【解析】山西省忻州市第一中学2019-2020学年高二下学期期中考试数学（理）试题

20192020学年度第二学期期中考试高二数学（理）试题第Ⅰ卷（选择题）一、单选题（每小题给出的四个选项中，只有一个选项正确.每小题5分，共60分）1.若复数共轭复数满足，则复数等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】设，代入已知等式利用复数相等的定义计算．【详解】设，则为，即，所以，解得，．故选：B．【点睛】本题考查复数的运算，考查复数相等的定义，掌握复数相等定义是解题关键．2.已知:命题“”;命题“”,则下列命题正确的是A.命题“”是真命题 B.命题“”是真命题C.命题“”是真命题 D.命题“”是真命题【答案】B【解析】【详解】【分析】因为,所以命题p是假命题,则命题是真命题;由指数函数的性质可知,命题q是真命题,命题是假命题,故命题“”是真命题.故选B3.如右边程序框图所示，已知集合A={x|框图中输出的x值}，集合B={y|框图中输出的y值}，全集U=Z（Z为整数集），当输入x的值为一l时．（A. B. C. D.【答案】D【解析】考点：循环结构；交、并、补集的混合运算．专题：图表型．分析：结合程序框图的要求，写出所有的循环结果，即求出集合A，B；利用集合的交集，补集的定义求出值．解答：解；经过第一次循环输出y=3，x=0经过第二次循环输出y=1，x=1经过第三次循环输出y=1，x=2经过第四次循环输出y=3，x=3经过第五次循环输出y=5，x=4经过第六次循环输出y=7，x=5经过第七次循环输出y=9，x=6结束循环所以A={0，1，2，3，4，5，6}；B={3，1，1，3，5，7，9}（CUA）∩B={3，1，7，9}故选D点评：本题考查解决程序框图中的循环结构是常采用写出其前几次循环结果，找规律、考查集合的交集，补集，并集的定义．4.已知向量满足,向量是与同向的单位向量,则向量在向量上的投影向量为()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据投影的公式以及单位向量的概念求解即可.【详解】.故在上的投影为.又因为是与同向的单位向量.故在上的投影向量为.故选：A【点睛】本题主要考查了投影的公式以及单位向量的理解等.属于基础题型.5.等于（）A.1 B.2 C. D.4【答案】D【解析】【分析】对定积分进行化简，然后根据的正负进行分段，根据定积分的公式，得到答案.【详解】.故选：D.【点睛】本题考查利用微积分基本定理求定积分的值，属于简单题.6.现有6位同学站成一排照相，甲乙两同学必须相邻的排法共有多少种？（）A.720 B.360 C.240 D.120【答案】C【解析】【分析】6名同学排成一排，其中甲、乙两人必须排在一起，这是相邻问题，一般用“捆绑法”.将甲乙两名同学“捆绑”在一起，看成一个元素，再与剩下的4人一起全排列，根据分步计数原理即可得出结果.【详解】将甲乙“捆绑”在一起看成一个元素，与其余4人一起排列，而甲和乙之间还有一个排列，共有.故选：C.【点睛】本题考查了排列组合、两个基本原理的应用，相邻问题“捆绑法”求解，属于基础题.7.若，则函数的图象在处的切线方程为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由微积分基本定理求得值，再根据导函数求切线方程.【详解】，，，，则切线方程为，即．【点睛】本题考查微积分基本定理和由导函数求切线方程，属于基础题.8.从点向圆引切线，则切线长的最小值()A. B.5 C. D.【答案】A【解析】【分析】设切线长为,则再利用二次函数的图像和性质求函数的最小值得解.【详解】设切线长为,则,.故选:A.【点睛】本题主要考查圆的切线问题,考查直线和圆的位置关系,意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.9.已知某几何体的三视图如图所示，三视图是边长为的等腰三角形和边长为的正方形，则该几何体的体积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【详解】【分析】根据几何体的三视图，得；该几何体是棱长为的正方体中一三棱锥P﹣ABC，如图所示；∴该三棱锥的体积为××a2×a=．故选A．点睛：思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.10.