中国城市空间分布的分形特征区域城市人口分布的分形测度

中国城市空间分布的分形特征区域城市人口分布的分形测度

1城乡聚落的空间分布是多分形国内外科学家对人口分布是否具有分裂特征有不同的看法。高安秀树认为城市人口分布遵循指数衰减法则,否认人口分布的自相似性质(self-similarity)。王放(1991)、刘式达(1993)等则提出人口分布的多分形(multifractals)设想,但未能取得数据予以证实。高安秀树否定人口分布分形性质的理论依据是城市社会学中的人口密度法则——?Clark公式,按照这种法则,距离城市中心r处的人口密度ρ?(r)与e-r/ro成比例,这里存在一个特征距离ro,在r≥ro的区域内,ρ?(r)急剧衰减。由此他推断,大城市周围的卫星城向大城市集中的趋势非常明显,故亦为指数分布而不具备自相似性态,从而区域人口分布也不是分形。但陈涛(陈彦光,1995)研究发现,城市(镇)体系分布是分形的,这就否定了高安秀树的推论前提。单纬东、陈彦光(1997)进一步考察发现,乡村聚落的空间分布与城市(镇)体系同构,这意味着城乡聚落体系在整体上具有自相似特征。由于人口分布于聚落之中,聚落体系的分形特征决定了人口分布的分形性质,按照高安秀树的推理模式可以判定,区域人口空间分布也是分形。现在,如果能证明区域城市(镇)的空间分布具有多分形性质,也就证明了城乡聚落体系是多分形;证明了城乡聚落体系的多分形构造,也就揭示了人口分布的多分形特征。为此,本文试以河南省北部为研究区,考察其城市(镇)群的空间分布特征,藉此研究区域人口分布的分形测度(fractalmeasure)。2理论基础2.1多标度分形的局部特征设定一个区域R,考察其地理现象的空间分布,如果这种分布不是完全随机的,即受到某种隐含法则的支配,则可能形成分形体(fractalbody)。如果这类分形体是均匀的,那么给定一个尺度r,相应的测度f?(r)具有性质f?(λr)=λαf?(r)。式中λ为标度因子,α为标度指数,它与分形维数(fractaldimension,简称“分维”)的关系一般是α=d-D,这里d为分形体所在空间的欧氏维数,显然f?(r)与r具有关系f?(r?)∝rα‚(1)当分形体不规则时,则可证明下式成立,即Ν∑i=1riD=1‚(2)式中:N为分形体分解为下级单元的数目,ri为相应的尺度。许多人文地理现象如城市(镇)、人口等地理背景复杂,其空间分布的几何支体(support)如地形、水系等均具有分形结构,因此可能形成奇异的多标度分形,分形点的分布概率Pi处处于不同。假定q阶矩的标度指数是一个参变量τ?(q?),则类似于式(1),有n∑iΡiq∼rτ?(q?)‚(3)式中:q为参数,类比于式(2)的归一化性质可得Ν∑iΡiqri-τ?(q?)=1‚(4)从而-τ?(q?)=lnΝ∑iΡiqln?(1/r)‚(5)可以引用广义维Dq刻画多分形的空间性状,于是有Dq=Ιqln?(1/r)=11-q⋅lnn∑iΡiqln?(1/r)‚(6)式中:Ιq=11-qlnΝ∑iΡiq为Renyi信息熵函数。在上式中,q∈(-∞,∞)。可以证明,当q=0时,Dq=Do为容量维,即Hausdorff维数;当q=1时,Dq=D1为信息维;当q=2时,Dq=D2为关联维。比较式(5)与式(6)易得τ?(q?)=(q-1)Dq‚(7)广义维Dq和q阶矩的标度指数τ?(q?)是刻画多分形的一套参量,但它们都是从整体上来表征多分形的,故需引用另一套参量——非均匀标度指数α?(q?)及其分维分布函数f?(α?)来描述多分形的局部特征。考察多标度地理分形体不同层次的分布概率Pi,赋予一个标度指数α?(q?),并用相应的另一个量f?(α?)来记载这一层次在总的分布中所占的份量。设在[α′,α′+dα′]区间的取值次数为dα′ρ?(α′)r-f?(α′),这里f?(α′)为一连续函数,ρ?(α′)为区域的分形点“密度”函数,考虑到Pi∝riα有Piq∝riαq,从而∑iΡiq=∫dα′ρ?(α′)rq?α′-f?(α′?)‚(8)比较上式与式(3)得τ?(q?)=α?(q?)q?-?f?[α?(q?)]‚(9)根据极值条件,由式(8)又得df?(α)/dα=q‚(10)故有dτ?(q?)