检,这1h内最多有40名同学接受过体检的概率是多少(设学生十分多,医生不会空闲)?13.对于Poisson过程{N(t),t?0},计算
E[N(t)|N(s?t)],E[N(t)|N(s?t)],E[N(s?t)|N(t)].
14.一理发师t=0时开门营业,设顾客按强度为?的泊松过程到达.若每个顾客理发需要a分钟,a是正常数.求其次个顾客到达后不需等待就马上理发的概率及到达后等待时间S的平均值.
15.设某电报局接收的电报数N(t)组成Poisson过程,平均每小时接到3次电报,求:(1)一上午(8点到12点)没有接到电报的概率;(2)下午第一个电报的到达时间的分布。
N(t)16.设复合Poisson过程X(t)??Y,其中N(t)是参数为?的Poisson过程,Y是独立
iii?1同分布非负随机变量,其二阶矩有限。计算E[X(t)],Var[X(t)]。
17.对于更新过程{N(t),t?0},设P(Xi?1)?1/3,P(Xi?2)?2/3,计算
P(N(1?)k)P,N(?(2k)P)?N,k2??tf(t)??te,t?0,试证明其更新函数是18.设某更新过程的更新密度是
11M(t)??t?(1?e?2?t)
2419.有三个黑球和三个白球,把这六个球任意等分给甲、乙两个袋中,并把甲袋中的白球数
定义为该过程的状态,则有四种状态:0,1,2,3。现每次从甲、乙袋中各取一球,然后相互交换,即把从甲袋中取出的球放入乙袋,而把从乙袋中取出的球放入甲袋,经过n次交换过程的状态记为Xn。试问过程是否是马氏链?假使是,试计算其一步转移概率矩阵。20.设马氏链的转移概率矩阵分别表示如下:
?0.6?0??0.1P???0?0??0.4?00000.4?0.6000.40??0.10.10.10.50.1??0.20.20.40.20?0.2000.80??00000.6??
00.40??0.60?12??00.4???00.6013?P??00.20.600.2?,P??14??00.60???0.40?14?00.20?00.8??1200??13130?141414??141414?
(1)试对S进行分类,并说明各状态的类型;(2)求平稳分布,其平稳分布是否唯一?为什么?(3)求P(X(n?2)?1|X(n)?0),P{X(n?2)?2|X(n)?0}。
21.写出CK方程,并证明。
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