已知实数1，，4构成一个等比数列，则圆锥曲线的离心率为（）A. B. C.或 D.或【答案】C【解析】，则，当，则，离心率；当，则，离心率；所以离心率为或，故选C．11.设函数是定义在上的可导函数，其导函数为，且有则不等式的解集为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】令，确定在上是减函数，不等式等价为，根据单调性解得答案.【详解】由，得，即，令，则当时，得，即在上是减函数，，，即不等式等价为，在是减函数，由得，即，又，解得，故.故选:：.【点睛】本题考查了利用函数单调性解不等式，构造函数，确定其单调性是解题的关键.12.已知函数，，，若，，使得成立，则的最小值为（）A.5 B.4 C. D.3【答案】A【解析】【详解】【分析】,则当时，,当时，,,,作函数的图像如图所示，

当时，方程两根分别为和，则的最小值为.故选A点晴:本题考查函数导数与单调性,任意性与存在性问题，可利用数形结合的办法解决，如果函数较为复杂，可结合导数知识确定极值点和单调区间从而确定其大致图象.对于方程的有解，恒成立问题以及可转化为有解、恒成立问题的问题，注意利用数形结合的数学思想方法.第II卷（非选择题）二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13.若，满足约束条件，则的最小值为_____．【答案】【解析】【分析】先画出约束条件的可行域，再求出可行域中各角点的坐标，将各点坐标代入目标函数的解析式，分析后易得目标函数的最小值．【详解】解：由约束条件得如图所示的三角形区域，令，，显然当平行直线过点，时，取得最小值为：；故答案为：．【点睛】本题考查线性规划求最小值问题，我们常用几何法求最值.14.已知向量与的夹角为，，，则__________.【答案】6.【解析】【分析】求出即得解.【详解】由题意，向量的夹角为，所以，所以.故答案为：6【点睛】本题主要考查向量模的计算，考查向量的数量积运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.15.若函数在上无极值点，则实数的取值范围是_________.【答案】【解析】【分析】根据题意，函数的导数在R上恒大于等于零即可，，分离参数即可.【详解】因为函数在R上无极值点，故函数单调递增，所以恒成立，即恒成立，又，所以.【点睛】本题主要考查了函数单调性，极值，函数的导数，属于中档题.16.已知定义在上的函数存在零点，且对任意，都满足，则函数有_____个零点．【答案】3.【解析】因为定义在上的函数存在零点，且对任意，都满足，所以可设为的零点，则，，，令得分别作出和函数图象，如图所示，由图象可知，和函数图象有三个交点，有三个零点，故答案为.【方法点睛】本题主要考查函数的图象与性质、函数与方程思想以及数形结合思想的应用，属于难题.数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，.函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性．归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有：1、确定方程根的个数；2、求参数的取值范围；3、求不等式的解集；4、研究函数性质．三、解答题（本大题6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并把解答写在答卷纸的相应位置上只写最终结果的不得分）17.在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且asinB＝－bsin.(1)求A；(2)若△ABC的面积S＝c2，求sinC的值．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理化简已知等式即得A=.(2)先根据△ABC的面积S＝c2得到b＝c，再利用余弦定理得到a＝c，再利用正弦定理求出sinC的值．【详解】(1)因为asinB＝－bsin，所以由正弦定理得sinA＝－sin，即sinA＝－sinA－cosA，化简得tanA＝－，因为A∈(0，π)，所以A＝.(2)因为A＝，所以sinA＝，由S＝c2＝bcsinA＝bc，得b＝c，所以a2＝b2＋c2－2bccosA＝7c2，则a＝c，由正弦定理得sinC＝.