/dq=α?(q?)。(11)回想式(7)得到Dq=1q-1[q?α?(q?)-f?[α?(q?)]]‚(12)以及α?(q?)=ddq[(q-1)Dq]‚(13)这便是联系两套参数即多分维Dq与f?(α)谱(又称奇异谱)的Legendre变换。式(12)、(13)是在多重分形研究中非常有用的公式。2.2eq5人口分形模型取一个矩形区域R,将其分成相等的两部分,左边一半人口比例为P,右边一半相应地为(1-P);再将左右两部分进行对分(尺度变为原来的1/4),假定每部分的人口比例为PP,P(1-P),(1-P)P,(1-P)2,依此类推,反复细分,可得带有多标度奇异性的人口分形模型。由式(5)得人口分布q阶矩的标度指数τ?(q?)=ln[Ρ?q+(1-Ρ)q]ln(1/2)‚(14)求导得人口分布的奇异性指数α?(q?)=1ln(1/2)×Ρ?qlnΡ+(1-Ρ)qln(1-Ρ)Ρ?q+(1-Ρ)q‚(15)将式(14)、(15)代入式(9)得人口分布的奇异性维数f?(q?)=1ln2[ln(Ρ?q+(1-Ρ)q)-Ρ?qlnΡ?q+(1-Ρ)qln(1-Ρ)qΡ?q+(1-Ρ)q]‚(16)再将式(14)代入式(7)得人口分布的多分维Dq=ln[Ρ?q+(1-Ρ)q](1-q)ln2‚(17)可以看出,当q=0时,D?o=-τ(0)=1;当q=1时,D1=α(1),而且αmax=D(-∞),αmin=D(+∞),fmax=D0(见图1)。这里αmin指示人口分布测度最集中的区域,αmax表征人口分布测度最分散的区域。3示范分析3.1研究区的界定以河南省的几何中心许昌市所在的纬线为界,取其北部地区(简称豫北地区)为研究区,考察郑州(郑)、开封(汴)、洛阳(洛)轴线一带的城市(镇)分布。为研究方便,将研究范围限定在一个矩形区域内,其大致范围是33.91°N～36.11°N,111.07°E～115.69°E。区域内含城市(镇)总数目N=92(1992年),包括山西、山东及河北等省的若干城镇(我们的目的是要证实城市(镇)分布的多分形猜想,区域的形状及界线并不重要)。确定了研究区的范围,便可利用地图进行多分维测算。将矩形区各边分成k等份,则研究区被分成k2个网格即子区域,每个网格的尺寸为r=1/k。统计落入每个网格中的城市(镇)数目Ni?j,令Ρi?j=Νi?j?/Ν?‚(i,j=1‚2‚⋯k)‚(18)则Pi?j可近似地被看成是城镇落入某个网格中的概率,引用μ—权重法,即采用公式μi=Ρiq/∑iΡiq‚(19)则有α?(q?)=limr→01lnr∑iμilnpi‚(20)及f?[α?(q?)]=limr→01lnr∑iμilnμi‚(21)借助双对数坐标图,寻找无标度区(non-scalingrange)(图2),在直线段部分运用最小二乘法,便可算出奇异性指数α?(q?)及相应的分维f?(α?)随参数而改变的各种数值,然后由Legendre变换式(9)及式(12)便可求出q阶矩的标度指数τ?(q?)及多分维Dq(附表)。3.2多分形结构的存计算结果显示:(1)存在无标度区,这表明豫北地区城市(镇)的空间分布具有分形性质。(2)Dq≠f?[α?(q?)]=Do,即多分维不等于常数,而是一个随参数q而改变的函数,亦即一个分维的集合体,这意味着豫北地区城市(镇)的空间分布不是单标度分形,而是多重分形体。考虑到本文研究区选取的任意性,可以肯定,在一定时空条件下城市(镇)体系的确会形成多分维结构。根据前面的分析可知,区域人口分布也应该是多分形。需要说明两个问题:第一,豫北地区城市(镇)分布的ln-ln坐标图无标度区比较狭窄,这表明该区域城市(镇)体系的分形结构发育不强;第二,豫北地区城市(镇)分布的多分维谱发生了标度间断,即当q<0时,f?(α)等主要参量不再收敛,这里可能有一个临界值qc,在qc=-1附近标度断裂(图3),只有在q∈[0,∞)范围内分维谱线方才正常,这暗示:在人口分布测度集中的区域,多分形性态良好,而在人口分布测度稀疏的区域,不具有自相似特征。因此,豫北地区城市(镇)体系的多分形只存在于q>-1的阶数。文章在测算过程中没有涉及到各城市(镇)的规模,只是将人口分成一个个的聚落单元进行考虑。如果能计入城市(镇)规模,则计算