其次章 导数与微分课后答案

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内容概要名称主要内容导数的定义f?(x0)?limf(x0??x)?f(x0)?x?0?xf(x0?h)?f(x0)f?(x0)?limh?0h函数的求导法则f?(x0)?limx?x0f(x)?f(x0)x?x0(1)导数的四则运算法则i.[u(x)?v(x)]??u?(x)?v?(x)??ii.[u(x)?v(x)]??u?(x)v(x)?u(x)v?(x)iii.[u(x)u?(x)v(x)?u(x)v?(x)]??(v(x)?0)2v(x)v(x)(2)复合函数的求导法则(链式法则)dydydu??dxdudx(1)求隐函数的导数时,只需将确定隐函数的方程两边同时对自变量x求导,凡遇到含有因变量y隐函数的导数的项时,把y当作中间变量对待,再依照复合函数求导法则求之,然后从所得等式中解出dydx(2)对数求导法:对幂指函数y?u(x)v(x),可以先在函数两边取对数,然后在等式两边同时对自变量x求导,最终解出所求导数反函数的导数等于直接函数导数的倒数,即反函数的导数f?(x)?1,其中x??(y)为y?f(x)的反函数??(y)(1)直接法:利用基本求导公式及导数的运算法则,对函数逐次地连续求导(2)间接法:利用已知的高阶导数公式,通过导数的四则运算,变量代换等方法,间接求出指定的高阶高阶导数导数(3)莱布尼茨公式(uv)(n)kn?kk??Cnuvk?0n

课后习题全解

习题2-1

★1.用定义求函数

y?x3在x?1处的导数.

知识点：函数在某点处导数的定义

思路：依照三个步骤：(1)求增量；（2）算比值；（3）求极限解：?y?(1??x)3?13?3?x?3(?x)2?(?x)3

?y?3?3?x?(?x)2?x

?yy?|x?1?lim?lim(3?3?x?(?x)2)?3?x?0?x?x?0★2.已知物体的运动规律s?t2(m),求该物体在t?2(s)时的速度.

知识点：导数的定义

思路：根据导数的定义，依照三个步骤求导

s(2??t)?s(2)(2??t)2?22?t2?4?t?lim?lim?4解:v|t?2?lim?t?0?t?0?t?0?t?t?t3.设

f?(x0)存在，试利用导数的定义求以下极限：

知识点：导数的定义

f(x0?h)?f(x0)?f?(x0)求极限

h?0hf(x0??x)?f(x0)★(1)lim

?x?0?xf(x0??x)?f(x0)f(x0??x)?f(x0)＝－lim＝－f?(x0)解：lim?x?0?x?0?x－?xf(x0?h)?f(x0?h)★(2)lim

h?0hf(x0?h)?f(x0?h)f(x0?h)?f(x0)?f(x0)?f(x0?h)?lim解：lim

h?0h?0hhf(x0?h)?f(x0)f(x0?h)?f(x0)?lim?lim?f?(x0)?f?(x0)?2f?(x0)h?0h?0h?h思路：利用导数的定义式limf(x0??x)?f(x0?2?x)

?x?02?xf(x0??x)?f(x0?2?x)f(x0??x)?f(x0)?f(x0)?f(x0?2?x)＝lim解：lim

?x?0?x?02?x2?xf(x0??x)?f(x0)f(x0?2?x)?f(x0)113＝lim?lim＝f?(x0)+f?(x0)＝f?(x0)?x?02?x?0?x?2?x22★★(3)

lim★★4.设

f(x)在x?2处连续，且limx?2f(x)?2，求f?(2).x?2知识点:导数和连续的定义

思路:关键求出f(2),再利用导数的定义解:

f(x)在x?2处连续

x?2?f(2)?limf(x)

又limf(x)?lim(x?2)?x?2x?2f(x)f(x)f(x)?lim(x?2)?lim?0?lim?0x?2x?2x?2x?2x?2x?2?f(2)?0?f?(2)?limx?2f(x)?f(2)f(x)?lim?2x?2x?2x?2★5.给定抛物线

y?x2?x?2,求过点(1,2)的切线方程与法线方程.

