2011年市重点中学高三数学重要考题及精解

x求实数a

x

0,xRBx|x2a|2,xRABRA(2](3,B[2a2,2a2a2 ABR2a232a2（16分）x的不等式(kxk24)(x4)0kRAAZB（Z为整数集B解：（1）当k0A4)k0k2A4)k

4,)kk2A4)4,k2时的情况不扣分4当k0时，A(k ,4)（10分k4 k3（18分）对定义在[0,1]f(x称为Gx[0,1]f(x0x10x20x1x21f(x1x2f(x1f(x2成立。已知函数g(x)x2h(x)a2x1是定义在[0,1]上的函数。g(x是否为G若函数h(x是Ga在（2）g(2x1)h(xm(mRx10,x20,x1x21时，

g(xx)x2x22xxx2x2g(x)g(x)，满足 1 （2）若a1时，h(0)a10 不满足①，所以不是G函数； 5分若a1时，h(x)在x[0,1]上是增函数，则h(x)0，满足① 6分由h(x1x2h(x1h(x2即a[1(2x11)(2x211因为x10x20x1x2

，得a2x1x21a2x11a2x2所以02x11 02x21 0(2x11)(2x11)01(2x11)(2x11)

a 1(2x11)(2x1 91当x1x20时，(1(2x11)(2x11))min a1 1根据（２）知：a=1，方程为4x2xm02x1

由0x

得x 令2xt[12，则mt2t(t1)2 由图形可知：当m[02时，有一解；当m(0(2

p2p240,即p2或p2时,由求根公式得|xp2

p2 p2

55或p54p240,即-2<p<2时,|x4443 3或p3p3或pf(xlgax5Ap:3A与命题q:1Ax2解：设由题意得：当3A3a50a

(,9)3当q:1Aa50或a=1a5或a1P真q假，则a

,5 a5,59, a（分）已知函数f(x)logax1),a0且a1ayf(2xyf1(x解：(1)f(xloga(ax1)ax10当a1时，不等式ax10axa0即x0；当0a1时，不等式ax10axa0即x0。f(x的定义域是(0,或(0)f(xy（2）ylog(ax1)得axay1xlog(ay1) aa

axylog(a2x y，a2xax20ax1或ax2ylog(ax ylog yf2xyf1x的图像的公共点的坐标是loga2,loga3ygnx的图像上运动nN。（1）ygn(x

1gn x 2

为log2b2log2a2ab 得gnx2nlog2x（x据题设，得：方程4log2x22log2xa有实根x22xa（x2）有实根ax23x4 A7, 11x

x （x＞2 x

和

Fx区间abFb,FaFb a2,b 2b阅读下面题目的解法，再根据要求解决后面的问题(abab)2(a2a2)(b2b21 2 f(x)(axb)2(axb)2(a2a2)x22(abab)x(b2b2 1 2 f(x)0[2(abab)]24(a2a2)(b2b2)1 2 (abab)2(a2a2)(b2b2即1 2 （其中等号成立当且仅当a1xb1a2xb20，即a1b2a2b1abx,y

x

成立的值

x1

(0x

2根据阅读题目的证明，将不等式(abab2(a2a2b2b21 2 ]b1） 2 a2 b2 a

2 y)( )

(y) ) (a

a2b2(a所以不等式 xy成立 ，即aybx 0x 2，所 (2y 25 1 1 2x(1 （

2(12x)32x

x15

(0,2

y2x

1

(0x1

x [解]（4）可将不等式推广到n元的情形，即对于任意实数a1a2an;b1b2bn，(ababab)2(a2a2a2)(b2b2b2不等式1 2 n f(x)(axb)2(axb)2(axb(a2

2

22(ababab)x(b

b

b2 1 2 n f(x)0[2(ababab)]24(a2a2a2)(b2b2b2)1 2 n (ababab)2(a2a2a2)(b2b2b2即1 2 n 其中等号成立当且仅当a1xb1a2xb2anxbn0即aibjajbi(i,j1,2,,n,i 已知函数f(x)2x1.2tf(2tmf(t0对于t[2,3m（1）x0f(x0x0f(x2x