【点睛】本题主要考查三角恒等变换，考查正弦定理余弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.18.已知等差数列中，，，，顺次成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）记，的前项和，求.【答案】(1)；（2）【解析】【分析】（1）利用三项成等比数列可得，利用和来表示该等式，可求得；利用等差数列通项公式求得结果；（2）由（1）可得，则可利用裂项相消的方法来进行求解.【详解】（1）设等差数列的公差为，，顺次成等比数列，又，化简得：，解得：（2）由（1）得：【点睛】本题考查等差数列通项公式的求解、裂项相消法求数列的前项和的问题，关键是熟练掌握关于通项中涉及到的裂项方法.19.某蔬果经销商销售某种蔬果，售价为每公斤25元，成本为每公斤15元.销售宗旨是当天进货当天销售.如果当天卖不出去，未售出的全部降价以每公斤10元处理完.根据以往的销售情况，得到如图所示的频率分布直方图：（1）根据频率分布直方图计算该种蔬果日需求量的平均数（同一组中的数据用该组区间中点值代表）；（2）该经销商某天购进了250公斤这种蔬果，假设当天的需求量为公斤，利润为关于的函数关系式，并结合频率分布直方图估计利润不小于1750元的概率.【解析】【分析】（1）用频率分布直方图的每一个矩形的面积乘以矩形的中点坐标求和即为平均值；（2）讨论日需求量与250公斤的关系，写出分段函数再利用频率分布直方图求概率即可.【详解】（1）故该种蔬果日需求量的平均数为265公斤.（2）当日需求量不低于250公斤时，利润元,当日需求量低于250公斤时，利润元所以由得，所以＝故估计利润不小于1750元概率为0.7.【点睛】本题主要考查了频率分布直方图的应用，做此类题的关键是理解题意，属于中档题.20.如图，在多面体中，平面，平面平面，是边长为2的等边三角形，，．（1）证明：平面平面；（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值．【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】(1)通过面面垂直的判定转化为线面垂直，进而转化为线线垂直从而证明;(2)建立空间直角坐标系，利用法向量计算即可.【详解】证明：（1）取中点，连结，∵，∴，，∵平面，平面平面，平面平面，∴平面，∵平面，∴，又，∴四边形是平行四边形，∴，∵是等边三角形，∴，∵平面，平面平面，平面平面，∴平面，∴平面，∵平面，∴平面平面．解：（2）由（1）得平面，∴，又，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，则，平面的一个法向量为，设平面一个法向量为，，则，取，得，设平面与平面所成锐二面角的平面角为，则．∴平面与平面所成锐二面角的余弦值为．【点睛】本题主要考查学生的空间想象能力及计算能力,难度不大.建立合适的空间直角坐标系是解决本题的关键.21.在直角坐标系中，点，是曲线上的任意一点，动点满足（1）求点的轨迹方程；（2）经过点的动直线与点的轨迹方程交于两点，在轴上是否存在定点（异于点），使得？若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）；（2）存在点符合题意.【解析】【分析】（1）设，，利用相关点代入法得到点的轨迹方程；（2）设存在点，使得，则，因为直线l的倾斜角不可能为，故设直线l的方程为，利用斜率和为0，求得，从而得到定点坐标.【详解】（1）设，，则，，.又，则即因为点N为曲线上的任意一点，所以，所以，整理得，故点C的轨迹方程为.（2）设存在点，使得，所以.由题易知，直线l的倾斜角不可能为，故设直线l的方程为，将代入，得.设，，则，.因为，所以，即，所以.故存在点，使得.【点睛】本题考查相关点代入法求轨迹方程及抛物线中的定点问题，考查函数与方程思想、数形结合思想的应用，求解时注意直线方程的设法，能使运算过程更简洁.22.已知函数；.（1）判断在上的单调性，并说明理由；（2）求的极值；（3）当时，，求实数的取值范围.【答案】（1）见解析（2）极小值.（3）【解析】【分析】（1）求导数，根据导函数符号确定单调性，（2）利用导数研究导函数单调性，根据单调性确定导函数符号