知识点：导数的几何意义

思路：利用导数的几何意义得切线的斜率

解:y??2x?1?切线的斜率k?y?|x?1?21?1?1

?切线的方程为y?2?1(x?1),即y?x?1

法线方程为y?2?(?1)(x?1),即y??x?3

★6.求曲线

1)处的切线方程和法线方程.y?ex在点(0，知识点：导数的几何意义

思路：利用导数的几何意义得切线的斜率解:y??e?切线的斜率k?y?|x?0?e0?1

x?切线的方程为y?1?1(x?0),即y?x?1

法线方程为y?1??(x?0),即y??x?1

11★7.函数

?x2?1,0?x?1在点x?1处是否可导?为什么?f(x)??1?x?3x?1,知识点：函数在某点可导的充要条件

思路：利用导数的定义求左右导数，然后利用函数在某点可导的充要条件判别解：f??(1)?lim?x?1f(x)?f(1)3x?1?2?lim?3x?1?x?1x?1f(x)?f(1)x2?1?2f??(1)?lim?lim?2

x?1?x?1?x?1x?1

f??(1)?f??(1)?f(x)在x?1处不可导.

★8.用导数的定义求

x?0?x,在x?0处的导数.f(x)??ln(1?x),x?0?知识点：函数在某点可导的充要条件

思路：利用导数的定义求左右导数，然后利用函数在某点可导的充要条件解:f??(0)?lim?f(x)?f(0)ln(1?x)?0?lim?1?x?0x?0x?0x?0f(x)?f(0)x?0f??(0)?lim?lim?1

x?0?x?0?x?0x?0?f??(0)?f??(0)?f?(0)?f??(0?)?f★★9.设

(?0)

?sinx,x?0,求f?(x).f(x)??x?0?x,知识点：分段函数的导数

思路：分段函数在每一段内可以直接求导，但是在分段点处要利用导数的定义求导解：当x?0时，f?(x)?(sinx)??cosx

当x当x?0时，f?(x)?x??1?0时，f??(0)?lim?f(x)?f(0)x?lim?1

x?0x?0?xx?0f(x)?f(0)sinx?lim?1f_?(0)?limx?0?x?0?x?0x?f?(0)?1

?cosx,x?0??f(x)??x?0?1,1?2?xsin,x?0★★10.试探讨函数y??在x?0处的连续性与可导性.x?x?0?0,知识点：函数在某点连续与可导的定义

思路：利用函数在某点连续与可导的定义判断解:limf(x)?limxsinx?0x?021?0?f(0)x?y?f(x)在x?0处连续.

1(?x)2sin?0?y?xlim?lim??x?0?x?x?0?x12?y?xsin在x?0处可导.

x★★11.设

x?0?li?mx[(1)s?in?x]0?(x)在x?a处连续,f(x)?(x2?a2)?(x),求f?(a).

知识点：函数在某点处导数的定义思路：利用导数的定义求导数解:?(x)在x?a处连续

?lim?(x)??(a)x?a

f(x)?f(a)(x2?a2)?(x)?0?f?(a)?lim?lim?lim(x?a)?(x)?2a?(a)x?ax?ax?ax?ax?a★★12.设不恒为零的奇函数

f(x)在x?0处可导,试说明x?0为函数f(x)x的何种休止点.

知识点：导数以及休止点的定义

思路：利用导数的定义求极限解:

又

f(x)为奇函数?f(0)?f(?0)??f(0)?f(0)?0

f(x)?f(0)'f(x)?f(0)lim?f?(0)f(x)在x?0处可导?lim即

x?0x?0x?0xf(x)在x?0处有极限.?xf(x)?x?0为函数的可去休止点.

x★★13.当物体的温度高于周边介质的温度时,物体就不断冷却,若物体的温度T与时间t的函数关系为

T?T(t),应怎样确定该物体在时刻t的冷却速度?

知识点:导数的定义

思路:导数反映的是函数的变化率,在t时刻的冷却速度即为函数T?T(t)对时间t的导数解:t时刻该物体的温度为T?T(t),则t??t时刻物体的温度为T?T(t??t),

?物体在t时刻的冷却速度