.................2由条件可知2

2，即22x22x10，11解得2x1 2x0，xlog21 t

1

2tm

2t 即m22t124t122t10m22t113t[2,3],122t[65,17故m的取值范围是[17, 1f(x是定义在Rx0f(x

,x1xx1xf(x在(0)当0abf(a)f(babxf2xbfxc07个不同实数解，求bc[解]（1）x0f(x)f(x

f(x)1 1 .4因为0abf(a)

8 1 1 1a1bab211 ab2ab 4a12a0时，方程无解.…15f2xbfxc0有一个在区间(0,1)所以c0,f(x)b(0,1)，即1b0,c bf(xa

|x

(x0f(x是(0,上的增函数，求实数b当b2f(xx在区间(1,a求a,b应满足的条件。bx设x1,x2(0,)且x1x2，由f(x)是(0,)上的增函数，则f(x1)f(x2 分f(xf(xb(x1x2) 3 由x1x2，x1,x2(0,)知x1x20,x1x20，所以b0，即b(0, 分2（2）当b2f(xa2|x

x在x(1,)上恒成立，即ax 6xx2x

即x2x2

8x

10

|x

的定义域是(0)0,f(x是区间[mn数，则mn0且b当b0f(xab

b|x

11是(0,

f(m)，f(n)所以方程a x在(0,)上有两不等实根xx2axb0在(0xxa0，即a0,b0且a24b 13 xxb 当b0f(xa

a

b在(0,

f(m)|x f(n)ab b

mn

，所以a0,b 14a mn当b0f(xa

a

是(0)

f(m)|x f(n)ab mnb，所以a0,b 15a x当a1时，求该不等式的解集 （2）当a0时，求该不等式的解集ax

x1（1，2； 4x x

02， 当a=2时，解集为；当a>2时，解集为（ 4aax214（14分）设f(x) ax2f(x 的定义域和值域都是故a0满足条 4 ax2aax2ab但f(x)的值域A0,，故DA，即a0不合条件 4bba0，则对正数bD0,]ba

(f

max af(x)的值域为2

]，则

22

a

--5 1（ 2a2ba

……………….2a2b b 所以A>B x2a4M4x

x2

0M,25 3a50

95a25a

a9ora a5 31,3 a2525x50，解之，得M,51,5x2 则3M且5M，∴a25满足条 综上，得a59,25 31,3 xf(xy=xy=ax-a+2f(xa解：⑴解一：由f(x)= x-

y=1x个单位后再向上平移1个单位得到。则函数图像关于直线y=x对 f(x)的反函数f1(x

xx-

f(x)f(x)的图像关于直线y=xxx-

=ax-a+2a0时，由判别式等于0可得a=- 4a=0时，由图像易得同样满足题 所以a=0或a=- 4⑶解一由函数图像可得若存在满足题意的圆则圆与函数f(x)的图像必在第一象限相切，即圆过（2，2）点，可得圆半径为22，所以存在满足题意的圆，其半径为22 r= 线y=x的交点 （0，0（2，2 。r= （

f(x)ax2bxb(a0有不动点（1，1）和（-3，-3）a与b若对于任意实数bf(xax2bxb(a0)a的代入x1知a1，又由x3及a1知b3 ∴a1，b3 （2）对任意实数bf(xax2bxb(a0)数b，方程f(x)x0总有两个相异的实数根 ax2b1)xb0中b1)24ab0即b2(4a2)b10恒成立 故1(4a2)240，∴0a1 0a1时，对任意的实数b，方程f(x)点 g(x)是R上的奇函数，则g(0)0，∴（0，0）是函数g(x)的不动 g(x)有异于（0，0）的不动点(x0x0g(x0x0g(x0g(x0x0(x0x0g(x∴g(x)的有限个不动点除原点外，都是成对出现的 所以有2k个（kN加上原点，共有n2k1个。即n必为奇 的图象为C2C2g(xyg(x)yb与C2只有一个交点，求b的值并求出交点的坐标20（1）p(uvyx1上任意一点，vu1 ux u4PA（2，1）对称的点为Q(xy),vy

