基于混沌分形的上海证券综合指数动力学模型

基于混沌分形的上海证券综合指数动力学模型

20世纪，法国哲学家霍拉尔引入了基于正态分布的描述价格波动的模型，并成为现代金融证券理论的基础。在这一理论中，价格变动应该是小幅度的上下变化，大的价格变化的概率应该是亿亿分但是，实际的股权价格上涨的概率是100%。这表明，现代金融理论无法定量描述重要的金融动荡。b.b.美国科学研究院（b.b.maldobute）及其发言人发表了一种新的多段模型。多段理论认为，价格的变化对应于“多段运动”，这是基于此基础上建立的一种普遍适用的模型，它对金融交易产生了强烈的影响。准确描述实际市场数据的价格变化规律之间的关系，并提供市场趋势的概率估算值。它显示了市场变化的性质，并为无法预测的市场注入了一些有序性。在对多分形理论的研究上,作者利用混沌分形动力学理论对证券市场价格走势的自相似性、自仿射和拓扑不变性做了初步探讨,对证券市场价格走势做出描述,显示了价格走势图中的自相似性和精细结构·1数据分析与效率谱1.1时间序列对于一个随时间演化的系统,按时间顺序记录下状态变量x(t),则x(t1),x(t2),…,x(tn)构成一个时间序列·在实际测量或计算机实验中,往往是按等间隔τ得到离散时间图1是上海证券市场上综合指数的走势图和指数波动曲线,采样间隔以天为单位·从中可以看出股票价格的急升和急降在价格波动曲线上呈现密集分布的形态,价格的涨落数据有着极强的无序性,其时间序列呈现出明显的非周期性,是不均衡和不稳定的·1.2时间序列furger系数的确定功率谱是研究随机数据序列所遵从的统计规律的方法之一,鉴定一个系统的混沌行为常用功率谱分析·一个时间序列可以看作各种周期运动的叠加,通过谱分析可以确定各周期的振动能量的分配·对于序列(1)加上周期边界条件NN+j=Nj,对于任意的j,计算关联函数再对Cj作离散Fourier变换,计算其Fourier系数pk代表第k个频率分量对xi的贡献,|pk|2称为系统的能量谱·混沌运动的功率谱表现为宽峰背景上的尖峰,可区别于周期运动及高斯白噪声·基于上述原理,作者对上海证券综合指数的时间序列作了功率谱分析(见图2a)·在图中,能量的变化在整个频域上是连续的,表现出以负幂指数形式下降的趋势;背景上有着一些无规律的尖峰,表现出周期3现象·2相室重建与布映物2.1维相空间的综合指数重构的基本思想是:系统中任一分量的演化都由与之互相作用着的其他分量所决定·因此,这些相关分量的信息就隐含在任一分量的发展过程中·重构一个“等价”的状态空间,然后再运用其他方法来检验是否存在一个混沌吸引子·虽然这种方法只是一种充分条件,但业已证明,它可以将吸引子的许多性质保存下来·对于时间序列(1)(其中N要很大),利用时间延迟法,得到另外d-1维数据,坐标轴分别为x(t),x(t+m),x(t+2m),…,x(t+(m-1)d),m为选定的延迟数·图2b是重构的三维相空间中的上海证券市场综合指数·2.2基于点的动力学迭代模型相空间上吸引子的横断面即Poincaré截面·Poincaré映射以这种截面在某个方向上的移动获得·它是一种降低吸引子维数的方法,把连续的线变成点的集合,可有效地显示吸引子的结构·在离散时间序列(1)中,则d维相空间中的状态转移形式如下:在相空间中,X(t)为当前的状态,而X(t+m)为时隔m后的状态,X为d维矢量,即X(t)=(x(t),x(t-m),…,x(t-(d-1)m))·则有:图3a是上海证券综合指数的Poincaré截面,图中点的分布很有规律,建立动力学迭代模型(见图3b):其中,r是一个随机变量,r～N(0.982,11.25)·3丽娜指数3.1gepph模型动力学模型(6)是单峰超越函数,作者采用计算机构造法对它的动力学特性进行分析·在状态空间和参数空间构成的乘积空间中,做出模型的Feigenbaum分叉图(见图4a)·随着参数r的变化,系统的稳定状态发生变化,当r>1.626747时,系统开始出现分叉现象,增加到某一阈值后,出现混沌现象·图中给出的三个参数分别对应三个超稳定周期·在混沌区中,又包含着无数个周期轨道和暗线·该模型的演化是一个混沌过程,包含着周期轨道、准周期轨道、随机轨道、混沌轨道和测度为零的激变点·它具有内在随机性,受随机因素扰动的影响,其中又含有一定的确定成分·3.2lyapunov指数ls当系统进入混沌运动状态,计算奇怪吸引子中轨迹间拉伸和压缩的平均速率可以反映系统的稳定程度,也就是混沌的度量·Lyapunov指数定义在一维混沌动力学过程中,它可能大于、等于或小于零·正的Lyapunov指数表明运动轨道在每个局部都不稳定,相邻轨道指数分离,λ>0可以作为混沌行为的判据·负的Lyapunov指数表明轨道在局部也是稳定的,对应周期运动·图4b为模型(6)的Lyapunov指数与控制参数r的关系·4利用分形插值理论自相似性、自仿射性和拓扑不变性,以及初始条件敏感、不可预测性、不可分割性、稠性是分形几何学与混沌理论的基本特征·利用分形理论,可以构造出一个模型,它能够复现剧烈变化的股票价格·在一定的尺度下,利用分形插值理论可以对股票的价格变动做出一个描述·单分形插值(分形走动)不能较好地重现剧烈波动的细节·Mandelbrot教授提出的多分形走动,利用拉长或缩短时间轴,使生成元被拉伸或压缩,进而利用变动的生成元(见图5)来产生出“多分形”曲线·通过分形插值、分维的计算和多分形走动较之单分形能较好地描述剧烈波动的细节,作者将在下一篇论文中详细讨论·5为市场未来走向提供了新的研究思路(1)通过对上海证券市场上综合指数的时间序列的分析,证明了股票的价格波动是一种既具有周期过程,又具有拓扑不变性的混沌过程的混合过程·(2)得到的动力学模型在一定程度上描述了上海证券市场上综合指数的变化规律·当控制参数r超过