v22y4x

4

yx2

xg(x)x2y

x

(x(,4)yx2

x

x2(b6)x4b9b6)244b9)b24b0b0b（1）当b0时得交点（3，0；（2）当b4时得交点（数形结合或利用基本不等式求解相应给分①对于任意正实数a、b，都有f(ab)f(a)f(b) ②f(2)0x1f(x1f(1)及f(2f(x)在(0,上是减函数（1）a=b=1f(1)2f(1)1.故f(1)又f(1)f(21)f(2)f(1) 且f(2)0 得：f()f(1)f(2)1112（2）设0x1x2

f(x)f(x)f(x2x)f(x) x2f(x)

f [f(x 1f(x2)1 0x1

,x2x1f(x1ff(x2f(x10f(x)在(0,f(x若不等式|f(x|2的解集为{x|2

x

12（31x ,f(xx1,1f(x1xf(x)

121x②当0a1（2）①当a1f(x1命题f()1,得loga32,a 2②当0a1时,f(x f(2)1,得loga32,a3（理）ylog1xaa1

1xay1x(ay1)1x ay ax xay1, 2x

ax1(xR）；x

a (x)2x1m，2(1m)1m①当m1时，不等式解集为xR；[来源 ②当1m1时，得2x1m，不等式的解集为{x|xlog1m

1m}21已知函数f(x) 26 6x25x

x0c–7x23x

x ∴ 由根的分布得b1且 27.设函数f(x)的定义域D关于原点对称，0∈D，且存在常数a>0，使f(a)=1f(xx)f(x1)f(x2 1f(x1)f(x2)a 4使得f(xx)f(x1)f(x2 1f(x1)f(x2) ……4f(0x)f(0)f

1f(0)f(x) ……4f(xa)f(x)f(a)f(x) 1f(x)f 1f(x)，f(x2a)f[(xa)a]f(xa)1[f(x)11][1f(x)1]1f(x 1f 1ff(x4a)f[(x2a)-2a] f

f(x) ……728（ axxx2a0M（2）

4x

0，解之，得M,2

,2x2 3a50 3a25

25x

0

,51,5，则3M且5Ma25 x2足条件，综上，得a

59,25

31,3 29（f(x是定义在2,2x[2,0)f(xtx1x3（t2常数f(x当t[2,6]f(x在2,0xf当t9yf(xy14（1）x0,2时，x2,0f(xt(x1(x)3tx1x3 f(x是定义在2,2上的奇函数，即fxfxfxtx1x32f(x)tx1x3，又可知2x

f00，∴函数f(x)的解析式 f(x)tx1x32（2）fx1x2，∵t[2,6]，x2,0，∴t1x20x 1

1 xt 1

3x2

21∵fx22 x2x

，∴x2t

2 即x22t,x6t( 26 f(x在0,2

6t。 3 t 2x1x2 fxfxxx1x2xxx20fx在2,2

1 2 fxf2f2fx42t,2t4t942t14,2t4141442t,2t4t9时，函数yy14

f(x的图象上至少有一个点落在直线 （1） 0 0,2 x x 0b aB,a2,，

2

设f 1ax

1 x在m,n上的值域

x1或x1（2）设1x1x2，∵x11x212x1x2 x1 x2 20a1时，f1xf1xf1x1.上是减函数：a1时，2 f1xf1xf1x在1. 当0a1f1x在1.

x x f1ngn，由logax11logaxx1ax

a1x10可知方程的两个根均大于1，即f1

0a322a1f1x m1amn 上是增函数，∴f1ngmn1amnama1（舍去 上，得0a3 32（x的不等式loga[4x4)a2loga(x2)a01

loga[4(x4)a]2loga(x ∴

4(x4)ax2 (0a1)x4a∴ x

4(x4)a(x∴不等式的解集为{x2x4}33（f(x的定义域是[0f(x的值域是[2,4)f(x在[0,上是增函数．试分别探究下1（Ⅰ）判断函数f(x) 2(x0)，及f(x)46 1

() （Ⅱ）对于（I）Af(xf(xf(x22f(x1)，是否对于任意的x0总成立？若不成立，为什么？若成立，请证明你的结论．解（1）函数f1(x) 2不属于集合A.因为f1(x)的值域是[2,),所以函f1(x) ,(f(x)461x(x0)A(

的定义域是[0；②函f2x的值域是[2,4)f2x在[0,（2）f(x)f(x2)2f(x1)6(1)x(1)0 不等式f(xf(x22f(x1)x0总成立34（18分）f(x)ax2x（aR，a0a1f(sinx（xＲ）5f(x

项的和Tn．解：⑴由0a1知

1故当sinx1f(x54f1a15a1fx1x2x1x221f(x的最小值为 fx1ax2x1,1ax2x1x0,1x0fx0fx1 1 x a

x2xx2

1 ax2

x2

1

1则 a

a0a 121 a 2a x ；又 x ；又 a1fxax2xx12故gnfn1fn1n12n1n2n12n gn 2n1则数列

2n的通项公式为n

，故Tn

222

23

2n1 2n 2n 又2Tn222324 1 2n 2n由①—②得Tn 2 n1 n1

72n

aRx(a21)x2a1)x20解：当甲真时，设y|x|和yax1(a0)0aa21a1时满足或

则7a1

0a1 ∴当甲乙有但仅有一个为真命题时，即a1或a

或7a 9f(x在(,f(2xf(2x,7]上只有f(1)f(3)0.yf(x

f(7xf(7xf(x0在闭区间[2005,2005]上的根的个数,并证明你的结论.解⑴由f(2x)f(2x)得f(1)f(5)f(5) f(1)f(1且f(1)ff(2x)f(2 f(x)f(4 ⑵由f(7xf(7x)得f(xf(14 f(4x)f(14x)f(x)f(x∴f(11)f(13)f(7)f(9)f(x0在[010]和[10,0]2在[2000,2005]上有2个根. f (x设函数f(x)=ax+bx+1（a,b为实数）,F(x)=f (x (x (x∴a=1f(x)=x+2x+1∴F(x

(x2k22k2k-2或k6， m>0,n<0m>-n>0F(m)>F(-n)∴F(m)>-∴F(m)+F(n)>0t,m1m3m2 t1m )2+4+ 在(–∞,1)上递增，所以≥1，a≥2，loga(–mx2+3x+2–t)=log 2x23x 0x 2x23x1

0<x21<x<21x1或x x axx1

以 ax2

x

取x=0，则f(0)+f(m–0)=4，即 =4，m=–4(必要性)，又m=–4时，f(x)+f(–4–x)=m2xx

2(44x

)|AP|2=(x+3)2+(x2)2，设tx)=t+)=t+

42

16=(t2+16)+2(t–4)+2=(t–4)2+2(t–4 =(t–

+1=0时即

1

5

时，|AP|min3 已知f(x3x2a(6a)xb解关于af(1)0 =a26ab3,∵ ∴a26ab30bb 时 a3 bbx|3 a3∵不等式2a(6∴

a33,解之得33

b

f(x)f{f[f f(x)2(1x)，(0x设n为正整数，规定： n个

x1，(1x2)f(xx8f2006(9) 1x≤2x1x恒成立．∴1x≤2．由①，②得，f(x)x的解集为{x|2x≤2}．3（2）∵f(0)2，f(1)0，f(2)1x0f3(0)fff(0f(f(2f(1)0x1f3(1)fff(1ff(0f(21x2f3(2)fff(2ff(1f(0)2xAf3(xx（3）82(18)2，8

214，8

8f(14)14159f1(9 f2(9 f(f(9

f()

f3(9 f(f2(9 f(8) 8 52(1) 4 f(f3(9 f(9

(8)9

fr(9

（k，rN

(8)9

f2(

1499（4）由（1）知，f(2)2 2